数系的扩充与复数的引入要点梳理复数的有关概念.ppt
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1、数系的扩充与复数的引入要点梳理复数的有关概念 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望(3)(3)共轭复数共轭复数:a a+b bi i与与c c+d di i共轭共轭 (a a,b b,c c,d dR R).).(4)(4)复平面复平面建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面.叫做实轴,叫做实轴,叫做虚轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实轴上的点都表示 ;除原点外,虚轴上的点都表示;除原点外,虚轴上的点都表示 ;各象
2、限内的点都表示各象限内的点都表示 .(5)(5)复数的模复数的模向量向量 的模的模r r叫做复数叫做复数z z=a a+b bi i的模,记作的模,记作 或或 ,即,即|z z|=|=|a a+b bi|=i|=.a a=c c,b b=-=-d dx x轴轴y y轴轴实数实数纯虚数纯虚数非纯虚数非纯虚数|z z|a a+b bi|i|2.2.复数的几何意义复数的几何意义(1)(1)复数复数z z=a a+b bi i 复平面内的点复平面内的点Z Z(a a,b b)(a a,b bR R).).(2)(2)复数复数z z=a a+b bi i (a a,b bR R).).3.3.复数的运算
3、复数的运算(1)(1)复数的加、减、乘、除运算法则复数的加、减、乘、除运算法则 设设z z1 1=a a+b bi,i,z z2 2=c c+d di(i(a a,b b,c c,d dR R),),则则 加法加法:z z1 1+z z2 2=(=(a a+b bi)+(i)+(c c+d di)=i)=;减法减法:z z1 1-z z2 2=(=(a a+b bi)-(i)-(c c+d di)=i)=;乘法乘法:z z1 1z z2 2=(=(a a+b bi)(i)(c c+d di)=i)=;(a a+c c)+()+(b b+d d)i)i(a a-c c)+()+(b b-d d)
4、i)i(acac-bdbd)+()+(adad+bcbc)i)i除法除法:=.(.(c c+d di0)i0)(2)(2)复数加法的运算定律复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z z1 1、z z2 2、z z3 3C C,有有z z1 1+z z2 2=,(,(z z1 1+z z2 2)+)+z z3 3=.z z2 2+z z1 1z z1 1+(+(z z2 2+z z3 3)基础自测基础自测1.1.(2009(2009北京理,北京理,1)1)在复平面内在复平面内,复数复数z z=i(1+2i)=i(1+2i)对应的点位于对应的
5、点位于()()A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限 解析解析 z z=i(1+2i=i(1+2i)=-2+i,=-2+i,复数复数z z在复平面内在复平面内 对应的点为对应的点为Z Z(-2-2,1 1),该点位于第二象限),该点位于第二象限.B2.2.下列命题正确的是下列命题正确的是()()(-i)(-i)2 2=-1;i=-1;i3 3=-i;=-i;若若a a b b,则则a a+i+ib b+i;+i;若若z zC C,则,则z z2 20.0.A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 虚数不能比较大小,故虚数不能比较大
6、小,故错误;错误;若若z z=i,=i,则则z z2 2=-10,=-10,故故错误错误.A3.3.(20082008浙江理,浙江理,1 1)已知已知a a是实数,是实数,是纯虚是纯虚 数,则数,则a a等于等于()()A.1 B.-1 C.D.-A.1 B.-1 C.D.-解析解析 因为该复数为纯虚数,所以因为该复数为纯虚数,所以a a=1.=1.A4.4.(20092009山东理,山东理,2 2)复数复数 等于等于()()A.1+2i B.1-2i A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i C.2+i D.2-i 解析解析 C5.5.设设 为复数为复数z z的共轭复数,若复数的共
