(考点梳理 考点自测 真题举例)高考总复习数学(理) 三角函数解三角形.doc
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1、第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切考点梳理1两角和与差的正弦、余弦和正切公式C():cos()cos cos sin sin .C():cos()cos_cos_sin_sin_.S():sin()sin cos cos sin .S():sin()sin_cos_cos_sin_.T():tan().T():tan().2在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等如T()可变形为:tan tan tan()(1tan_tan_),tan tan 11.3函数f()acos bsin (a,b为常数),可以化为f()sin()或f()cos(),其中可由
2、a,b的值唯一确定【助学微博】一个命题规律本讲在高考中主要考查三角函数式的化简、求值和恒等式证明,以客观题为主,难度一般不大,有时以向量为载体,以本讲内容为工具进行考查在三角式化简、求值后,进而研究三角函数的性质,是解答三角函数类试题的必要基本功,要求准确、迅速化到最简两个技巧(1)拆角、拼角技巧:2()();();.(2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等三个变化(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目
3、标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等考点自测1(2012宿迁联考)已知0,cos,则tan _.解析由0,得,所以sin,tan,tan tan.答案2(2012苏北四市调研)已知cos,则cos _.解析因为,所以,所以sin,cos coscoscos sinsin .答案3(2012苏州检测)函数f(x)coscos的最小正周期为_解析因为f(x)coscossin xsin 2xsin2 xcos,所以最小正周期为T.答案4(2012镇江统考)在等式tan 95tan 35tan 95tan 35中,根号下的表示的正整数是_解
4、析由tan 95tan 35tan 95tan 35,得tan 60,所以表示3.答案35(2012南京市、盐城市三模)已知sinsin ,0,则cos _.解析由sin cos sin sin cos ,得sin.又0,所以,所以cos.因此cos coscossin.答案考向一三角函数式的化简、求值【例1】 (1)化简(0);(2)求值:sin 10;(3)求值:tan 20tan 40tan 20tan 40.解(1)原式.因为0,所以0,所以cos 0,所以原式cos .(2)原式sin 10sin 10sin 10.2cos 10.(3)tan 60tan(2040),tan 20t
5、an 40tan 20tan 40,tan 20tan 40tan 20tan 40.方法总结 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征(2)对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有:化为特殊角的三角函数值;化为正、负相消的项,消去求值;化分子、分母出现公约数进行约分求值【训练1】 (1)化简:;(2)求2sin 50sin 10(1tan 10)的值解(1)法一原式tan .法二利用三角函数的其他公式原式tan .(2)原式sin 80cos 102sin 50cos 10sin 10cos(6010)2sin(5010)2.考向
6、二三角函数式的给值求值【例2】 (2012苏北四市质检)已知向量a(4,5cos ),b(3,4tan ),若ab,求:(1)|ab|;(2)cos的值解(1)因为ab,所以ab0,所以435cos (4tan )0,所以sin .由于,所以cos ,tan ,从而a(4,4),b(3,3),所以ab(7,1),从而|ab|5.(2)由(1)得sin ,cos ,所以coscos cossin sin.方法总结 三角函数的给值求值,关键是把待求角用已知角表示:已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和与差已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系【训练2】 (1)已知,
7、sin ,tan(),求cos 的值(2)已知sin(2),sin ,且,求sin 的值解(1),又tan()0,0.1tan2().cos(),sin().又sin ,cos .cos cos()cos cos()sin sin().(2),22.又0,0.20,22,cos(2).又0)的定义域为,值域为1,4(1)求m,n的值;(2)若f(x)2,求x的值解(1)f(x)m(1cos 2x)msin 2xn2mcosmn.因为x,所以2x,cos.因为m0,2mcos2m,m,所以f(x)max2mn4,f(x)minmn1,m1,n2.(2)由(1)可知,m0时,f(x)2cos32.
