1996考研数一真题及答案解析.pdf
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1、欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)(1)设2lim()8xxxax a,则a _.(2)设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面428x yz 垂直,则此平面方程为_.(3)微分方程22xyyy e的通解为_.(4)函数22ln()uxyz在(1,0,1)A点处沿A点指向(3,2,2)B点方向的方向导数为_.(5)设A是4 3矩阵,且A的秩()2rA,而102020103B,则()rAB_.二、
2、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)已知2()()x ay dxydyx y为某函数的全微分,则a等于()(A)-1(B)0(C)1(D)2(2)设()fx有二阶连续导数,且(0)0f ,0()lim1|xf xx,则()(A)(0)f是()fx的极大值(B)(0)f是()fx的极小值(C)(0,(0)f是曲线()y fx的拐点(D)(0)f不是()fx的极值,(0,(0)f也不是曲线()y fx的拐点(3)设0(1,2,)nan,且1nna收敛,常数(0,)2,则级数21(1)(
3、tan)nnnnan()(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与有关(4)设()fx有连续的导数,(0)0f,(0)0f ,220()()()xFxx t ft dt,且当0 x 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!时,()F x与kx是同阶无穷小,则k等于()(A)1(B)2(C)3(D)4(5)四阶行列式1122334400000000ababbaba的值等于()(A)12341 2 3 4a aa a b b b b(B)12341 2 3 4a aa a b b b b(C)121 2343 4()()a a b b
4、 a a b b(D)232 3141 4()()aa b b a a b b三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分.)(1)求心形线(1 cos)r a的全长,其中0a 是常数.(2)设110 x,16(1,2,)nnxx n,试证数列nx极限存在,并求此极限.四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分.)(1)计算曲面积分(2)Sx z dydzzdxdy,其中S为有向曲面22(01)z xyz,其法向量与z轴正向的夹角为锐角.(2)设变换2,u xyu x ay 可把方程2222260zzzxxyy化简为20zuv,求常数a,其中(,)z zxy有二阶连续的偏
5、导数.五、(本题满分 7 分)求级数221(1)2nnn的和.六、(本题满分 7 分)设对任意0 x,曲线()y fx上点(,()xfx处的切线在y轴上的截距等于01()xft dtx,求()fx的一般表达式.七、(本题满分 8 分)设()fx在0,1上具有二阶导数,且满足条件|()|fxa,|()|f xb,其中,ab都是非欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!负常数,c是(0,1)内任一点,证明|()|22bfca.八、(本题满分 6 分)设TA E,其中E是n阶单位矩阵,是n维非零列向量,T是的转置,证明:(1)2AA的充要条件是1
6、T;(2)当1T时,A是不可逆矩阵.九、(本题满分 8 分)已知二次型222123123121323(,)55266fxx xxx cx x xx xxx的秩为 2.(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值;(2)指出方程123(,)1fxx x 表示何种二次曲面.十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.)(1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为 1%和 2%,现从由A和B的产品分别占 60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是_.(2)设、是两个相互独立且均服从正态分布21(0,()2N的随机变量,则随机变量 的数学期望()E _.十一
7、、(本题满分 6 分.)设、是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布律为 13Pi,i=1,2,3,又设max(,)X,min(,)Y.(1)写出二维随机变量(,)XY的分布律:XY123123(2)求随机变量X的数学期望()EX.欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)(1)【答案】ln2【解析】这是1型未定式求极限.方法一:3323lim()lim(1)xa axxa xaxxxaax a
8、x a,令3atx a,则当x 时,0t,则1303lim(1)lim(1)xaatxtatex a,即33limlim312lim()xxaxaxaxaxxaeeex a.由题设有38ae,得1ln8 ln23a.欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!方法二:2223()2221lim112limlimlim11lim1xxaxaxaxaxxaxxxaaxaaaxaexxxeax aeaaxxx ,由题设有38ae,得1ln8 ln23a.(2)【答案】2230 xyz【解析】方法一:所求平面过原点O与0(6,3,2)M,其法向量06,
9、3,2n OM;平面垂直于已知平面428x yz,它们的法向量也互相垂直:04,1,2n n;由此,00/6324 4641 2i j kn OMnij k .取223nij k,则所求的平面方程为2230 xyz.方法二:所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点0(6,3,2)M的向量06,3,2OM,另一是平面428x yz 的法向量04,1,2n)平行的平面,即632041 2x y z,即2230 xyz.(3)【答案】12(cos sin 1)xe cx cx【解析】微分方程22xyyy e所对应的齐次微分方程的特征方程为2220rr,解之得1,21ri.故对应齐次微
