竞赛培训专题6---整数的整除性18077.docx
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1、2012年高中数学竞赛培训专题6-整数的整除性1整数的整整除性的有有关概念、性性质(1)整除除的定义:对于两个个整数a、dd(d00),若存存在一个整整数p,使使得成立,则则称d整除除a,或aa被d整除除,记作dd|a。若d不能整整除a,则则记作d a,如如2|6,44 6。(2)性质质1)若b|a,则bb|(-aa),且对对任意的非非零整数mm有bm|am2)若a|b,b|a,则|a|=|b|;3)若b|a,c|b,则cc|a4)若b|ac,而而(a,bb)=1(aa,b)=1表示aa、b互质质,则b|c;5)若b|ac,而而b为质数数,则b|a,或bb|c;6)若c|a,c|b,则cc|(
2、maa+nb),其其中m、nn为任意整整数(这一一性质还可可以推广到到更多项的的和)例1 (11987年年北京初二二数学竞赛赛题)x,yy,z均为为整数,若若11(77x+2yy-5z),求求证:111(3xx-7y+12z)。证明4(3x-77y+122z)+33(7x+2y-55z)=111(3xx-2y+3z)而 11111(3xx-2y+3z),且 111(7xx+2y-5z),1114(33x-7yy+12zz)又(11,4)=11 111(3xx-7y+12z).2.整除性性问题的证证明方法(1)利利用数的整整除性特征征(见第二二讲)例2(19980年加加拿大竞赛赛题)设772的值
3、值。解72=889,且且(8,99)=1,所所以只需讨讨论8、99都整除的的值。若8,则则8,由由除法可得得。若9,则则9(aa+6+77+9+22),得aa=3。(2)利用用连续整数数之积的性性质 任意两两个连续整整数之积必必定是一个个奇数与一一个偶数之之一积,因因此一定可可被2整除除。 任意三三个连续整整数之中至至少有一个个偶数且至至少有一个个是3的倍倍数,所以以它们之积积一定可以以被2整除除,也可被被3整除,所所以也可以以被233=6整除除。这个性质可可以推广到到任意个整整数连续之之积。例3(19956年北北京竞赛题题)证明:对任何整整数n都为为整数,且且用3除时时余2。证明为连续二二整
4、数的积积,必可被被2整除.对任何整整数n均为为整数,为整数,即原式为为整数.又,2n、2nn+1、22n+2为为三个连续续整数,其其积必是33的倍数,而而2与3互互质,是能被33整除的整整数.故被3除时时余2.例4 一整数aa若不能被被2和3整整除,则aa2+23必必能被244整除.证明 a2+23=(a2-1)+24,只只需证a22-1可以以被24整整除即可.2 .a为奇数数.设a=2k+11(k为整整数),则a2-11=(2kk+1)22-1=44k2+4k=4k(kk+1).k、k+1为二个个连续整数数,故k(kk+1)必必能被2整整除,8|4kk(k+11),即88|(a22-1).又
5、(a-1),aa,(a+1)为三三个连续整整数,其积积必被3整整除,即33|a(aa-1)(aa+1)=a(a22-1),3 aa,3|(a2-1).3与8互互质, 24|(a2-1),即a2+23能能被24整整除.(3)利用用整数的奇奇偶性下面我们应应用第三讲讲介绍的整整数奇偶性性的有关知知识来解几几个整数问问题.例5求证:不存在这这样的整数数a、b、cc、d使:abccd-aa= abbcdd-b= abccd-cc= abbcdd-d= 证明 由由,a(bbcd-11)=.右端是奇奇数,左左端a为奇奇数,bccd-1为为奇数.同理,由、知b、cc、d必为为奇数,那那么bcdd为奇数,bb
6、cd-11必为偶数数,则a(bbcd-11)必为偶偶数,与式右端为为奇数矛盾盾.所以命命题得证.例6 (11985年年合肥初中中数学竞赛赛题)设有有n个实数数x1,x2,,xxn,其中每每一个不是是+1就是是-1,且试证n是是4的倍数数.证明 设设 (i=1,2,,nn-1),则yi不是是+1就是是-1,但但y1+y2+yyn=0,故故其中+11与-1的的个数相同同,设为kk,于是nn=2k.又y1y2y3yn=1,即即(-1)k=1,故k为偶数,n是4的倍数.其他方法:整数a整除除整数b,即即b含有因因子a.这这样,要证证明a整除除b,采用用各种公式式和变形手手段从b中中分解出因因子a就成成
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- 竞赛 培训 专题 整数 整除 18077
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