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1、理论力学(周衍柏第三版)习题附答案 - 1 - 第一章思索题解答 1.1 答:平均速度是运动质点在某一时间间隔 内位矢大小和方向变更的平均快慢速度,其方向沿位移的方向即沿 对应的轨迹割线方向;瞬时速度是运动质点在某时刻或某未知位矢和方向改变的快慢程度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向。在的极限状况,二者一样,在匀速直线运动中二者也一样的。1.2 答:质点运动时,径向速度 和横向速度 的大小、方向都变更,而 中的 只反映了 本身大小的变更, 中的 只是 本身大小的变更。事实上,横向速度 方向的变更会引起径向速度 大小大变更, 就是反映这种变更的加速度重量;经向速度 的方向变更也引起 的大小变
2、更,另一个 即为反映这种变更的加速度重量,故, 。这表示质点的径向与横向运动在相互影响,它们一起才能完整地描述质点的运动改变状况 1.3 答:内禀方程中, 是由于速度方向的变更产生的,在空间曲线中,由于 恒位于亲密面内,速度 总是沿轨迹的切线方向,而 垂直于 指向曲线凹陷一方,故 总是沿助法线方向。质点沿空间曲线运动时, z 何与牛顿运动定律不冲突。因质点除受作用力 ,还受到被动的约反作用力 ,二者在副法线方向的重量成平衡力 ,故 符合牛顿运动率。有人会问:约束反作用力靠谁施加,当然是与质点接触的四周其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。有人或许还会问:某时刻若大小不等, 就不为零
3、了?当然是这样,但此时刻质点受合力的方向与原来不同,质点的位置也在变更,副法线在空间中方位也不再是原来 所在的方位,又有了新的副法线,在新的副法线上仍满意 。这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性,也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。1.4 答:质点在直线运动中只有 ,质点的匀速曲线运动中只有 ;质点作变速运动时即有 。1.5 答:即反应位矢 大小的变更又反映其方向的变更,是质点运动某时刻的速度矢量,而 只表示 大小的变更。如在极坐标系中, 而 。在直线运动中,规定了直线的正方向后, 。且 的正负可表示 的指向,二者都可表示质点的运动速度;在曲线运动中 ,且 也表示不了 的指向,二者完全不同。
4、t t t D + t D0 DtrV Vθ θV Vrar& &rV Vqaq q& & &r r +θ θV Vθ θV VrV V2q & r -rV Vθ θV Vq & r2q & & & r r a r - = . 2 q qq& &r r a + =na a av vna v vna0 , 0 =b bF aF F R R 0 = +b bR F0 =bab bR F 与baba0 0 = = +b b ba R F 即na a 而无t ta a n 而无n ta a 又有dtdr r
5、r rdtdrr r j j i ir rq & & r rdtd+ = rdtdr& =dtddtdr r r=dtdrdtdr rdtddtdr r rdtdrdtdr r - 2 - 表示质点运动速度的大小,方向的变更是加速度矢量,而 只是质点运动速度大小的变更。在直线运动中规定了直线的正方向后,二者都可表示质点运动的加速度;在曲线运动中,二者不同, 。1.6 答:不论人是静止投篮还是运动投篮,球对地的方向总应指向篮筐,其速度合成如题 1.6图所示,故人以速度 向球网前进时应向高于篮筐的方向投出。静止投篮是干脆向篮筐投出,(事实上要稍高一点,使球的运动有肯定弧度,便于投篮)。1.7 答:
6、火车中的人看雨点的运动,是雨点的匀速下落运动及向右以加速度 的匀速水平直线运动的合成运动如题 1.7 图所示,是固定于车的坐标系,雨点相对车的加速度 ,其相对运动方程 消去 的轨迹如题图,有人会问:车上的人看雨点的轨迹是向上凹而不是向下凹呢?因加速度总是在曲线凹向的内侧, 垂直于 方向的重量 在变更着 的方向,该轨迹上凹。dtdv vdtdvt tadtdva adtdn= + = 而 ,v vVVV球对人人对地题1-6图V VaO aa a - - = = V x y 题1-7图y x o a a a a - = = = vt yat x221txavy = 222a aV Vn na aV
