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1、精品_精品资料_细心整理空间向量学问点归纳总结学问要点.1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量.注:( 1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.( 2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.2. 空间向量的运算.定义:与平面对量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图).OBOAABab ; BAOAOBab ; OPaR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_运算律:加法交换律:abba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_加法结合律:abcabc可编辑资
2、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数乘安排律:ab ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 共线向量.( 1)假如表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,a 平行于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b ,记作a / b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当我们说向量 a 、 b 共线(或 a / b )时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同始终线,也可能是平行直线.( 2)共线向量定理:空间任意两个向量a 、 b ( b 0 ), a /
3、b 存在实数 ,使 a b .4. 共面对量( 1)定义:一般的,能平移到同一平面内的向量叫做共面对量.说明:空间任意的两向量都是共面的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( 2)共面对量定理:假如两个向量a, b 不共线, p 与向量a, b 共面的条件是存在实数x, y 使 pxayb .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 空间向量基本定理:假如三个向量a, b, c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯独的有序实数组x, y, z,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_使 pxaybzc .可
4、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如三向量a,b,c不共面,我们把 a, b ,c叫做空间的一个基底,a, b,c 叫做基向量,空间任意三个不共面的向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_都可以构成空间的一个基底.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推 论 : 设O, A, B, C 是 不 共 面 的 四 点 , 就 对 空 间 任 一 点 P , 都 存 在 唯 一 的 三 个 有 序 实 数x, y, z , 使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_O Px O Ay O Bz O.C6. 空间向量的直角坐标系:( 1)空间直角坐标系中的坐标
5、:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在空间直角坐标系Oxyz 中,对空间任一点A ,存在唯独的有序实数组x, y, z,使 OAxiyizk ,有序可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_实数组 x, y, z叫作向量 A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,记作A x,y, z , x 叫横坐标,y 叫纵坐标,z 叫可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_竖坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2)如空间的一个基底的三个基向量相互垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底,用 i,j, k表示.可编辑资料
6、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( 3)空间向量的直角坐标运算律:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 aa1, a2 , a3 , bb1,b2, b3 ,就 aba1b1, a2b2, a3b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aba1b1, a2b2 , a3b3 , a a1,a2 ,a3R ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a ba1b1a2b2a3b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载
7、精品_精品资料_a / ba1b1,a2b2 ,a3b3 R ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aba1b1a2b2a3b30 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 Ax1,y1, z1 , Bx2 , y2, z2 ,就 ABx2x1, y2y1 , z2z1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( 4)模长公式:如aa1,
8、 a2 , a3 , bb1,b2, b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 | a |a aa1a2a3, |b |b bb1b2b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( 5)夹角公式:cos a ba ba1b1a2b2a3b3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| a | | b |222222aaabbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_123123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( 6)两点间的距离公
9、式:如A x1 , y1, z1 ,B x2 ,y2 , z2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2就 | AB |ABx22x1 y22y1 z22z1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或d xx 2 yy 2zz 2A, B212121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 空间向量的数量积.( 1)空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量a,b ,在空间任取一点O,作OAa,OBb ,就AOB 叫可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_做向量
10、 a与 b 的夹角,记作a, b.且规定 0a, b,明显有a,bb ,a.如a,b,就称 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与 b 相互垂直,记作:ab .( 2)向量的模:设 OAa ,就有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模,记作:| a | .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( 3 ) 向 量 的 数 量 积 : 已 知 向 量a,b , 就 | a|b| c o sa b,叫 做 a,b 的 数 量 积 , 记 作 a b , 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a b|a| |b|
11、cos a b, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( 4)空间向量数量积的性质:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a e| a | cosa, e.aba b20 .| a |a a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( 5)空间向量数量积运算律:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a ba ba b . a bb a (交换律).可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a bca ba c (安排律).可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【典型例题】例 1.已
12、知平行六面体ABCD AB C D,化简以下向量表达式,标出化简结果的向量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ABBC . ABADAA .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 ABADCC .21 ABADAA .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2.对空间任一点 O和不共线的三点A, B, C ,问满意向量式:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OPxOAyOBzOC (其中xyz1 )的四点P, A, B, C 是否共面?可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3.已
13、知空间四边形OABC ,其对角线OB, AC ,M , N 分别是对边OA, BC 的中点,点 G 在线段 MN 上,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_MG2GN ,用基底向量OA, OB, OC 表示向量 OG .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4.如图,在空间四边形OABC中, OA求 OA 与 BC 的夹角的余弦值.8 , AB6, AC4 , BC5 ,OAC45 ,OAB60 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明:由图形知向量的夹角易出错,如OA, AC135易错写成OA, AC45
14、 ,切记;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5. 长方体ABCDA1B1 C1D1 中,ABBC4 , E 为A1C1 与B1D1 的交点, F 为BC1 与B1C 的交点,又可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AFBE ,求长方体的高【模拟试题】BB1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 已知空间四边形ABCD ,连结AC, BD ,设M , G 分别是BC, CD 的中点,化简以下各表达式,并标出化
15、简结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_果向量:( 1) ABBCCD .11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( 2) AB BDBC .( 3) AG2 ABAC .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知平行四边形ABCD ,从平面 AC 外一点 O 引向量.OEkOA,OFkOB,OGkOC,OHkOD .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( 1)求证:四点E, F ,G , H 共面.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( 2)平面 AC / 平面 EG .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.
16、如图正方体ABCDA1B1C1D1 中,B1E1D1F1A1B1 ,求4BE1 与 DF1 所成角的余弦.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 已知空间三点 A ( 0, 2, 3), B( 2, 1,6), C( 1, 1, 5).可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求以向量 AB, AC 为一组邻边的平行四边形的面积S.如向量 a 分别与向量AB , AC 垂直,且 |a | 3 ,求向量 a 的坐标.5. 已知平行六面体ABCDA B C D 中,AB4, AD3, AA5,BAD90,BAADAA60,求 AC 的长.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
17、品资料_1. 解:如图,( 1) ABBCCDACCDAD .111 参考答案 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( 2) AB BDBC ABBCBD .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222ABBMMGAG .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( 3) AG ABAC 2AGAMMG .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 解:( 1)证明:四边形ABCD 是平行四边形,ACABAD , EGOGOE , E, F , G, H 共面.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( 2)解:EFOFOEkOBOAkAB ,又
18、 EGkAC ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ EF /AB, EG /AC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,平面3.AC / 平面 EG .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:不妨设正方体棱长为1,建立空间直角坐标系Oxyz ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 B1,1,0 ,3E11,1 ,41D 0,0,011, F10,1 ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ BE1 BE10,1 ,41DF174D
19、F1,0,1 ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BE1DF11115001 1.441615可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos BE1, DF11615 .17171744AB AC1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 分析:AB 2, 1,3, AC1, 3,2,cosBAC| AB| AC |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ BAC 60,S| AB | AC| sin 6073可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 a ( x, y, z),就aAB2 xy3z0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 x y z 1 或 x y z 1, a ( 1, 1, 1)或 a ( 1, 1, 1).可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 解: | AC|2 ABADAA 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| AC |85 .所以,可编辑资料 - - - 欢迎下载
限制150内