因动点产生的相似三角形问题专题.docx
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1、因动点产生的相似三角形问题关键词:动点、相似三角形动点:运动的点或者说是不确定的点,有时题目中会明确指出动点,有时题目中相关点的坐标含有参数,换言之就是在不同的条件下会有不同的位置,或者满足条件的位置有多个。相似三角形:对应角相等,对应边成比例的两个或多个三角形,两个三角形相似的判定定理一般说来有3个, 定理1:两个角对应相等,两三角形相似 AA 定理2:两边对应成比例且夹角相等 “SAS 定理3:三边对应成比例。 “SSS相似三角形的判定这3个定理,其中判定定理1与判定定理2都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等应用判定定理1解题,先寻找一组
2、等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等判定定理2是最常用的解题依据,一般分三步:寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验如果AD,探求ABC与DEF相似,只要把夹A与D的两边表示出来,按照对应边成比例,分与两种情况列方程应用判定定理3解题不多见,根据三边对应成比例列连比式解方程组两个直角三角形相似的判定方法(1) 有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似2两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似3斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似如果要讨论相似的两个三角形中有一个是直角三角形:如果一组锐角相等,其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的,那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形
3、的问题由动点产生的相似三角形问题一般在函数与几何图中出现,其中以函数表现居多。题型一般有是否存在点P,使得:PDEABC 以P、D、E为顶点的三角形与ABC相似或者通过动点产生相似解决有关问题一般以大题为主,也有出现在填空后两题。函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题过程 : 求相似三角形的第三个顶点时,先要分析三角形的边与角 的特点,进而得出三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中边与三角形的可能对应边分类讨论。 或利用三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 假设两个三角形的各边均未给出,那么应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示 各
4、边的长度,之后利用相似来列方程求解。涉及知识点: 全等相似的性质及判定,一元二次方程解法,直角三角形中锐角三角函数,勾股定理,求线段的长,要用到两点间的距离公式。例1、 (2021浙江湖州,24,12分)在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,以P(1,1)为圆心的P与x轴、y轴分别相切于点M与点N.点F从点M出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,连结PF,过点P作PEPF交y轴于点E.设点F运动的时间是t秒(t0)(1)假设点E在y轴的负半轴上(如下图),求证:PEPF;(3)作点F关于点M的对称点F.经过M,E,F三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,连结QE.在点F运动过程中,是否
5、存在某一时刻,使得以点Q,O,E为顶点的三角形与以点P,M,F为顶点的三角形相似,假设存在,请直接写出t的值;假设不存在,请说明理由(1)证明连结PM,PN.P与x轴、y轴分别相切于点M与点N,PMMF,PNON且PMPN,PMFPNE90且NPM90.PEPF,12903.在PMF与PNE中,图1PMFPNE,PEPF.(2)解分两种情况:当t1时,点E在y轴的负半轴上,如图1,由(1)得PMFPNE,NEMFt,PNPM1,bOFOMMF1t,aNEONt1.ba1t(t1)2,图2b2a.当01时,b2a;当0t1时,b2a.(3)解存在,t的值是t,t,t2.图3如图3,()当1t2时
6、,F(1t,0),F与F关于点M对称,F(1t,0)经过M,E与F三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,Q(1t,0)OQ1t,由(1)得PMFPNE,NEMFt,OEt1.当OEQMPF时,解得,t或t(舍去),当OEQMFP时,图4,解得,t或t(舍去)()如图4,当t2时,F(1t,0),F与F关于点M对称,F(1t,0)经过M,E与F三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,Q(1t,0)OQt1.由(1)得PMFPNENEMFt,OEt1.当OEQ MPF,.,无解当OEQ MFP时,图5解得,t2或t22舍去()如图5,当01(舍去)所以当t,t,t2时,使得以点Q,O,E为顶点的三角形与以点
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- 因动点产生的相似三角形问题 专题 产生 相似 三角形 问题
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