7、 V - 3 - 1.8 答:设人发觉干落水时,船已上行 ,上行时船的肯定速度 ,则 船反向追逐竿的速度 ,设从反船到追上竿共用时间 ,则 又竿与水同速,则 +=得1.9 答:不肯定一样,因为是变更物体运动速度的外因,而不是产生速度的缘由,加速度的方向与合外力的方向一样。外力不但变更速度的大小还变更速度的方向,在曲线运动中外力与速度的方向确定不一样,只是在加速度直线运动二者的方向一样。1.10 答:当速度与物体受的合外力同一方位线且力矢的方位线不变时,物体作直线运动。在曲线运动中若初速度方向与力的方向不一样,物体沿出速度的方向减速运动,以后各时刻既可沿初速度方向运动,也可沿力的方向运动,如以肯
8、定初速度上抛的物体,起先时及上升过程中初速度的方向运动,到达最高点下落过程中沿力的方向运动。在曲线运动中初速度的方向与外力的方向不一样,物体初时刻速度沿初速度的反方向,但以后既不会沿初速度的方向也不会沿外力的方向运动,外力不断变更物体的运动方向,各时刻的运动方向与外力的方向及初速度的方向都有关。如斜抛物体初速度的方向与重力的方向不一样,重力的方向确定了轨道的形态开口下凹,初速度的方向确定了射高和射程。1.11 答:质点仅因重力作用沿光滑静止曲线下滑,达到随意点的速度只和初末时刻的高度差有关,因重力是保守力,而光滑静止曲线赐予质点的发向约束力不做功,因此有此结论 假如曲线不是光滑的,质点还受到摩
9、擦力的作用,摩擦力是非保守力,摩擦力的功不仅与初末位置有关,还与路径有关,故质点到达任一点的速度不仅与初末高度差有关,还与曲线形态有关。1.12 答:质点被约束在一光滑静止的曲线上运动时,约束力的方向总是垂直于质点的运动方向,故约束力不做功,动能定理或能量积分中不含约束力,故不能求出约束力。但用动能定理或能量积分可求出质点在某位置的速度,从而得出 ,有牛顿运动方程便可求出 ,即为约束力 1.13 答:动量 s水 船V V -( ) 2 V V - = 水 船s水 船V V + ts t + = + 600 ) V V(水 船600 ) 2 = +t V(水min150mV =水nan n nm
10、a R F = +nR - 4 -动能1.14 答:故1.15 答:动量矩守恒意味着外力矩为零,但并不意味着外力也为零,故动量矩守恒并不意味着动量也守恒。如质点受有心力作用而运动动量矩守恒是由于力过力心,力对力心的矩为零,但这质点受的力并不为零,故动量不守恒,速度的大小和方向每时每刻都在变更。1.16 答:若 ,在球坐标系中有由于坐标系的选取只是数学手段的不同,它不影响力场的物理性质,故在三维直角坐标系中仍有 的关系。在直角坐标系中故事实上据 算符的性质,上述证明完全可以简写为这表明有心力场是无旋场记保守立场 ( )sm kgmv p.22 24 3 2 3 1 = + + = =( ) m
11、N mv T = + = = 8 3 2 3 1212122 2 2( ) ( ) ( ) k k j j i ik k j j i iv v r r J J 6 2 3 9 6 3 23 2 33 2 1 - + - + - = = = m( ) ( ) ( ) - = - + - + - =sm kgJsm kgJZ2222 20467 . 8 4 3 9 6 3 2( ) r F F =( )( ) ( )00 0=-= j qj qq j j qe e e ee e e e e eF Fr rr F r Fr Fr0 0 F F = ( ) ( ) ( ) ( ) k k j j i
12、i r r F F zk, j j i i r r r F i F r F y xz y x+ + = + + =( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0 0 = + = = =+ + = 0 0 0 0r r r r r rr r k k j j i ik k j j i i k k j j i iF Frr Fr Frr Frz y xr Frzr Fryr Frxr Fz y xr F r F r Fz y xz y x( ) 0 = = r r F F r F - 5 - 1.17 答平方反比力场中系统的势能 ,其势能曲线如题图 1.17 图所示,由
