复变函数教学教案第五章.doc
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1、|章节名称:第五章 留数学时安排:6 学时教学要求:理解孤立奇点的概念并掌握判别孤立奇点类别的方法;理解留数的定义;熟练掌握计算留数的方法;理解留数基本定理,熟练掌握用留数理论计算积分。教学内容:1.理解孤立奇点的概念,掌握判别孤立奇点类别的方法;2了解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质。3理解留数的定义;4熟练掌握计算留数的方法;5理解留数基本定理,熟练掌握用留数理论计算积分。教学重点:留数的定义,留数的计算教学难点:用留数理论计算积分教学手段:课堂讲授教学过程:第五章 留数1、孤立奇点1.相关定义定义 1 设点 为函数 的奇点,若 在点 的某个去心邻域a)(zf)(zfa内解析,则称点 为函
2、数 的孤立奇点Raz0定义 2 设点 为函数 的孤立奇点:)(zf若 在点 的罗朗级数的主要部分为零,则称点 为 的可去奇点;)(zf a)(zf若 在点 的罗朗级数的主要部分有有限多项,设为)(fa 0,)()( 11 mmmcazazcz则称点 为 的 级(阶)极点;a)f若 在点 的罗朗级数的主要部分有无限多项,则称点 为 的本(z a)(zf性奇点例:依定义,点 为 的可去奇点,点 为 的二级极点,点0zzsin0z2ez为 的本性奇点1zsin2.函数在孤立奇点的去心邻域内的性质函数在可去奇点的去心邻域内的性质定理 1 若点 为 的孤立奇点,则下列三个条件是等价的:a)(zf|点 为
3、 的可去奇点;a)(zf ;limcz函数 在点 的某个去心邻域内有界)(f函数在极点的去心邻域内的性质定理 2 若点 为 的孤立奇点,则下列三个条件是等价的a)(zf点 为 的 级极点;)(fm 在点 的某个去心邻域 内可表示为z Raz0mhf)()其中的 在点 的邻域 内解析,且 ;)(zhaaz0(a点 为 的 级零点(可去奇点视作解析点时) )(1fm定理 3 点 为函数 的极点的充分必要条件是a)(zf)(lizfaz函数在本性奇点的去心邻域内的性质定理 4 点 为函数 的本性奇点的充分必要条件是 不存在,即当a)(f )(limzfaz时, 既不趋于有限值,也不趋于 z)(zf定
4、理 5 若点 为 的本性奇点,且 在点 的充分小的邻域内不为零,a)(zf )(zf则点 必为 的本性奇点a)(1zf例 设 ,试求 在复平面上的奇点,并判定其类别1)e5z)(zf解 首先,求 的奇点 的奇点出自方程(f 0e1z的解解方程得 )(Lnz|,21,0,i)12(kk若设 ,则易知 为 的孤立奇点另外,,1,0(i)12(kzk kz)(f因 0)e(,)e( kk zz所以,由零点的定义知 为 的一级零点从而知 均k1 ),21,(为 的一级极点)(zf2、留数1,定义 3 设 为函数 的孤立奇点, 为圆周: ,若)(a)(zfcaz在 上解析,则称)(zf0czf)d(i2
5、1为 在点 的留数(或残数) ,记作 或 ,即)(zfa,Resaf)(esczffdi21),(2, 留数计算规则:规则 1 如果 为 的一级极点,那么 .0z)(f )(lim),(Res000zfzfz规则 2 如果 为 的 级极点,那么m.)(li)!1(),(Res 0100 zfzdzf mmz规则 3 设 及 在 解析,如果 , ,,)(zQPf0)(0P0)(Q,那么 为 的一级极点,而0)(z0f )(),(Res00zQf例 1 设 ,求 )1(25)zf ,f解法 1 由定义| 41d)(25i2)0,(Reszzf41izz0)25(z注意:这里的积分路径的半径并非只能
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- 函数 教学 教案 第五
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