函数奇偶性、对称性、周期性重点分析总结.doc
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1、|抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难,所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义:对于 定义域内的每一个 ,都存在非零常数 ,使得 恒成立,()fxxT()(fxTf则称函数 具有周期性, 叫做 的一个周期,则 ( )也是T()fk,0Zk)fx
2、的周期,所有周期中的最小正数叫 的最小正周期。x分段函数的周期:设 是周期函数,在任意一个周期内的图像为 C:)(fy ),(xfy。把 个单位即按向量abTx, )(abKTx轴 平 移沿在其他周期的图像:)()0,(fyka平 移 , 即 得。bkTxfy,bkTa, x)()ff2、奇偶函数:设 baxfy ,)或若 为 奇 函 数 ;则 称 )()(fyf若 。为 偶 函 数则 称 x分段函数的奇偶性3、函数的对称性:(1)中心对称即点对称:点 对 称 ;关 于 点与 ),()2,(),( baybxaByxA 对 称 ;关 于与点 成 中 心 对 称 ;关 于 点与函 数 (xff
3、成 中 心 对 称 ;关 于 点与函 数 ),()(b 成 中 心 对 称 。关 于 点与(函 数 02,0, baybaFyx(2)轴对称:对称轴方程为: 。CBAx 关于)(2,)(),(),( 22/ BACyxyBA 与点|直线 成 轴 对 称 ;0CByAx函数 关于直线)(2)(2)( 22 BACyxfBACyxyxf 与成轴对称。yx 关于直线0)(,)(0),( 22 yxyxF与成轴对称。CByAx二、函数对称性的几个重要结论(一)函数 图象本身的对称性(自身对称))(xfy若 ,则 具有周期性;若 ,则(fab()fx()()faxfbx具有对称性:“内同表示周期性,内反
4、表示对称性” 。)fx1、 图象关于直线 对称)()(xbfaf)(xfy2)(baxax推论 1: 的图象关于直线 对称a推论 2、 的图象关于直线 对称)2()xfxf )(xfyax推论 3、 的图象关于直线 对称2、 的图象关于点 对称cxbfaf)()()(xfy),2(cb推论 1、 的图象关于点 对称ba2a推论 2、 的图象关于点 对称xfx)()(xfy),(b推论 3、 的图象关于点 对称(二)两个函数的图象对称性(相互对称) (利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数 与 图象关于 Y 轴对称)(xfy)(xf2、奇函数 与 图象关于原点对称函数3、函数 与 图象
5、关于 X 轴对称)(xfy()fx|4、互为反函数 与函数 图象关于直线 对称)(xfy1()yfxyx5.函数 与 图象关于直线 对称 afbf 2ab推论 1:函数 与 图象关于直线 对称)(xfy)(xafy0x推论 2:函数 与 图象关于直线 对称2a推论 3:函数 与 图象关于直线 对称)(xfy)(xfyx(三)抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质 1 若函数 yf(x)关于直线 xa 轴对称,则以下三个式子成立且等价:(1)f(ax)f(ax) (2)f(2ax)f(x) (3)f(2ax)f(x)性质 2 若函数 yf(x)关于点(a,0)中心对称,则以下三个式子成
6、立且等价:(1)f(ax)f(ax)(2)f(2ax)f(x)(3)f(2ax)f(x)易知,yf(x)为偶(或奇)函数分别为性质 1(或 2)当 a0 时的特例。2、复合函数的奇偶性定义 1、 若对于定义域内的任一变量 x,均有 fg(x)fg(x),则复数函数 yfg(x)为偶函数。定义 2、 若对于定义域内的任一变量 x,均有 fg(x)fg(x),则复合函数 yfg(x)为奇函数。说明:(1)复数函数 fg(x)为偶函数,则 fg(x)fg(x)而不是 fg(x)fg(x),复合函数 yfg(x)为奇函数,则 fg(x)fg(x)而不是fg(x)fg(x)。(2)两个特例:yf(xa)
7、为偶函数,则 f(xa)f(xa);yf(xa)为奇函数,则 f(xa)f(ax)(3)yf(xa)为偶(或奇)函数,等价于单层函数 yf(x)关于直线xa 轴对称(或关于点(a,0)中心对称)3、复合函数的对称性性质 3 复合函数 yf(ax)与 yf(bx)关于直线 x(ba)/2 轴对称性质 4、复合函数 yf(ax)与 yf(bx)关于点(ba)/2,0)中心对称推论 1、 复合函数 yf(ax)与 yf(ax)关于 y 轴轴对称推论 2、 复合函数 yf(ax)与 yf(ax)关于原点中心对称4、函数的周期性|若 a 是非零常数,若对于函数 yf(x)定义域内的任一变量 x 点有下列
8、条件之一成立,则函数 yf(x)是周期函数,且 2|a|是它的一个周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(x)f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)5、函数的对称性与周期性性质 5 若函数 yf(x)同时关于直线 xa 与 xb 轴对称,则函数 f(x)必为周期函数,且 T2|ab|性质 6、若函数 yf(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数 f(x)必为周期函数,且 T2|ab|性质 7、若函数 yf(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线 xb 轴对称,则函数 f(x)必为周期函数,且 T4|ab|6、函数对称性的应用(1)若 ,即kyhxkhxf 2,),
9、)( / 对 称 , 则关 于 点 ( xffx2)(/ nkxfxfnnn )()()() 1121 (2)例题1、 ;)()21)( faxfx) 对 称 :,关 于 点 ( 2)(0124)(1 xffx ) 对 称 :,关 于 ( 1(21),( ffxRf () 对 称 :,关 于 (2、奇函数的图像关于原点(0,0)对称: 。0)(x3、若 的图像关于直线(),)()2() fyafxfafxf 则或对称。设ax个 不 同 的 实 数 根 , 则有 n0.naxxxx nn )2()2()(1121 ,( 1aak时 , 必 有当(四)常用函数的对称性|三、函数周期性的几个重要结论
10、1、 ( ) 的周期为 , ( )也是函数的周期()fxTf0)(xfyTkZ2、 的周期为ab ab3、 的周期为)()(xfxf)(xfy24、 的周期为)(1faffaT5、 的周期为)(xfxf)(xfy26、 的周期为)(1)(faf)(faT37、 的周期为)()(xfxf )(xfy28、 的周期为)(1)(faf)(faT49、 的周期为2xfxf)(xfy610、若 .2,)()(,0pTpfp则11、 有两条对称轴 和 周期xyaxb()a)(xfy)(2abT推论:偶函数 满足 周期)(f)(xff12、 有两个对称中心 和 周期xfy0,()(xfy)(推论:奇函数 满
11、足 周期)(f)(xaffaT413、 有一条对称轴 和一个对称中心 的xfyx)0,(b()fx)(b四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性,可巧妙的解答某些数学问题,它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。1.求函数值例 1.(1996 年高考题)设 是 上的奇函数, 当)(xf),),()2(xff|时, ,则 等于(-0.5)10xxf)()5.7(f(A)0.5; (B)-0.5; (C)1.5; (D)-1.5.例 2 (1989 年北京市中学生数学竞赛题)已知 是定义在实数集上的函数,且)(xf, 求
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