13、。 若 ,其势能曲线对应于近日点 和远日点 之间的一段。近日点处即为进入轨道须要的初动能若 则质点的运动无界,对应于双曲线轨道的运动;若 位于有界和无界之间,对应于抛物线轨道的运动;这两种轨道的运动都没有近日点,即对大的 质点的运动是无界的,当 很大时 ,还是选无限远为零势点的原因,从图中可知,做双曲轨道运动比抛物轨道和椭圆轨道须要的进入轨道须要的动能要大。事实及理论都证明,平方反比引力场中质点的轨道正是取决于进入轨道时初动能的大小 由得即速度 的大小就确定了轨道的形态,图中 对应于进入轨道时的达到第一二三宇宙速度所需的能量由于物体总是有限度的,故 有一微小值 ,既相互作用的二质点不行能无限接
14、近,对于人造卫星的放射 其为地球半径。为地面上放射时所需的( )rm kr V2- =01T02T03T1T2T3Tr( ( ) ) r V0 E0 - = = + 故有 因 知 , 0 ,0 E0 = Er r ( ) 0 r V= -0002122Erm kmvrkrkrkV2222V3 2 1, , T T TreReR ( ) r V E T - =0 - 6 - 初动能,图示 分别为使卫星进入轨道时达到一二三宇宙速度在地面上的放射动能。 .为进入轨道前克服里及空气阻力做功所需的能量。1.18 答:地球旁边的物体都受到随地球自转引起的惯性离心力的作用,此力的方位线平行于赤道平面,指向背
15、离地轴。人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角越大,则卫星的惯性离心力与轨道平面的家教越大,运动中受的影响也越大,对卫星导向限制系统的要求越高。交角越大,对地球的干脆探测面积越大,其科学运用价值越高。1.19 答:对库仑引力场有 ,轨道是双曲线的一点,与斥力状况相同,卢瑟福公式也适用,不同的是引力状况下力心在双曲线凹陷方位内侧;若 ,轨道椭圆 或抛物线 ,卢瑟福公式不适用,仿照课本上的推证方法,在入射速度 的状况下即可得卢瑟福公式。近代物理学的正,负粒子的对撞试验可验证这一结论的近似正确性。第一章习题解答 1.1 由题可知示意图如题 1.1.1 图: 03 02 01, , T T T(
16、)i iT T -03 , 2 , 1 = i0 E ,r 2V4,212022 则, 若 其中k zek Erkmv= =-pe0 ,22 ErkV 则 ( ) 0 E ( ) 0 = ErkV20 - 7 -设起先计时的时刻速度为 ,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为 . 则有:由以上两式得再由此式得 证明完毕. 1.2 解 由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题 1.2.1 图.设 船经过 小时向东经过灯塔,则向北行驶的 船经过 小时经过灯塔随意时刻 船的坐标 ,船坐标 ,则 船间距离的平方即 SS2t1t题1.1.1图0v a( ) ( )+ - + =- =22 1 2 1
17、021 1 021221t t a t t v sat t v s11021attsv + =( )( )2 1 2 11 22t t t tt t sa+-=ABO题1.2.1图A0t B +2110tA( ) t t x A 15 15 0 - - = 0 =Ay0 =Bx- + - = t t y B 15211 150AB( ) ( ) 22 2B A B Ay y x x d - + - = - 8 - 对时间 求导 船相距最近,即 ,所以即午后 45 分钟时两船相距最近最近距离 km 1.3 解 如题 1.3.2 图 由题分析可知,点 的坐标为又由于在 中,有 (正弦定理)所以 (
18、 ) 20215 15 t t d - =2015211 15- + + t t( )2020 02211 225 225 675 900 450 + + + + - = t t t t tt( )( ) 675 900 90002+ - = t tdtd d( )02=dtd dh t t430= -2 2min231543154315 - + = s( ) 1xyCaBAy jrOa第1.3题图ABCrajywxyO题1.3.2图C=+ =yy jsincos cosa ya r xD AOBj y sin2sina r= - 9 -联立以上各式运用由此可得得得化简整理可得此即为 点的轨道