7、轭复数,若复数z z同时满足同时满足 z z-=2i-=2i,=i =iz z,则,则z z=.解析解析 =i=iz z,代入代入z z-=2i-=2i,得,得z z-i-iz z=2i,=2i,-1+i-1+i题型一题型一 复数的概念及复数的几何意义复数的概念及复数的几何意义 已知复数已知复数 试求实数试求实数a a分别取什么值时,分别取什么值时,z z分别为:分别为:(1 1)实数;()实数;(2 2)虚数;()虚数;(3 3)纯虚数)纯虚数.根据复数根据复数z z为实数、虚数及纯虚数的为实数、虚数及纯虚数的 概念概念,利用它们的充要条件可分别求出相应的利用它们的充要条件可分别求出相应的a
8、 a值值.解解题型分类题型分类 深度剖析深度剖析(2 2)当)当z z为虚数时,为虚数时,a a-1-1且且a a66且且a a1.1.a a11且且a a6.6.当当a a(-,-1)(-1,1)(1,6)(6,+)(-,-1)(-1,1)(1,6)(6,+)时,时,z z为虚数为虚数.(3 3)当)当z z为纯虚数时,有为纯虚数时,有不存在实数不存在实数a a使使z z为纯虚数为纯虚数.(1)(1)本题考查复数集中各数集的分类,本题考查复数集中各数集的分类,题中给出的复数采用的是标准的代数形式,否则题中给出的复数采用的是标准的代数形式,否则应先化为代数形式,再依据概念求解应先化为代数形式,
9、再依据概念求解.(2)(2)若复数的对应点在某些曲线上,还可写成代数若复数的对应点在某些曲线上,还可写成代数形式的一般表达式形式的一般表达式.如:对应点在直线如:对应点在直线x x=1=1上,则上,则z z=1+=1+b bi i(b bR R);对应点在直线对应点在直线y y=x x上,则上,则z z=a a+a ai i(a aR R),在利用复数的代数形式解题时经常用到,在利用复数的代数形式解题时经常用到这一点这一点.知能迁移知能迁移1 1 已知已知m mR R,复数,复数 -3)i,-3)i,当当m m为何值时为何值时,(1),(1)z zR R;(2)(2)z z是纯虚数;是纯虚数;
10、(3)(3)z z对应的点位于复平面第二象限;对应的点位于复平面第二象限;(4)(4)z z对应的对应的 点在直线点在直线x x+y y+3=0+3=0上上.解解 (1)(1)当当z z为实数时为实数时,则有则有m m2 2+2+2m m-3=0-3=0且且m m-10-10 解得解得m m=-3,=-3,故当故当m m=-3=-3时,时,z zR R.(2 2)当)当z z为纯虚数时为纯虚数时,则有则有 解得解得m m=0=0或或m m=2.=2.当当m m=0=0或或m m=2=2时,时,z z为纯虚数为纯虚数.(3 3)当)当z z对应的点位于复平面第二象限时对应的点位于复平面第二象限时
11、,解得解得m m-3-3或或11m m22,故当,故当m m-3-3或或11m m22时,时,z z对应对应的点位于复平面的第二象限的点位于复平面的第二象限.(4 4)当)当z z对应的点在直线对应的点在直线x x+y y+3=0+3=0上时上时,当当m m=0=0或或m m=-1 =-1 时,时,z z对对应应的点的点在直线在直线x x+y y+3=0+3=0上上.题型二题型二 复数相等复数相等 已知集合已知集合MM=(=(a a+3)+(+3)+(b b2 2-1)i-1)i,88,集合,集合 N N=3i,(=3i,(a a2 2-1)+(-1)+(b b+2)i+2)i同时满足同时满足
12、MMN NMM,MMN N ,求整数,求整数a a、b b.解解 依题意得(依题意得(a a+3+3)+(b b2 2-1-1)i=3i i=3i 或或8=(8=(a a2 2-1)+(-1)+(b b+2)i +2)i 或或a a+3+(+3+(b b2 2-1)i=-1)i=a a2 2-1+(-1+(b b+2)i +2)i 由由得得a a=-3,=-3,b b=2,=2,经检验,经检验,a a=-3,=-3,b b=-2=-2不合题意,舍去不合题意,舍去.判断两集合元素的关系判断两集合元素的关系列方程组列方程组分别解方程组分别解方程组检验结果检验结果是是否符合否符合条条件件a a=-3
13、=-3,b b=2.=2.由由得得a a=3,=3,b b=-2.=-2.又又a a=-3,=-3,b b=-2=-2不合题意不合题意.a a=3,=3,b b=-2.=-2.由由得得此方程组无整数解此方程组无整数解.综合综合、得得a a=-3,=-3,b b=2=2或或a a=3,=3,b b=-2.=-2.两复数相等的充要条件是:实部与实部两复数相等的充要条件是:实部与实部相等,虚部与虚部相等相等,虚部与虚部相等.构建方程,解方程组体现构建方程,解方程组体现了方程的思想了方程的思想.本题中,复数与集合的知识相结合本题中,复数与集合的知识相结合,体现了题目的灵活性体现了题目的灵活性.知能迁移
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- 扩充 复数 引入 要点 梳理 有关 概念
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