8、所以cos,所以x.方法总结 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:已知正切函数值,选正切函数;已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,),选余弦较好;若角的范围为,选正弦较好【训练3】 (1)已知cos ,cos(),且0,求.(2)已知,(0,),且tan(),tan ,求2的值解(1)0,0,sin .又cos(),sin(),cos cos()cos cos()sin sin().又00,00,02,tan(2)1.tan 0,20,2.考向四应用和(差)角公式研究三角函数的性质【例4】 (2012徐州考前信息卷)已知
9、函数f(x)sin2sin2.(1)判断函数f(x)的奇偶性,并给出证明;(2)求函数f(x)的最小正周期;(3)若x,求函数f(x)的值域解(1)f(x)为偶函数f(x)sin2sin2sin2sin2f(x),(xR),f(x)为偶函数(2)f(x)111cos 2x,f(x)的最小正周期为T.(3)x,2x,所以cos 2x,即f(x).故f(x)的值域为方法总结 研究函数f(x)Asin(x)的图象和性质,先要应用有关公式化归到这一类型,特别地,要熟悉f(x)asin xbcos xsin(x)(是特殊角)【训练4】 (2012青岛模拟)设函数f(x)cos2sin2(x)a.(1)求
10、函数f(x)的最小正周期;(2)若a,求函数yf(x)的单调递减区间解(1)f(x)cos2sin2(x)acos 2xcos sin 2xsin 2sin2 xacos 2xsin 2x(1cos 2x)asin 2xcos 2x1asin1a,所以f(x)的最小正周期为.(2)当a时,f(x)sin,f(x)sinsin.于是由2k2x2k(kZ),得kxk(kZ),所以yf(x)的单减区间是(kZ)方法优化1三角函数式中公式的正用与逆用在三角函数式中求值或化三角函数式为正弦型和余弦型函数,选用三角公式时可以根据需要进行正用与逆用,特别是逆用,要能真正把握,灵活应用【示例】 (2012安徽
11、)设函数f(x)cossin2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)设函数g(x)对任意xR,有gg(x),且当x时,g(x)f(x),求g(x)在区间,0上的解析式教你解题 正用公式将cos展开,逆用公式将sin2x降幂一般解法(1)f(x)cossin2xsin2xcos 2xsin 2xsin2x(cos2xsin2x)sin xcos xsin2x(cos2xsin2x)sin xcos xsin 2x.故f(x)的最小正周期为.(2)当x时,g(x)f(x)sin 2x.当x时,x,g(x)gsinsin(2x)sin 2x.当x时,x.g(x)g(x)sin2(x)sin 2x.
12、综上,得g(x)优美解法(1)f(x)sinsin2xsin 2x.故f(x)的最小正周期为.(2)同上面的解法高考经典题组训练1(2012重庆卷改编)设tan ,tan 是方程x23x20的两根,则tan ()的值为_解析由根与系数关系知而tan()3.答案32(2012大纲全国卷)当函数ysin xcos x(0x2)取得最大值时,x_.解析ysin xcos x2sin,由0x2得x,当x,即x时函数取得最大值答案3(2011浙江卷改编)若0,0,cos,cos,则cos_.解析coscoscoscossinsin,0,则,sin.又0,则0,xR)的最小正周期为10.(1)求的值;(2
13、)设,f,f,求cos()的值解(1)由已知得10,.(2)f(x)2cos,f2cos2sin ,f2cos2cos .又f,f,sin ,cos .又,cos ,sin .cos()cos cos sin sin .分层训练A级基础达标演练(时间:30分钟满分:60分)一、填空题(每小题5分,共30分)1(2011宿迁联考)已知tan,则tan _.解析tan tan.答案2(2012日照调研)已知cos ,且,则tan_.解析由条件得sin ,所以tan ,tan.答案3若cos(),cos(),则tan tan _.解析由cos cos sin sin ,cos cos sin sin
14、 ,解得cos cos ,sin sin ,所以tan tan .答案4若sin ,则cos_.解析因为,sin ,所以cos ,所以cos(cos sin ).答案5已知向量a,b(4,4cos ),若ab,则sin_.解析ab4sin4cos 2sin 6cos 4sin0,所以sin.所以sinsin.答案6(2012盐城市二模)函数f(x)sin 2xsin cos 2xcos在上的单调递增区间为_解析f(x)cos,当x时,2x,于是由2x,0,得f(x)在上的单调增区间为.答案二、解答题(每小题15分,共30分)7已知A,B,C是ABC的内角,向量m,n,满足|mn|.(1)求角A
15、的大小;(2)若sin Bsin Csin A,试判断ABC的形状解(1)由|mn|,得m2n22mn3,即1123,所以cos A,又0A,所以A.(2)因为sin Bsin Csin A,所以sin Bsin,即sin Bcos B,sin,又0B,所以B或,所以B或.因此B时,C;B时,C.故ABC为直角三角形8已知向量a(m,sin 2x),b(cos 2x,n),xR,f(x)ab,若函数f(x)的图象经过点(0,1)和.(1)求m,n的值;(2)求f(x)的最小正周期,并求f(x)在x上的最小值;(3)若f,时,求tan的值解(1)f(x)mcos 2xnsin 2x,因为f(0)
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