19、方程. (2)要求 点的速度,分别求导其中又因为对两边分别求导 故有所以 ryra 2 sin 2sin = =yj1 cos sin2 2= + j jry a xra x2 2coscos- -=-=yj12 422 2 2 2 222=- - - +ry a x y a xry2 2 2 2 2 22 3 y a x r a x y - = - + +( ) ( )22 2 2 2 2 2 23 4 r a y x y a x - + + = -CC=- - =2cossincos 2cossinj wyyj wj wryrr x&j w & =y j sin 2 sin a r =yj
20、 wycos 2cosar= & - 10 - 1.4 解 如题 1.4.1 图所示,绕 点以匀角速度转动, 在 上滑动,因此 点有一个垂直杆的速度重量点速度又因为 所以 点加 速度1.5 解 由题可知,变加速度表示为由加速度的微分形式我们可知代入得对等式两边同时积分 2 2y x V & & + =4cossincos 2cossin2 2 22jwyyj wj wr rr +- - =( ) y j y j jyw+ + = sin cos sin 4 coscos 22rA BOCLxqd第1.4题图OL O C AB C2 2x d OC v + = =w wdx dd vvv2 22
21、sec seccos+= = = =w q w qqw q =&q q q w& = = tan sec sec 2 ddtdva( )22 2 22 22tan sec 2dx d xd+= =wq q w- =Ttc a2sin 1pdtdva =dtTtc dv - =2sin 1p - 11 -可得 :( 为常数)代入初始条件:时, ,故即又因为所以对等式两边同时积分 ,可得: 1.6 解 由题可知质点的位矢速度偶看过鹿航空工具和奎看来; +-O0.6 沿垂直于位矢速度又因为 ,即即(取位矢方向 ,垂直位矢方向 )dtTtc dvt v - =0 02sin 1pDTtcTct v +
22、 + =2cos2 ppD0 = t 0 = vcTDp2- =- + = 12cos2Tt Tt c vppdtdsv = ds dtTt Tt c- + 12cos2 pp- + = tTt T Tt c s2sin2 2212pp pr l =/vmq =vr r l = &/vr r l = &mq q = =r v&rmqq =&( ) ( ) j iva q & & rdtdrdtddtd+ = = i j - 12 - 所以故 即沿位矢方向加速度 垂直位矢方向加速度 对求导对求导 把代入式中可得 1.7解由题可知 对求导 对求导 对求导 对求导( )dtdrdtdrdtdrrdt
23、d jj j j qqq q& &+ + = i j j2r r r q q q& & & & - + =( ) ( ) j i a q q q& & & & r r r r 22+ + - =( )2q & & & r r a - =( ) q q& &r r a 2 + =r r r2l l = = & & &qm mqq& &rrr+ - =2+ = lmmqrrr a2 22/q ml - =+ =raml mq=qqsincosr yr xq q q& & sin cos r r x - =q q q q q q q cos sin sin 2 cos2& & & & & & & &
24、 r r r r x - - - =q q q cos sin& & r r y + = - 13 - 对于加速度 ,我们有如下关系见题 1.7.1 图即- 对俩式分别作如下处理: ,即得- +得 把代入得同理可得1.8 解以焦点 为坐标原点,运动如题 1.8.1 图所示则 点坐标对 两式分别求导 q q q q q q q sin cos cos 2 sin2& & & & & & & & r r r r y - + + =aqraqaOxyqq题1.7.1图+ =+ =q qq qqqcos sinsin cosa a ya a xrr& & &q cos q sin + =- =q q
25、q qq q q qqqcos sin sin sincos sin cos cosa a ya a xrr& & &q q sin cos y x a r & & & & + =2q & & & r r a r - =q qq& &r r a 2 + =FF OMxyq题1.8.1图M=qqsincosr yr xy x, - 14 -故 如图所示的椭圆的极坐标表示法为对 求导可得(利用 )又因为即 所以 故有即 (其中 为椭圆的半短轴)1.9 证质点作平面运动,设速度表达式为令为位矢与轴正向的夹角,所以 + =- =q q qq q qcos sinsin cos& & &r r yr r
