二次函数预习复习专栏讲义.doc
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1、|二次函数【知识清单】一、网络框架二、清单梳理1、一般的,形如 2(0,)yaxbcabc是 常 数 的函数叫二次函数。例如22221,6,4,5963yxxyx等都是二次函数。注意:系数a不能为零, ,bc可以为零。2(0)=00 0yaxyayaxxy 最 小 值 最 大 值概 念 : 形 如 的 函 数简 单 二 次 函 数 图 像 : 是 过 ( ,) 的 一 条 抛 物 线对 称 轴 : 轴性 质 最 值 : 当 时 , ; 当 时 ,当 时 , 在 对 称 轴 左 边 ( 即 ) ,随 的 增 大 而 减 小 。 在 对 称 轴 右 边 ( 即 ) ,随 的 增 大 而 增 大 。
2、增 减 性 当 时 , 在 对 称 轴 左 边 ( 即 ) 随 的 增 大 而 增 大 。 在 对 称 轴 右 边 ( 即 ) 随 的 增 大 而 减 小 。二 次 函 数 2222()0440=0=4xbcacbxaacbyy最 小 值 最 大 值概 念 : 形 如 的 函 数 , 注 意 还 有 顶 点 式 、 交 点 式 以 及 它 们 之 间 的 转 换 。开 口 方 向 : , 开 口 向 上 ; , 开 口 向 下 。图 像 : 是 一 条 抛 物 线 顶 点 坐 标 : ( -,)对 称 轴 :最 值 : 当 时 , , 当 时 ,一 般 二 次 函 数 性 质 : 当 时 ,
3、在 对 称 轴 左增 减 性 : 22bxxya 边 ( 即 -) ,随 的 增 大 而 减 小 。 在 对 称 轴 右 边 ( 即 -) ,随 的 增 大 而 增 大 。当 时 , 在 对 称 轴 左 边 ( 即 ) 随 的 增 大 而 增 大 。 在 对 称 轴 右 边 ( 即 ) 随 的 增 大 而 减 小 。待 定 系 数 法 求 解 析 式应 用 与 一 元 二 次 方 程 和 不 等 式 的 关 系建 立 函 数 模 型 解 决 实 际 问 题|2、二次函数的三种解析式(表达式)一般式: 2(0,)yaxbcabc是 常 数顶点式: () 0hk为 常 数 , 且 ,顶点坐标为 (
4、,)hk交点式: 1212(, )yxxx其 中 是 抛 物 线 与 轴 的 交 点 的 横 坐 标3、二次函数的图像位置与系数 ,abc之间的关系 a:决定抛物线的开口方向及开口的大小。当 0a时,开口方向向上;当 0a时,开口方向向下。 |决定开口大小,当 |越大,则抛物线的开口越小;当 |越小,则抛物线的开口越大。反之,也成立。 c:决定抛物线与 y轴交点的位置。当 0c时,抛物线与 y轴交点在 轴正半轴(即x轴上方) ;当 0c时,抛物线与 y轴交点在 轴负半轴(即 x轴下方) ;当 0c时,抛物线过原点。反之,也成立。 ab和 :共同决定抛物线对称轴的位置。当 02ba时,对称轴在
5、y轴右边;当02时,对称轴在 y轴左边;当 02ba(即当 时)对称轴为 轴。反之,也成立。特别:当 1x时,有 ybc;当 1x时 ,有 yabc。反之也成立。4、二次函数 2()ahk的图像可由抛物线 2向上(向下) ,向左(向右)平移而得到。具体为:当 0时,抛物线 2yax向右平移 h个单位;当 0时,抛物线2yx向左平移 个单位,得到 ();当 0k时,抛物线 2()yaxh再向上平移 k个单位,当 k时,抛物线 2yx再向下平移 个单位,而得到2()yaxh的图像。5、抛物线 (0)bxca与一元二次方程 20()axbca的关系:若抛物线 2y与 轴有两个交点,则一元二次方程|
6、20()axbca有两个不相等的实根。若抛物线 2(0)yxc与 x轴有一个交点,则一元二次方程20axbca有两个相等的实根(即一根) 。若抛物线 2()yxc与 x轴无交点,则一元二次方程2xc没有实根。6、二次函数 2(0,)yabxabc是 常 数 的图像与性质关系式 2(0yx2()(0)yaxhka图像形状 抛物线顶点坐标24(,)bac(,)对称轴 xxh0a在图像对称轴左侧,即 2bxa或 , y随 的增大而减小;在图像对称轴右侧,即 或 xh, 随 x的增大而增大;增减性 0a在图像对称轴左侧,即 2bxa或 h, y随 x的增大而增大;在图像对称轴右侧,即 或 , 随 的增
7、大而减小;0a当 2bxa时,24=acby最 小 值 当 xh时, =ky最 小 值最大值最小值 当 时,24a最 大 值 当 时, 最 大 值|【考点解析】考点一:二次函数的概念【例 1】下列函数中是二次函数的是( )2.8Ayx.81Byx 8.Cyx 23.4Dyx【解析】根据二次函数的定义即可做出判断, A中 21符合2(0)yaxbc的形式,所以是二次函数, ,B分别是一次函数和反比例函数,D中右边 234不是整式,显然不是二次函数。【答案】 A【例 2】已知函数 2234()(1)myxx是二次函数,则 m_。【解析】根据二次函数的定义,只需满足两个条件即可“二次项系数不为零,且
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