统计学原理贾俊平.pptx
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1、参数估计在统计方法中的地位统计方法统计方法描述统计推断统计参数估计假设检验第1页/共88页统计推断的过程样样本本总体总体样本统计量样本统计量样本统计量例如:样本均例如:样本均例如:样本均值、比例、方值、比例、方值、比例、方差差差总体均值、总体均值、比例、方差比例、方差第2页/共88页第六章 抽样与参数估计第一节 抽样与抽样分布 第二节 参数估计基本方法第三节 总体均值和总体比例的区间估计第四节 两个总体均值及两个总体比例之差的估计第五节 正态总体方差及两正态总体方差比的区间估计第3页/共88页学习目标1.了解抽样和抽样分布的基本概念2.理解抽样分布与总体分布的关系3.了解点估计的概念和估计量的
2、优良标准4.掌握总体均值、总体比例和总体方差的区间估计第4页/共88页第一节 抽样与抽样分布一.总体、个体和样本二.关于抽样方法三.样本均值的分布与中心极限定理四.样本方差的分布五.两个样本方差比的分布六.T 统计量的分布第5页/共88页总体、个体和样本(概念要点)总体(Population):调查研究的事物或现象的全体个体(Item unit):组成总体的每个元素样本(Sample):从总体中所抽取的部分个体样本容量(Sample size):样本中所含个体的数量第6页/共88页抽样方法(概念要点)1.概率抽样:根据已知的概率选取样本 简单随机抽样:完全随机地抽选样本 分层抽样:总体分成不同
3、的“层”,然后在每一层内进行抽样 整群抽样:将一组被调查者(群)作为一个抽样单位 等距抽样:在样本框中每隔一定距离抽选一个被调查者2.非概率抽样:不是完全按随机原则选取样本 非随机抽样:由调查人员自由选取被调查者 判断抽样:通过某些条件过滤来选择被调查者3.配额抽样:选择一群特定数目、满足特定条件的被调查者第7页/共88页样本均值的抽样分布第8页/共88页1.所有样本指标(如均值、比例、方差等)所形成的分布称为抽样分布2.是一种理论概率分布3.随机变量是 样本统计量样本均值,样本比例等4.结果来自容量相同的所有可能样本抽样分布(概念要点)第9页/共88页样本均值的抽样分布(一个例子)【例例】设
4、设一一个个总总体体,含含有有4 4个个元元素素(个个体体),即即总总体体单单位位数数N N=4=4。4 4 个个个个体体分分别别为为X X1 1=1=1、X X2 2=2=2、X X3 3=3=3、X X4 4=4=4。总体的均值、方差及分布如下。总体的均值、方差及分布如下均值和方差均值和方差总体分布总体分布1 14 42 23 30 0.1.1.2.2.3.3第10页/共88页样本均值的抽样分布(一个例子)现现从从总总体体中中抽抽取取n n2 2的的简简单单随随机机样样本本,在在重重复复抽抽样样条条件件下下,共共有有4 42 2=16=16个个样样本本。所所有有样样本本的的结结果果如下表如下
5、表3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的所有可能的n n=2 =2 的样本(共的样本(共1616个)个)第11页/共88页样本均值的抽样分布(一个例子)计算出各样本的均值,如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值1616个样本的均值(个样本的均值(x x)样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布1.01.00 0.1.1.2.2.3.3P P(x x)1.51.53
6、.03.04.04.03.53.52.02.02.52.5x x第12页/共88页所有样本均值的均值和方差式中:式中:MM为样本数目为样本数目比较及结论:比较及结论:1.1.样本均值的均值(数学期望)等于总体均值样本均值的均值(数学期望)等于总体均值 2.2.样本均值的方差等于总体方差的样本均值的方差等于总体方差的1/1/n n第13页/共88页样本均值的分布与总体分布的比较抽样分布抽样分布 =2.5 2=1.25总体分布总体分布1 14 42 23 30 0.1.1.2.2.3.3P P(x x)1.01.00 0.1.1.2.2.3.31.51.53.03.04.04.03.53.52.0