26、 x( ) ( )2 22 2 2cos sin sin cos q q q q q q& & & r r r r y x v + + - = + =2 2 2w r r += &( )q cos 112ee ar+-=rw q =&( ) ( )2 21cos11 1e aee a r -+-=q( )rer e a - -=21cos q( ) ( )2 22 222 22 21 2 11 cos 1 sine re ar r e a - - + - = - = q q( )2 2 222 24 2 22sin1w qwre ar ev +-=( )22 24 2 21 e ar e-=w
27、( ) ( )1 2 11 2 22 222 2e re ar r e a - - + -2 2 wr +( )( )- + -=22 2 2 22 22 211 21 ee ar r r ee ar w( ) r r abr- = 222 2w( ) r a rbrv - = 2w( ) b a e b , 12 2 2- =j i vy xv v + = - 15 -所以又因为速率保持为常数,即 为常数 对等式两边求导所以即速度矢量与加速度矢量正交. 1.10 解 由题可知运动轨迹如题 1.10.1 图所示,则质点切向加速度法向加速度 ,而且有关系式 又因为dtdvdtdvdtdvdtdv
28、dtdyyxxjjiiva + + + = =j i+ + - = q q& &xyyxvdtdvvdtdv j i a+ + - = q q& &xyyxvdtdvvdtdv( ) j iy xv v + q q& &y xyy y xxxv vdtdvv v vdtdvv + + - =dtdvvdtdvvyyxx+ =C C v v y x ,2 2= +0 2 2 = +dtdvvdtdvvyyxx0 = v app,2-pp,2xyO题1.10.1图dtdva t =r2nva =r2v2kdtdv- = - 16 - 所以 联立 又把 两边对时间求导得又因为 所以 把代入既可化为
29、( ) 232y 1y1 + =r2px y 2 =ypy = 32ypy - = 2322322yp1yp2kvdtdv+- =dydvydtdydydvdtdv& = =2px y 2 =py yx& =2 2 2y x v & & + =22221pyvy+= &23223222122121+ - = +ypypkvdydvpyv - 17 -对等式两边积分所以1.11 解 由题可知速度和加速度有关系如图 1.11.1 所示 两式相比得即对等式两边分别积分即 此即质点的速度随时间而改变的规律.1.12 证 由题 1.11 可知质点运动有关系式 2 22p ydykpvdv+- =2 22
30、p ydykpvdvppvu+- = -p kue v-=aav题1.11.1图= = =aacossin2adtdvaarvatndtdvrv =a a cos1sin22cot1vdvdtr= a200cot1vdvdtrvvt = aa cot1 10rtv v- = - 18 - 所以 ,联立,有又因为所以,对等式两边分别积分,利用初始条件 时, 1.13 证( )当 ,即空气相对地面上静止的,有 .式中质点相对静止参考系的肯定速度, 指向点运动参考系的速度, 指运动参考系相对静止参考系的速度. 可知飞机相对地面参考系速度:= ,即飞机在舰作匀速直线运动.所以飞机来回飞行的总时间. (
31、 )假定空气速度向东,则当飞机向东飞行时速度 飞行时间 当飞机向西飞行时速度飞行时间故来回飞行时间 =aacossin2adtdvarvwqqq ddvdtdddvdtdv= =aawqcossin2rvddv=r v w =q a dvdvcot = 0 = t0q q =( ) a q q cot00-= e v va 00= v牵 相 绝v v v + =绝v相v牵v绝vvvlt=20b0 1v v v + =01v vlt+ =0v v v v v - = + =牵 相02v vlt- = - 19 -即 同理可证,当空气速度向西时,来回飞行时间(c)假定空气速度向北.由速度矢量关系如
