整数的整除性.doc
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1、整数的整除性1 整数的整除性的有关概念、性质(1) 整除的定义:对于两个整数a、d(d0),若存在一个整数p,使得成立, 则称d整除a,或a被d整除,记作d|a。若d不能整除a,则记作d a,如2|6,4 6。(2) 性质1) 若b|a,则b|(-a),且对任意的非零整数m有bm|am2) 若a|b,b|a,则|a|=|b|;3) 若b|a,c|b,则c|a4) 若b|ac,而(a,b)=1(a,b)=1表示a、b互质,则b|c;5) 若b|ac,而b为质数,则b|a,或b|c;6) 若c|a,c|b,则c|(ma+nb),其中m、n为任意整数(这一性质还可以推广到更多项的和)例1 x,y,z
2、均为整数,若11(7x+2y-5z),求证:11(3x-7y+12z)。证明 4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)而 1111(3x-2y+3z),且 11(7x+2y-5z), 114(3x-7y+12z)又 (11,4)=1 11(3x-7y+12z).2.整除性问题的证明方法(1) 利用数的整除性特征例2 设72的值。解 72=89,且(8,9)=1,所以只需讨论8、9都整除的值。若8,则8,由除法可得。若9,则9(a+6+7+9+2),得a=3。(2)利用连续整数之积的性质 任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积,因此一定可被2整除。
3、任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数,所以它们之积一定可以被2整除,也可被3整除,所以也可以被23=6整除。这个性质可以推广到任意个整数连续之积。例3 证明:对任何整数n都为整数,且用3除时余2。证明 为连续二整数的积,必可被2整除.对任何整数n均为整数,为整数,即原式为整数.又,2n、2n+1、2n+2为三个连续整数,其积必是3的倍数,而2与3互质,是能被3整除的整数.故被3除时余2.例4 一整数a若不能被2和3整除,则a2+23必能被24整除.证明 a2+23=(a2-1)+24,只需证a2-1可以被24整除即可.2 .a为奇数.设a=2k+1(k为整数),则a2-1=
4、(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).k、k+1为二个连续整数,故k(k+1)必能被2整除,8|4k(k+1),即8|(a2-1).又(a-1),a,(a+1)为三个连续整数,其积必被3整除,即3|a(a-1)(a+1)=a(a2-1),3 a,3|(a2-1).3与8互质, 24|(a2-1),即a2+23能被24整除.(3)利用整数的奇偶性下面我们应用第三讲介绍的整数奇偶性的有关知识来解几个整数问题.例5 求证:不存在这样的整数a、b、c、d使:abcd-a= abcd-b= abcd-c= abcd-d= 证明 由,a(bcd-1)=.右端是奇数,左端a为奇数,bcd-1为奇
5、数.同理,由、知b、c、d必为奇数,那么bcd为奇数,bcd-1必为偶数,则a(bcd-1)必为偶数,与式右端为奇数矛盾.所以命题得证.例6 设有n个实数x1,x2,,xn,其中每一个不是+1就是-1,且试证n是4的倍数.证明 设 (i=1,2,,n-1),则yi不是+1就是-1,但y1+y2+yn=0,故其中+1与-1的个数相同,设为k,于是n=2k.又y1y2y3yn=1,即(-1)k=1,故k为偶数,n是4的倍数.其他方法:整数a整除整数b,即b含有因子a.这样,要证明a整除b,采用各种公式和变形手段从b中分解出因子a就成了一条极自然的思路.例7 使n3+100能被n+10整除的正整数n
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