7、2.02.52.5x x第14页/共88页样本均值的抽样分布与中心极限定理 =50=50=50 =10=10=10X X X总体分布总体分布总体分布n n=4=4抽样分布抽样分布抽样分布Xn n=16=16当当总总体体服服从从正正态态分分布布N N (,2 2)时时,来来自自该该总总体体的的所所有有容容量量为为n n的的样样本本的的均均值值 X X也也服服从从正正态态分分布布,X X 的的数学期望为数学期望为,方差为,方差为 2 2/n n。即。即 X XN N(,2 2/n n)第15页/共88页中心极限定理(图示)当样本容量足够当样本容量足够大时大时(n n 30)30),样本均值的抽样样
8、本均值的抽样分布逐渐趋于正分布逐渐趋于正态分布态分布中中心心极极限限定定理理:设设从从均均值值为为,方方差差为为 2 2的的一一个个任任意意总总体体中中抽抽取取容容量量为为n n的的样样本本,当当n n充充分分大大时时,样样本本均均值值的的抽抽样分布近似服从均值为样分布近似服从均值为、方差为、方差为 2 2/n n的正态分布的正态分布一个任意分一个任意分布的总体布的总体X X第16页/共88页样本方差的抽样分布第17页/共88页样本方差的分布设总体服从正态分布N (,2),X1,X2,Xn为来自该正态总体的样本,则样本方差 s2 2 的分布为将2(n 1)称为自由度为(n-1)的卡方分布第18
9、页/共88页卡方(c c2)分布 选择容量为n 的简单随机样本计算样本方差S2计算卡方值2=(n-1)S2/2计算出所有的 2值不同容量样本的抽样分布不同容量样本的抽样分布c c c2 22n n=1=1n n=4=4n n=10=10n n=20=20 总体第19页/共88页均值的标准误1.所有可能的样本均值的标准差,测度所有样本均值的离散程度2.小于总体标准差3.计算公式为第20页/共88页两个样本方差比的抽样分布第21页/共88页两个样本方差比的抽样分布 设设X X1 1,X X2 2,X Xn1n1是是来来自自正正态态总总体体N N(1 1,1 12 2)的的一一个个样样本本,Y Y1
10、 1,Y Y2 2,Y Yn2n2是是来来自自正正态态总总体体N N(2 2,2 22 2)的的 一一 个个 样样 本本,且且 X Xi i(i i=1,2,=1,2,,n n1 1),Y Yi i(i i=1,2,=1,2,,n n2 2)相互独立,则相互独立,则将将F F(n n1 1-1-1,n n2 2-1-1)称称为为第第一一自自由由度度为为(n n1 1-1)-1),第第二二自由度为自由度为(n n2 2-1)-1)的的F F分布分布第22页/共88页两个样本方差比的抽样分布 不同样本容量的抽样分布F F F(1,10)1,10)(5,10)(5,10)(10,10)(10,10)
11、第23页/共88页T 统计量的分布第24页/共88页T 统计量的分布 设设X X1 1,X X2 2,X Xn1n1是是来来自自正正态态总总体体N N(1 1,1 12 2)的的一一个个样本,样本,称称为统计量为统计量,它服从自由度为它服从自由度为(n n-1)-1)的的t t 分布分布X X Xt t 分布与正态分布的比较分布与正态分布的比较正态分布正态分布t t 分布分布t t不同自由度的不同自由度的t t分布分布标准正态分布标准正态分布t t(dfdf=13)=13)t t(dfdf=5)=5)Z Z第25页/共88页第二节 参数估计基本方法一.点估计二.点估计的优良性准则三.区间估计第
12、26页/共88页参数估计的方法矩估计法矩估计法最小二乘法最小二乘法最大似然法最大似然法顺序统计量法顺序统计量法估 计 方 法点 估 计区间估计第27页/共88页被估计的总体参数总体参数总体参数总体参数总体参数符号表示符号表示符号表示符号表示用于估计的用于估计的用于估计的用于估计的样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量一个总体一个总体一个总体一个总体均值均值比例比例方差方差两个总体两个总体两个总体两个总体均值之差均值之差比例之差比例之差方差比方差比第28页/共88页点 估 计第29页/共88页点估计(概念要点)1.从总体中抽取一个样本,根据该样本的统计量对总体的未知参数作出一个数值点的估计例如
