最新微元法及定积分几何应用PPT课件.ppt
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1、微元法及定积分几何应用微元法及定积分几何应用一一 微元法微元法回顾曲边梯形求面积的问题与变速直线运动的路回顾曲边梯形求面积的问题与变速直线运动的路程问题,程问题,当所求量当所求量具有下列三个特点具有下列三个特点有关的量;有关的量;(1)是与一个变量是与一个变量的变化区间的变化区间(2)对于区间对于区间具有可加性,具有可加性,而而(3)可以)可以“以匀代不匀以匀代不匀”求部分量求部分量的近似值的近似值个小区间个小区间即如果用分点即如果用分点把区间把区间分成分成相应地分成相应地分成则则个部分量个部分量2 2(3)以以作为定积分的被积表示式作为定积分的被积表示式,在在作定积分得作定积分得同理由同理由
2、上连续曲线上连续曲线与直线与直线所谓的平面所谓的平面图形的面积图形的面积 为为9 9解解两曲线的交点两曲线的交点面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量或选或选为积分变量为积分变量,1010例例2 求由曲线求由曲线所围的平面图形的所围的平面图形的面积面积解法解法I解方程组解方程组 得两曲线的交点为得两曲线的交点为 该图形可以看成是由该图形可以看成是由围成的平面围成的平面图形与图形与所围成的平面图形两个所围成的平面图形两个部分构成的部分构成的,因此取因此取为积分变量为积分变量,积分区间分别为积分区间分别为得得1111解法解法II取取为积分变量为积分变量,积分区间为积分区间为则则1212解解两曲
3、线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量于是所求面积于是所求面积1313例例4 在曲线在曲线上求一点上求一点P,使得,使得直线直线所围成所围成该点的切线与曲线该点的切线与曲线的平面图形的面积最小。的平面图形的面积最小。解解则切线方程为则切线方程为因此因此设切点为设切点为1414因此当因此当时,面积最小。时,面积最小。所求点为所求点为15153.3.如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积曲边梯形的面积1616解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4 4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积17172 极坐标系下平面图形的面积
4、极坐标系下平面图形的面积设由曲线设由曲线及射线及射线围成一曲边扇形,围成一曲边扇形,求其面积,求其面积,这里这里在在上连续上连续.选积分变量选积分变量积分区间积分区间在区间在区间上任取一小区间上任取一小区间相应相应地得到一小的曲边扇形地得到一小的曲边扇形,它可以用半径为它可以用半径为中心角中心角为为的扇形近似代替的扇形近似代替,因此因此1818同理同理,由连续曲线由连续曲线及射线及射线所围的平面图形的面积为所围的平面图形的面积为1919解解利用对称性知利用对称性知2020解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4=4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积2121例例8 求由曲线求由曲线所围成的平所
5、围成的平面图形面图形(如图所示阴影部分如图所示阴影部分)的面积的面积.解解解方程组解方程组得得取积分变量取积分变量积分区间积分区间因此因此2222三三 立体的体积立体的体积1 已知平行截面面积的立体的体积已知平行截面面积的立体的体积设空间某立体是由一曲面和过设空间某立体是由一曲面和过且垂直于且垂直于轴轴的两平面围成的两平面围成,如果已知该立体上且垂直于如果已知该立体上且垂直于个截面面积个截面面积轴的各轴的各求此立体体积求此立体体积.其中其中为区为区间间上连续函数上连续函数.取取为积分变量,为积分变量,为积分区间,为积分区间,在在任取任取一小区间一小区间可以近似地看可以近似地看成以成以为底,为底
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