《统计学》贾俊平.doc
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1、概率论与数量统计一、连续型随机变量分布函数及其概率密度1概率密度与它的基本性质设对于随机变量x的分布函数F(x),如果存在非负可积函数f(x), 使得对任意的实数x,都有 成立,则称x为连续型随机变量,f(x)便是x的概率密度(或分布密度)。概率密度具有如下基本性质:(1) (非负性);(2) (规范性);(3)对任何实数c,有;对任意的实数a,b(aa为常数。则称服从区间(a, b)上的均匀分布,简记为。均匀分布是等可能概型在连续情形下的推广。(4)正态分布设随机变量有概率密度 其中,为常数。则称服从参数为,的正态分布,简记为 。特别,当=0,=1时,有。 此时称服从标准正态分布。简记为N(
2、0,1)。 5概率密度与分布函数的互求当概率密度给定时,运用逐段积分可求得分布函数。即,如此得到的分布函数是定义在整个实数轴上的连续函数。反之,当分布函数已知时,在f(x)的连续点上运用逐段微分可求得概率密度。即。可见,连续型随机变量的概率密度和分布函数亦可以相互唯一确定。6给定分布时的概率计算小结(1)分布律已知时的概率计算公式是 (2)概率密度已知时的概率计算公式是 (3)分布函数已知时的概率计算公式是 (4)正态分布下的概率计算公式是其中rvx;F(x)为标准正态分布函数。当x0时其数值可查标准正态分布函数数值表(以下简称正态分布表)直接得到;对于负实数x,在公式F(x)=1-F(-x)
3、转化下,仍可查表求值。二随机变量函数的分布随机变量x的函数在一定条件下仍是随机变量。h的分布可由x的已知分布确定。但在求h的分布具体处理方法上,离散型和连续型是有区别的。1离散型随机变量x的函数分布设x为一离散型随机变量,其分布律为x1x2xnpip1p2pn则当诸的值互异时,h的分布律为pip1p2pn 如果中有某些值相同时,则将相应概率相加之后予以合并处理,必要时重新排序后写出h的分布律。可见,在离散型场合下,h的分布律完全由x的分布律确定。2连续型随机变量x的函数分布设x为连续型随机变量,其概率密度为,则仍为连续型随机变量,其概率密度的计算步骤为:(1) 根据x的概率密度,求出的分布函数
4、 其中,(2) 对求导得的概率密度 在函数可导且严格单调时,的概率密度为 ,其中是严格单调可微函数(与对应的普通函数)的反函数。至于的取值范围,原则上将由中x的取值范围及中的的允许范围讨论确定。可见,连续型场合下,的概率密度完全由x的概率密度确定。3连续型随机向量的函数的分布 P97 如卷积公式卷积公式:设的联合密度函数为,求的密度函数。如果是相互独立的随机变量,则有(卷积公式)4随机向量的数字特征 P104 协方差 协方差矩阵 相关系数设为二维随机变量,第四章 数理统计的基础知识4.1 总体与样本一、总体与总体分布定义4.1 在统计学中称随机变量(或向量)X为总体,并把随机变量(或向量)X的
5、分布称为总体的分布。二、样本与样本分布4.2 称为总体X的简单随机样本,若是独立同分布的随机变量,且与总体X同分布。样本中所含分量的个数n称为该样本的容量。以大写的英文字母表示随机变量,而以相应的小写英文字母表示它的观察值,并称样本的一组具体的观察值为样本值。设总体X的分布函数为,则由定义4.2知,样本的分布函数为称之为样本分布。若总体X为连续型随机变量,其密度函数为,则样本的密度函数为。三、统计推断问题简述即借助总体X的一个样本,对总体X的未知分布进行推断,我们把这类问题统称为统计推断问题。4.2 统计量一、统计量的定义定义4.3 设为总体X的一个样本,称此样本的任一不含总体分布未知参数的函
6、数为该样本的统计量。如 二、常用的统计量1.样本均值 称样本的算术平均值为样本均值,记为,即2.样本方差 更多时候用修正样本方差3.样本标准差 4.样本原点矩 , 并称为样本的k阶原点矩。5.样本中心矩 ,并称为样本的k阶中心矩。三、枢轴量 仅含一个未知参数,但其分布却已知的样本函数称为枢轴量。如总体,其中已知,未知,为总体的一个样本,令,上述函数U中虽然含有未知参数,但总有,故U是一枢轴量,可以对作统计推断。4.3 常用的统计分布一、分位数定义4.4 设随机变量X的分布函数为,对给定的实数如果实数满足即或则称为随机变量X的分布的水平的上侧分位数。或直接称为分布函数F(x)的水平的上侧分位数。
7、定义4.5 设X是对称分布的连续型随机变量,其分布函数为,对给定的实数如果正实数满足即 则称为随机变量X的分布的水平的双侧分位数,也简称为分位数,或直接称为分布函数的水平的分位数。二、分布在第二例2.29:若,则的密度函数为 (4.17)命题4.1 设是n个相互独立的随机变量,且,i=1,2,n,则 的密度函数为(4.18)其中是(伽马)函数。定义4.6 一个随机变量X称为服从以n为自由度的分布,如果其密度函数由(4.18)给出,记作。(命题4.1证明)由(4.17)知,当n=1时,(4.18)成立,使用数学归纳法,设n=k时,(4.18)成立,令,。由归纳假设及(4.17)知:的密度函数分别
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