微分方程及其分类复习课程.ppt
《微分方程及其分类复习课程.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《微分方程及其分类复习课程.ppt(41页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、一、一、微分方程微分方程(wi fn fn(wi fn fn chn)chn)的概念的概念二、二阶线性偏微分方程二、二阶线性偏微分方程(wi fn(wi fn fn chn)fn chn)的分类的分类微分方程(wi fn fn chn)及其解法第一页,共41页。函数是研究客观事物运动规律的一个重要工具,因此寻求客观事物运动变化过程(guchng)中的函数关系是十分重要的,然而,在许多问题中,往往不能直接找出所需的函数关系。但根据问题所给的条件,有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式,这样的关系式就是所谓的微分方程。第二页,共41页。解解 为了便于阐述(chnsh)微分方程的有关概念,先看下
2、面例子:例例1 1 一曲线通过点一曲线通过点,且在该曲线上任一点且在该曲线上任一点切线的斜率为切线的斜率为,求这曲线的方程求这曲线的方程。对上式两边对上式两边(lingbin)积分有积分有由于所求曲线通过点由于所求曲线通过点一、微分方程一、微分方程(wi fn fn chn)的概念的概念第三页,共41页。1.1.微分方程微分方程(wi fn(wi fn fn chn)fn chn)的定义的定义凡含有未知函数以及未知函数的导数(或微分凡含有未知函数以及未知函数的导数(或微分(wi fn))的方程叫微分的方程叫微分(wi fn)方程。方程。例例2.2.微分方程微分方程(wi fn(wi fn fn
3、 chn)fn chn)的分类的分类 3.3.微分方程的阶微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。第四页,共41页。例例2 判断下列方程是否判断下列方程是否(sh fu)为微分方程?若是,是为微分方程?若是,是几阶几阶 的微分方程?的微分方程?解解(1)是,)是,1阶;阶;(2)是,)是,1阶;阶;(3)是,)是,2阶;阶;(4)是,)是,3阶;阶;(5)是,)是,1阶;阶;(6)不是)不是(b shi)。第五页,共41页。4.4.微分方程微分方程(wi fn(wi fn fn chn)fn chn)的解的解 任何代入微分方程后使
4、微分方程恒成立的函数。任何代入微分方程后使微分方程恒成立的函数。(1)微分方)微分方 程的通解程的通解 如果在微分方程的解中,所含的独立的常数的个数与如果在微分方程的解中,所含的独立的常数的个数与微分方程的阶数相同微分方程的阶数相同(xin tn),这样的解就叫微分方,这样的解就叫微分方程的通解程的通解(2)微分方程的特解)微分方程的特解当微分方程的通解中各任意常数都取定值时所得的解当微分方程的通解中各任意常数都取定值时所得的解(3)微分方程的初始条件微分方程的初始条件第六页,共41页。确定通解确定通解(tngji)中的任意常数的附加条件。中的任意常数的附加条件。5.5.微分方程微分方程(wi
5、 fn fn(wi fn fn chn)chn)解的几何意义解的几何意义通解通解(tngji)(tngji)的图象的图象:积分曲线族积分曲线族.特解的图象特解的图象:微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.例例3 3解解第七页,共41页。又因为这个解中含有两个独立的任意常数又因为这个解中含有两个独立的任意常数 ,而方程为二阶微分方程,所以而方程为二阶微分方程,所以第八页,共41页。因此方程因此方程(fngchng)满足初始条件的特解满足初始条件的特解为为第九页,共41页。二阶线性偏微分方程二阶线性偏微分方程(wi fn fn chn)的分类的分类 本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方法
6、和偏微分方程的标准化.特别对于常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法也进行了详细讨论,这对后面(hu mian)的偏微分方程求解是十分有用的.第十页,共41页。在数学(shxu)物理方程的建立过程中,我们主要讨论了三种类型的偏微分方程:波动方程;热传导方程;稳定场方程这三类方程描写了不同物理现象及其过程,后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点我们在解析几何中知道对于我们在解析几何中知道对于(duy)二次实曲线二次实曲线其中其中(qzhng)为常数,且设为常数,且设 10.2 数学物理方程的分类数学物理方程的分类第十一页,共41页。则则当当 时,上述二次曲线时,上述二次曲线(r c q x
7、in)分别为双分别为双曲线、抛物线和椭圆曲线、抛物线和椭圆(tuyun)受此启发,下面我们来对二阶线性偏受此启发,下面我们来对二阶线性偏微分方程进行微分方程进行(jnxng)分类分类.下面主要以含下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程两个自变量的二阶线性偏微分方程为例,进行理为例,进行理论分析而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些,但讨论的基本论分析而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些,但讨论的基本方法是一样的方法是一样的两个自变量两个自变量(x,y)的二阶线性偏微分方程所具有的的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为普遍形式为第十二页,共41页。(10.2.1)其中其中(qzhng)为为
8、的已知函数的已知函数(hnsh)定理定理(dngl)10.2.1 如果如果 是方程是方程(10.2.2)的一般积分,则的一般积分,则 是方程是方程第十三页,共41页。(10.2.3)的一个的一个(y)特解特解在具体在具体(jt)求解方程求解方程(10.2.10)时,需要分三种情况讨论判别式时,需要分三种情况讨论判别式 1.当判别式当判别式 以求得两个以求得两个(lin)实函数解实函数解 时,从方程时,从方程(10.2.10)可可第十四页,共41页。也就是说,偏微分方程也就是说,偏微分方程(wi fn fn chn)(10.2.1)有两条实的特征线于是,令有两条实的特征线于是,令即可使得即可使得
9、(sh de)同时,根据同时,根据(10.2.4)式,就可以式,就可以(ky)断定断定 所以,方程所以,方程(10.2.6)即为即为 (10.2.4)第十五页,共41页。或者或者(huzh)进一步作变换进一步作变换于是于是(ysh)有有所以所以(suy)第十六页,共41页。又可以又可以(ky)进一步将方程进一步将方程(10.2.11)化为化为 这种类型的方程称为双曲型方程我们(w men)前面建立的波动方程就属于此类型2当判别式当判别式 时:这时方程时:这时方程(fngchng)(10.2.10)一定有重根一定有重根第十七页,共41页。因而只能因而只能(zh nn)求得一个解,例如,求得一个解
10、,例如,特征,特征(tzhng)线为线为 一条实特征一条实特征(tzhng)线作变换线作变换 就可以使就可以使 由由(10.2.4)式可以得出,一定有式可以得出,一定有,故可推出,故可推出 这样就可以任意选取另一个变换,这样就可以任意选取另一个变换,只要它和只要它和 彼此独立,即雅可俾式彼此独立,即雅可俾式第十八页,共41页。即可这样即可这样(zhyng),方程,方程(10.2.6)就化为就化为 此类方程称为抛物型方程热传导(扩散(kusn))方程就属于这种类型第十九页,共41页。3.当判别式当判别式 面的讨论面的讨论(toln),只不过得到的,只不过得到的 时:这时,可以时:这时,可以(ky
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 微分方程 及其 分类 复习 课程
限制150内