2013年北京市中考数学试卷及答案.pdf
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1、2013 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷数学试卷解析解析满分 120 分,考试时间 120 分钟一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分)下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的。1.在关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划(2013-2015)中,北京市提出了总计约 3 960 亿元的投资计划。将 3 960 用科学计数法表示应为A.39.6102B.3.96103C.3.96104D.3.96104答案:B解析:科学记数法的表示形式为a10n的形式,其中1|a|10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3 9603.961032.3的倒数是4433
2、4A.B.C.D.3443答案:D解析:a(a 0)的倒数为134,所以,的倒数是a433.在一个不透明的口袋中装有 5 个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5,从中随机摸出一个小球,其标号大于2 的概率为A.1234B.C.D.555535答案:C解析:大于 2 的有 3、4、5,共 3 个,故所求概率为4.如图,直线a,b被直线c所截,ab,1=2,若3=40,则4 等于A.40B.50C.70D.80答案:C解析:12470。1(18040)70,由两直线平行,内错相等,得25.如图,为估算某河的宽度,在河对岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得ABBC,CDBC
3、,点E 在 BC 上,并且点A,E,D 在同一条直线上。若测得 BE=20m,EC=10m,CD=20m,则河的宽度 AB 等于A.60mB.40mC.30mD.20m答案:B解析:由EABEDC,得:CECD1020,即,解得:AB40=BEAB20AB6.下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是答案:A解析:B 既是轴对称图形,又是中心对称图形;C 只是轴对称图形;D 既不是轴对称图形也不是中心对称图形,只有A 符合。7.某中学随机地调查了50 名学生,了解他们一周在校的体育锻炼时间,结果如下表所示:时间(小时)人数51061572085则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间
4、是A.6.2 小时B.6.4 小时C.6.5 小时D.7 小时答案:B解析:平均体育锻炼时间是50+90+140+406.4 小时。508.如图,点 P 是以 O 为圆心,AB 为直径的半圆上的动点,AB=2,设弦 AP的长为x,APO 的面积为y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是答案:A解析:很显然,并非二次函数,排除B;采用特殊位置法;当P点与A点重合时,此时AP=x=0,SPAO=0;当P点与B点重合时,此时AP=x=2,SPAO=0;AHOBP本题最重要的为当AP=x=1时,此时APO为等边三角形,SPAO=31;44排除B、C、D.选择A.【点评】动点函数图象问题选取
5、合适的特殊位置,然后去解答是最为直接有效的方法二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分)9.分解因式:ab2 4ab+4a=_答案:a(b2)2解析:原式a(b24a+4)a(b2)210.请写出一个开口向上,并且与y 轴交于点(0,1)的抛物线的解析式_答案:yx21解析:此题答案不唯一,只要二次项系数大于0,经过点(0,1)即可。11.如图,O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点,M 是 AD 的中点,若AB=5,AD=12,则四边形 ABOM 的周长为_答案:20解析:由勾股定理,得 AC13,因为 BO 为直角三角形斜边上的中线,所以,BO6.5,由中位线,得 MO2.5,所
6、以,四边形 ABOM的周长为:6.52.5652012.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线:t=x1,双曲1。在上取点 A1,过点 A1作x轴的垂线交双曲线于点B1,x过点 B1作y轴的垂线交于点 A2,请继续操作并探究:过点 A2线y=作x轴的垂线交双曲线于点B2,过点 B2作y轴的垂线交于点 A3,这样依次得到上的点 A1,A2,A3,An,。记点 An的横坐标为an,若a1=2,则a2=_,a2013=_;若要将上述操作无限次地进行下去,则a1不能取的值是_答案:解析:根据A1(2,3)求出B12,;根据B12,求出A2,;12123 12 2根据A2,求出B2,;3 12 232
7、23根据B2,求出A3,;3223 1323根据A3,求出B3,3;1323 13根据B3,3求出A4(2,3);至此可以发现本题为循环规律,3 次一循环,2013=3670+3;13a2013=a3=;1重 复 上 述 过 程,可 求 出A1(a1,a11)、B1a1,a、A2a,a、111131 a+1 1 a1+1a1a111B2,A,B,a 1、331a、A4(a1,a11);a+1a+1a+1a+111111由上述结果可知,分母不能为0,故a1不能取0和1.【点评】找规律的题目,规律类型有两种类型,递进规律和循环规律,对于循环规律类型,多求几种特殊情况发现循环规律是最重要的.三、解答
