立体几何-线面角与线线角.doc
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1、10.8线面角与线线角【知识网络】1、异面直线所成的角:(1)范围:;(2)求法;2、直线和平面所成的角:(1)定义:(2)范围:;(3)求法;3、一些常见模型中的角之间的关系。【典型例题】例1:(1)在正方体中,下列几种说法正确的是 ( )A、 B、 C、与成角 D、与成角答案:D。解析:A1C1与AD成45,D1C1与AB平行,AC1与DC所成角的正切为。(2)在正方体AC1中,过它的任意两条棱作平面,则能作得与A1B成300角的平面的个数为 ( )A、2个 B、4个 C、6个 D、8个答案:B。解析:平面A1ACC1,平面BB1D1D,平面ABC1D1,平面A1D1CC1。(3)正六棱柱
2、ABCDEFA1B1C1D1E1F1底面边长是1,侧棱长是,则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是 ( )A90 B60 C45 D30答案:B。解析将BC1平移到E1F即可。 (4)在空间四边形ABCD中,ABCD,BCDA,那么对角线AC与BD的位置关系是 。 答案:ACBD。解析:过A作AH平面BCD,垂足为H,因为CDAB,BCAD,所以CDBH,BCDH,故H为BCD的垂心,从而BDCH,可得BDAC。(5)点AB到平面距离距离分别为12,20,若斜线AB与成的角,则AB的长等于_ _.答案:16或64。解析:分A、B在平面的同侧和异侧进行讨论。例2:如图:已知直三棱柱ABC
3、A1B1C1,ABAC,F为棱BB1上一点,BFFB121,BFBC2a。(I)若D为BC的中点,E为AD上不同于A、D的任意一点,证明EFFC1; (II)试问:若AB2a,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60角,为什么?证明你的结论。答案:(I)连结DF,DC 三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,CC1平面ABC,平面BB1C1C平面ABCABAC,D为BC的中点,ADBC,AD平面BB1C1C DF为EF在平面BB1C1C上的射影,在DFC1中,DF2BF2BD25a2,DC210a2,B1F25a2,DF2,DFFC1 FC1EF (II)AD平面BB1C1C,DFE是
4、EF与平面BB1C1C所成的角 在EDF中,若EFD60,则EDDFtg60,ABCDP,E在DA的延长线上,而不在线段AD上 故线段AD上的E点不能使EF与平面BB1C1C成60角。 例3: 如图, 四棱锥P-ABCD的底面是AB=2, BC=的矩形, 侧面PAB是等边三角形, 且侧面PAB底面ABCD.()证明:BC侧面PAB;()证明: 侧面PAD侧面PAB;()求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小;答案: ()证: 侧面PAB底面ABCD, 且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB, 在矩形ABCD中, BCAB,.BC侧面PAB. ()证: 在矩形ABCD中, ADBC, BC侧面PA
5、B, AD侧面PAB. 又AD平面PAD, 侧面PAD侧面PAB.()解: 在侧面PAB内, 过点P做PEAB, 垂足为E, 连结EC, 侧面PAB与底面ABCD的交线是AB, PEAB, PE底面ABCD. 于是EC为PC在底面ABCD内的射影. PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角. 在PAB和BEC中, 易求得PE=, EC=.在RtPEC中, PCE=45. 例4:设ABC内接于O,其中AB为O的直径,PA平面ABC。如图求直线PB和平面PAC所成角的大小.答案:【课内练习】1若平面外的直线与平面所成的角为,则的取值范围是 ( )(A) (B) (C) (D)答案:D。解析:a和平行
6、,a和斜交。2在正方体ABCD-ABCD,O是底面ABCD的中心,M、N分别是棱DD、DC的中点,则直线OM ( )A 是AC和MN的公垂线 B 垂直于AC但不垂直于MNC 垂直于MN,但不垂直于AC D 与AC、MN都不垂直答案:A 。解析:易证OMAC,OMMN。3设正四棱锥SABCD的侧棱长为,底面边长为,E是SA的中点,则异面直线BE与SC所成的角是( )A30B45C60D90答案:C 。解析:连AC、BD交于O,连OE,则OE/SC.4异面直线a , b所成的角为,过空间一定点P,作直线L,使L与a ,b 所成的角均为,这样的直线L有 条。 答案:三条。解析:如换成50,70呢。5
7、已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直,D是底面三角形内一点,且DPA=450,DPB=600,则DPC=_。答案:600 。解析:以PD为对角线构造长方体6正方体AC1中,过点A作截面,使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都相等,试写出满足条件的一个截面_答案:面AD1C。解析:可得12条棱分成三类:平行、相交、异面,考虑正三棱锥D-AD1C,7如图,四面体ABCS中,SA,SB,SC两两垂直,SBA=45,SBC=60,M为AB的中点,求:(1)BC与平面SAB所成的角;(2)SC与平面ABC所成角的正弦值。解析:(1)SCSB,SCSA,SC平面SAB。于是SB就是直
8、线BC与平面SAB所成的角,为60。(2)联结SM,CM,在RtSAB中,SBA=45,SMAB,AB平面SCM。作SHCM于H,则ABSH,故SH平面ABC,所以SCH为SC与平面ABC所成的角。设SA=a,则SB=a,SC=,SM=。在RtCSM中,。即SC与平面ABC所成角的正弦值为。8如图,已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面边长AB2,侧棱BB1的长为4,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交B1C于点F,求证:A1C平面BDE;求A1B与平面BDE所成角的正弦值。答案:由三垂线定理可得,A1CBD,A1CBEA1C平面BDE以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴,建立坐
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