32、题 1.13.1 图所以来回飞行的总时间 同理可证空气速度向南时,来回飞行总时间仍为1.14 解正方形如题 1.14.1 图。02 1v vlt t t+ = + =0v vl- +2022v vl v- =22002201 12vvtvvvlt-=-=22001vvtt-=Av0v绝vB题1.13.1图v v v + =0 绝202v v v - =2022v vlt- =22002201 12vvtvvvl-=-=22001vvtt-= - 20 -由题可知 设风速 , ,当飞机 , 故飞机沿此边长 6 正方形飞行一周所需总时间1.15 解 船停止时,干湿分界线在蓬前 3,由题画出速度示意
33、图如题.15.1 图故ACBD3v4v1vh km v v / 28 = =风 牵B A h km v / 100 =相B A h km h km v / 128 / ) 28 100 (1= + =h km h km v D B / 96 / 28 100 ,2 22= - = h km h km v D C / 72 / ) 28 100 ( ,3= - = = 4,v A Dh km h km / 96 / 28 1002 2= -h km/min16515192499667269661286= = + + + = h h t2v风v相v题1.14.2图风v相v4v题1.14.3图雨绝v
34、船v雨相va bga3m题1.15.1图船 雨相 雨绝v v v + =( ) ( ) g b a p b a - - -=+ sin sin雨绝 船v v - 21 - 又因为 ,所以由图可知所以 =8 1.16 解以一岸边为 轴,垂直岸的方向为 轴.建立如题 1.16.1 图所示坐标系.所以水流速度又因为河流中心处水流速度为所以 。当 时, 即 2pg b = +( )ab acossin +=雨绝船vv51cos ,522 44cos2 2= =+= a a54cos ,53sin = = b bs m v / 8 =雨绝aa b b acos) cos sin cos (sin +=雨
35、绝船vv s m/xyxyOd水v题1.16.1图( ) - =d ydy d kdy kyv220c- = =2 2dd kdk cdck2=20dy ydcv2=水 - 22 - 得 ,两边积分 联立,得 同理,当 时, 即 由知,当 时, 代入得有,所以船的轨迹船在对岸的了;靠拢地点,即 时有 =ut yydcdtdx 2tdtdcudx2=tdtdcudxt x20 0 =2tdcux = =202dy yudcx2dy d ( ) y ddcv - =2水( ) ( ) ut ddcy ddcdtdx- = - =2 2( ) dt ut ddcdx - = 2( ) 为一常数 D
36、Dudcyyucx + - =222dy =ucdx4=ucdD2- =udcyyucx22- =ucd2- d yd2 - - = =d yducdyudcyucxdy yudcx2 222022d y =ucdx2= - 23 - 1.17 解 以 为极点,岸为极轴建立极坐标如题.17.1 图.船沿垂直于 的方向的速度为 ,船沿径向 方向的速度为 和 沿径向的重量的合成, 即 - /得,对两积分:设 为常数,即代入初始条件 时, .设 有 得1.18解 如题 1.18.1 图质点沿 下滑,由受力分析我们可知质点下滑的加速度为 .设竖直线A1C2CA jx Ojr题1.17.1图r j si
37、n C 1 - r2C1C- =- =2 11cossinC CdtdrCdtdr jjj jjdCCrdr- = cotsin12CCCr + - = jjsin ln2tan ln ln12C kCC,2,12aj= =C rkk+ =+-aa11cos 2sinln ln0r r =0j j = ,200aj= ,cos 2sinln ln01010aa+- =kkr C0101110sincoscossinaaaa-+- =kkkkr raqABOa题1.18.1图mgOA q cos g a = - 24 - ,斜槽 ,易知 ,由正弦定理即 又因为质点沿光滑面 下滑,即质点做匀速直线