8、题(本题共 30 分,每小题 5 分)13.如图,已知 D 是 AC 上一点,AB=DA,DEAB,B=DAE。求证:BC=AE。解析:14.计算:(13)0+2 2cos45+()1。解析:143x x 216、解不等式组:x+1 2x3解析:16.已知x2 4x 1=0,求代数式(2x 3)(x+y)(x y)y的值。解析:2217.列方程或方程组解应用题:某园林队计划由 6 名工人对 180 平方米的区域进行绿化,由于施工时增加了 2 名工人,结果比计划提前 3 小时完成任务。若每人每小时绿化面积相同,求每人每小时的绿化面积。解析:18已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k 4=0有两
9、个不相等的实数根(1)求k的取值范围;(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值。解析:四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分)19如图,在ABCD 中,F 是 AD 的中点,延长BC 到点 E,使 CE=(1)求证:四边形 CEDF 是平行四边形;(2)若 AB=4,AD=6,B=60,求 DE 的长。解析:1BC,连结 DE,CF。220如图,AB 是O 的直径,PA,PC 分别与O 相切于点A,C,PC 交 AB 的延长线于点 D,DEPO 交 PO 的延长线于点 E。(1)求证:EPD=EDO(2)若 PC=6,tanPDA=解析:3,求 OE 的长。421第九届中国国际
10、园林博览会(园博会)已于2013 年 5 月 18 日在北京开幕,以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分:(1)第九届园博会的植物花园区由五个花园组成,其中月季园面积为 0.04 平方千米,牡丹园面积为_平方千米;(2)第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的18 倍,水面面积是第七、八两届园博会的水面面积之和,请根据上述信息补全条形统计图,并标明相应数据;(3)小娜收集了几届园博会的相关信息(如下表),发现园博会园区周边设置的停车位数量与日接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系,根据小娜的发现,请估计将于 2015 年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位
11、数量(直接写出结果,精确到百位)。第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表第七届第八届日均接待游客量(万人次)0.82.3单日最多接待游客量(万人次)68.2停车位数量(个)约 3 000约 4 000第九届第十届解析:8(预计)1.9(预计)20(预计)7.4(预计)约 10 500约_22阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图 1,在边长为a(a2)的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE=BF=CG=DH=1,当AFQ=BGM=CHN=DEP=45时,求正方形 MNPQ的面积。小明发现:分别延长QE,MF,NG,PH,交FA,GB,HC,ED 的延长线于点 R,S,T,W,可得RQ
12、F,SMG,TNH,WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2)请回答:(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙,不重叠),则这个新的正方形的边长为_;(2)求正方形 MNPQ 的面积。参考小明思考问题的方法,解决问题:如图 3,在等边ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF,再分别过点D,E,F 作 BC,AC,AB 的垂线,得到等边RPQ,若SRPQ=解析:3,则 AD 的长为_。3五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8分)23在平面直角坐标系xOy中,抛物线与y轴交于点 A,其对称轴与x轴y=mx22mx 2(m 0)交
13、于点 B。(1)求点 A,B 的坐标;(2)设直线与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称,求直线的解析式;(3)若该抛物线在2 x 1这一段位于直线的上方,并且在2 x 3这一段位于直线AB的下方,求该抛物线的解析式。解析:【解析】(1)当x=0时,y=2.A(0,2)抛物线对称轴为x=2m=12mB(1,0)2)(2)易得A点关于对称轴的对称点为A(2,则直线l经过A、B.没直线的解析式为y=kx+b2k+b=2k=2则,解得b=2k+b=0直线的解析式为y=2x+2(3)抛物线对称轴为x=1抛物体在2x3这一段与在1x0这一段关于对称轴对称结合图象可以观察到抛物线在2x1这一段位于直线l的
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