10、分方程的解为12(cossin)xy e Cx Cx.由于非齐次项,1xe不是特征根,设所给非齐次方程的特解为*()xy xae,代入22xyyy e得1a(也不难直接看出*()xy x e),故所求通解为1212(cossin)(cossin 1)xxxy e Cx Cx ee Cx Cx.【相关知识点】二阶线性非齐次方程解的结构:设*()y x是二阶线性非齐次方程()()()y Pxy Qxy fx的一个特解.()Yx是与之对应的齐次方程欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!()()0y Pxy Qxy的通解,则*()()y Yx y
11、 x是非齐次方程的通解.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法:对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Yx,可用特征方程法求解:即()()0y Pxy Qxy中的()Px、()Qx均是常数,方程变为0ypyqy.其特征方程写为20rprq,在复数域内解出两个特征根12,rr;分三种情况:(1)两个不相等的实数根12,rr,则通解为1212;rxr xy CeCe(2)两个相等的实数根12r r,则通解为112;rxyCCxe(3)一对共轭复根1,2ri,则通解为12cossin.xy e Cx Cx其中12,C C为常数.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y Pxy Qxy fx的一个特解
12、*()y x,可用待定系数法,有结论如下:如果()(),xmfxP xe则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()kxmy xxQ xe的特解,其中()mQ x是与()mP x相同次数的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取 0、1 或 2.如果()()cos()sin xlnfx e Pxx P xx,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()ypxy qxy fx的特解可设为*(1)(2)()cos()sin kxmmyxe Rxx Rxx,其中(1)()mRx与(2)()mRx是m次多项式,max,ml n,而k按i(或i)不是特征方程的根、或是特征方
13、程的单根依次取为0或1.(4)【答案】12【分析】先求方向l的方向余弦和,u u ux y z ,然后按方向导数的计算公式coscoscosuuuulxyz求出方向导数.【解析】因为l与AB同向,为求l的方向余弦,将3 1,20,2 12,2,1AB 单位化,即得12,2,1cos,cos,cos3|ABlAB.欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!将函数22ln()uxyz分别对,xyz求偏导数得22(1,0,1)112Auxxyz,2222(1,0,1)0()Auyyxyzyz,2222(1,0,1)12()Auzzxyzyz,所以c
14、oscoscosAAAAuuuulxyz1221110()2 332 32 .(5)【答案】2【解析】因为10 20 2 0 10 010 3B,所以矩阵B可逆,故()()2rAB rA.【相关知识点】()min(),()rABrA rB.若A可逆,则1()()()()()rAB rBrEB rA ABrAB.从而()()rAB rB,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩.二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(D)【解析】由于存在函数(,)uxy,使得22()()()x
15、ay dxydydux yx y,由可微与可偏导的关系,知2()ux ayxx y,2()uyyx y,分别对,yx求偏导数,得2243()()2()(2)()()uax yx ay x yax ayxyx yx y,欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!232()uyyxx y.由于2uyx与2uxy连续,所以22uuyxxy,即33(2)2()()ax ayyx yx y2a,故应选(D).(2)【答案】(B)【解析】因为()fx有二阶连续导数,且0()lim1 0,|xf xx 所以由函数极限的局部保号性可知,在0 x 的空心领域内
16、有()0|f xx,即()0f x,所以()fx为单调递增.又由(0)0f ,()fx在0 x 由负变正,由极值的第一充分条件,0 x 是()fx的极小值点,即(0)f是()fx的极小值.应选(B).【相关知识点】极限的局部保号性:设0lim().x xfxA若0A(或0A)0,当00 x x 时,()0fx(或()0fx).(3)【答案】(A)【解析】若正项级数1nna收敛,则21nna也收敛,且当n 时,有tanlim(tan)limnnnnnn .用比较判别法的极限形式,有22tanlim0nnnnana.因为21nna收敛,所以2limtannxnan也收敛,所以原级数绝对收敛,应选(
17、A).【相关知识点】正项级数比较判别法的极限形式:设1nnu和1nnv都是正项级数,且lim,nnnvAu则欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!(1)当0 A 时,1nnu和1nnv同时收敛或同时发散;(2)当0A时,若1nnu收敛,则1nnv收敛;若1nnv发散,则1nnu发散;(3)当A 时,若1nnv收敛,则1nnu收敛;若1nnu发散,则1nnv发散.(4)【答案】(C)【解析】用洛必达法则.由题可知2200()()()xxFxxft dt tft dt,对该积分上限函数求导数,得2200()2()()()2()xxF xx f
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