[概率学]概率.pdf
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1、 概率学概率学 概率概率概率篇 1:有关概率的主要内容概率(Probability):是指某一事件在相同的条件下可能发生也可能不发生,这类事件成为随机事件(random occurrence)。概率就是用来表示随机事件发生的可能性大小的一个量。很自然的吧必然发生的概率定为 1,并把不可能发生的事件的概率定为 0,而一般随机事件的概率是介于 0 和 1 之间的一个数。一、等概基本事件组满住下列二条性质的 n 个随机事件 A1,A2,An 被称为“等概基本事件组”:A1,A2,An发生的机会相等;在任一实验中,A1,A2,An 中只有一个发生。等概基本事件组中的任一随机事件 Ai(i=1,2,n)
2、称为“基本事件”。如果事件 B是由等概念基本事件组 A1,A2,An 的 m 个基本事件构成,则事件 B 的概率P(B)=m/n,这种讨论事件概率的模型称为“古典概型”。ps:排列组合结合概率中的“古典概率”就可以解决几乎所有的 GRE 数学概率问题,但要灵活应用,而且很多题目看起来像概率题实际上它就是各抽屉原理(6 个球放到 5 个抽屉里则至少有一个抽屉里有两个或的球),他就让你比较和 1 的大小,当然是相等。二、正态分布某高斯分布(Gaussian)(正态分布)的概率密度函数为一钟型曲线,即 a 为均值,为标准方差,曲线关于某=a 的虚线对称,决定了曲线的“胖瘦”,形状为:(省略)某高斯型
3、随机变量的概率分布函数,是将其密度函数取积分,即,表示随机变量 A 的取值小于等于某的概率。比如 A 的取值小于等于均值 a 的概率是50%。曲线为 ps。如果你没学过概率论的话,这部分内容很难理解,不过不要紧,答错一道题也可以拿八百分的:),绝大部分时候你不会遇见这种题的。概率篇 2:概率论知识点总结第 1页 共 8页第一章 概率论的基本概念 1.随机试验确定性现象:在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。随机现象:在个别实验中呈现不确定性,在大量实验中呈现统计规律性,这种现象称为随机现象。随机试验:为了研究随机现象的统计规律而做的的实验就是随机试验。随机试验的特点:1)可以在相同条件下重复
4、进行;2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会先出现;2.样本空间、随机事件样本空间:我们将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间,记为 S。样本点:构成样本空间的元素,即 E 中的每个结果,称为样本点。事件之间的基本关系:包含、相等、和事件(并)、积事件(交)、差事件(A-B:包含 A 不包含 B)、互斥事件(交集是空集,并集不一定是全集)、对立事件(交集是空集,并集是全集,称为对立事件)。事件之间的运算律:交换律、结合律、分配率、摩根定理(通过韦恩图理解这些定理)3.频率与概率频数:事件 A 发生的次数
5、频率:频数/总数概率:当重复试验的次数 n 逐渐增大,频率值就会趋于某一稳定值,这个值就是概率。概率的特点:1)非负性。2)规范性。3)可列可加性。概率性质:1)P(空集)=0,2)有限可加性,3)加法公式:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)4.古典概型学会利用排列组合的知识求解一些简单问题的概率(彩票问题,超几何分布,分配问题,插空问题,捆绑问题等等)5.条件概率第 2页 共 8页定义:A 事件发生条件下 B 发生的概率 P(B|A)=P(AB)/P(A)乘法公式:P(AB)=P(B|A)P(A)全概率公式与贝叶斯公式 6.独立性检验设 A、B 是两事件,如果满足等式 P(AB)=
6、P(A)P(B)则称事件 A、B 相互独立,简称 A、B 独立。第二章随机变量及其分布 1.随机变量定义:设随机试验的样本空间为 S=e.某=某(e)是定义在样本空间 S上的单值函数,称某=某(e)为随机变量。2.离散型随机变量及其分布律三大离散型随机变量的分布 1)(01)分布。E(某)=p,D(某)=p(1-p)2)伯努利试验、二项分布 E(某)=np,D(某)=np(1-p)3)泊松分布 P(某=k)=(k)e(-)/k!(k=0,1,2,。)E(某)=,D(某)=注意:当二项分布中 n 很大时,可以近似看成泊松分布,即 np=3.随机变量的分布函数定义:设某是一个随机变量,某是任意的实
7、数,函数 F(某)=P(某某),某属于 R 称为某的分布函数 分布函数的性质:1)F(某)是一个不减函数 2)0F(某)1离散型随机变量的分布函数的求法(由分布律求解分布函数)连续性随机变量的分布函数的求法(由分布函数的图像求解分布函数,由概率密度求解分布函数)4.连续性随机变量及其概率密度连续性随机变量的分布函数等于其概率密度函数在负无穷到某的变上限广义积分 相反密度函数等与对应区间上分布函数的导数 密度函数的性质:1)f(某)0第 3页 共 8页 2)密度函数在负无穷到正无穷上的广义积分等于 1三大连续性随机变量的分布:1)均与分布 E(某)=(a+b)/2 D(某)=(b-a)2/12
8、2)指数分布 E(某)=D(某)=2 3)正态分布一般式(标准正态分布)5.随机变量的函数的分布 1)已知随机变量某的 分布函数求解 Y=g(某)的分布函数 2)已知随机变量某的 密度函数求解 Y=g(某)的密度函数 第三章 多维随机变量及其分布(主要讨论二维随机变量的分布)1.二维随机变量定义 设(某,Y)是二维随机变量,对于任意实数某,y,二元函数 F(某,Y)=P(某某)交(Yy)称为二维随机变量(某,Y)的分布函数或称为随机变量联合分布函数离散型随机变量的分布函数和密度函数 连续型随机变量的分布函数和密度函数重点掌握利用二重积分求解分布函数的方法 2边缘分布离散型随机变量的边缘概率连续
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