13、:用样本均值作为总体未知均值的估计值就是一个点估计2.点估计没有给出估计值接近总体未知参数程度的信息3.点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等第30页/共88页1.用于估计总体某一参数的随机变量如样本均值,样本比例、样本中位数等例如:样本均值就是总体均值的一个估计量如果样本均值 x=3,则 3 就是 的估计值2.理论基础是抽样分布估计量(概念要点)二战中的点估计二战中的点估计第31页/共88页估计量的优良性准则(无偏性)无偏性:估计量的数学期望等于被估计的总体 参数P P(X X)X XC CA A 无偏无偏无偏有偏有偏有偏第32页/共88页估计量的优良性准则(有效性)
14、AB中位数的抽样分布中位数的抽样分布均值的抽样分布均值的抽样分布X XP P(X X)有效性:有效性:一个方差较小的无偏估计量称为一个更一个方差较小的无偏估计量称为一个更 有效的估计量。如,与其他估计量相比有效的估计量。如,与其他估计量相比 ,样本均值是一个更有效的估计量,样本均值是一个更有效的估计量第33页/共88页估计量的优良性准则(一致性)一致性:随着样本容量的增大,估计量越来越接 近被估计的总体参数AB较小的样本容量较小的样本容量较大的样本容量较大的样本容量 P P(X X)X X第34页/共88页区间估计第35页/共88页区间估计(概念要点)1.根据一个样本的观察值给出总体参数的估计
15、范围2.给出总体参数落在这一区间的概率3.例如:总体均值落在5070之间,置信度为 95%样本统计量样本统计量 (点估计点估计)置信区间置信区间置信下限置信下限置信上限置信上限第36页/共88页置信区间估计(内容)2已知2未知均 值方 差比 例置 信 区 间第37页/共88页落在总体均值某一区间内的样本x_XX=Zx95%95%的样本的样本 -1.96-1.96 x x +1.96+1.96 x x99%99%的样本的样本 -2.58-2.58 x x +2.58+2.58x x90%90%的样本的样本 -1.65-1.65 x x +1.65+1.65 x x第38页/共88页1.总体未知参
16、数落在区间内的概率2.表示为(1-为显著性水平,是总体参数未在区间内的概率3.常用的显著性水平值有 99%,95%,90%相应的 为0.01,0.05,0.10置信水平 第39页/共88页区间与置信水平 均值的抽样分布均值的抽样分布(1-(1-)%)%区间包含了区间包含了%的区间未包含的区间未包含 1-1-/2 2/2 2第40页/共88页影响区间宽度的因素1.数据的离散程度,用来测度2.样本容量,3.置信水平(1-),影响 Z 的大小第41页/共88页第三节 总体均值和总体比例 的区间估计一.总体均值的区间估计二.总体比例的区间估计三.样本容量的确定第42页/共88页总体均值的区间估计(已知
17、)第43页/共88页总体均值的置信区间(已知)1.假定条件总体服从正态分布,且总体方差()已知如果不是正态分布,可以由正态分布来近似(n 30)2.使用正态分布统计量3.总体均值总体均值 在在1-1-置信水平下的置信水平下的置信区间为置信区间为第44页/共88页总体均值的区间估计(正态总体:实例)解解:已已知知 N N(,0.150.152 2),x x2.14,2.14,n n=9,=9,1-1-=0.95=0.95,/2/2=1.96=1.96 总体均值总体均值 的置信区间为的置信区间为我我们们可可以以9595的的概概率率保保证证该该种种零零件件的的平平均长度在均长度在21.30221.3
18、0221.498 mm21.498 mm之间之间【例例】某某种种零零件件长长度度服服从从正正态态分分布布,从从该该批批产产品品中中随随机机抽抽取取件件,测测得得其其平平均均长长度度为为21.421.4 mmmm。已已知知总总体体标标准准差差 =0=0.1515mmmm,试试建建立立该该种种零零件件平平均均长长度度的的置置信信区区间间,给给定定置置信信水水平平为为0.950.95。第45页/共88页总体均值的区间估计(非正态总体:实例)解解:已已知知 x x26,26,=6=6,n n=100,=100,1-1-=0.950.95,/2/2=1.96=1.96我我们们可可以以9595的的概概率率
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- 统计学 原理 贾俊平
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