38、运动. 所以 有 欲使质点到达 点时间最短,由 可知,只需求出的极大值即可,令 把 对 求导 极大值时 ,故有由于是斜面的夹角,即所以 h OB = s OA = ,2,2a qpap+ - = - = OAB OBA+ -=- a qpap2sin2sinh s( ) a qa-=coscos hsOA2 2cos2121t g at s q = =( ) 0 cos cos cos212= - - a a q q h t gA( ) a q qa-=cos coscos 22ght( ) a q q - cos cos( ) a q a q q a q q sin sin cos cos
39、cos cos cos + = - = ya q q a sin 2 sin21cos cos2+ = yyq( ) a q a q qqsin 2 2 cos21cos sin cos 2 + - =ddy0 =q ddyq q 2 sin tan =20 ,20pqpa 2pq = - 25 -1.19 解质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降阶段.取向上为正各力示意图如题 1.19.1 图,上升时 下降时 题 1.19.1 图 则两个过程的运动方程为:上升 下降: 对上升阶段: 即 对两边积分所以 即质点到达的高度. 对下降阶段:mgvvRRmg2 2y g mk mg y m & & &
40、 - - =2 2y g mk mg y m & & & + - = -( )2 21 v k gdtdv+ - =( )2 21 v k gdyvdvdtdydydv+ - = =gdyv kvdv- =+2 21gdyv kvdvhv - =+02 2010( )20221 ln21v kg kh + = - 26 -即 由=可得 1.20 解 作子弹运动示意图如题 1.20.1 图所示.题 1.20.1 图 水平方向不受外力,作匀速直线运动有 竖直方向作上抛运动,有 由得 代入化简可得因为子弹的运动轨迹与放射时仰角 有关,即 是 的函数,所以要求 的最大2 2 gvk gdyvdvdtd
41、ydydv- = =gdyv kvdvhv =-02 2011( )21221 ln21v kg kh - - =202011 v kvv+=abd0vt v d = a b cos cos02021sin sin gt t v d - = a babcoscos0vdt =( )bb a a220cossin cos 2 - =gvda d a d - 27 - 值.把 对 求导,求出极值点.即所以 ,代入 的表达式中可得: 此即为子弹击中斜面的地方和放射点的距离 的最大值1.21 解 阻力始终与速度方向相反,即阻力与速度方向时刻在改变,但都在轨道上没点切线所在的直线方向上,故用自然坐标比用
42、直角坐标好.轨道的切线方向上有: 轨道的法线方向上有: d a( ) ( ) 0 cos cos sin sincos2220= - + - - = b a a b a ab a gvddd( ) ( ) b a a b a a - = - cos cos sin sin( ) 0 2 cos = - b a2 4b pa + = d- + =2 4sin2 4coscos2220maxb p b pb gvd- =bpb p2sin2 4sin22220gv- =2 4sec2220b pgvdOyxv0vg maqv题1.21.1图q sin mg mkvdtdvm - - =q cos2
43、mgrvm = - 28 - 由于角是在减小的,故 由于初末状态由速度与水平方向夹角 来确定,故我们要想法使变成关于的等式 由即 把代入可得 用 可得即 ,两边积分得 代入初始条件 时, 即可得代入式,得 q ddsr - =q qdsdvmvdtdsdsdvmdtdvm = =q sin mg mkvdsdvmv - - =qqcos2mgdsdmv - =qqq cossin 1gg kvddvv+=qqqqqdvdgkdvv cossincos12+ =qqqqqqdv gkdvdv2 2 2cossincos cos+ =qqqq q2 2 2cos cossin cosgkdvd v dv=-( )qqqq2 2 2cos coscosgkdvv d=Cgkv+ = - qqtancos10 = t0, v v = = a q+ - = aatancos10gkvC( ) g kvgvv+ -=q a qatan tan cos coscos0 - 29 - 又因为所以 把代入积分后可得1.22 各量方向如题 1.22.1 图.电子受力则电子的运动微分方程为- 由 ,即q w
限制150内