2022年基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧题型分析.docx
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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一基本不等式基本不等式应用22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. ( 1)如 a,bR ,就 a 2b 22 ab(2) 如 a, bR ,就 aba b(当且仅当 a2b 时取“ =”)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 1如 a, bR* ,就 ab2ab2如 a, bR* ,就 ab2ab (当且仅当 ab 时取“ =”)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载
2、精品_精品资料_(3) 如 a,bR* ,就 ab2ab 当且仅当 a2b 时取“ =”)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 如 x0 ,就 x12 当且仅当 xx1时取“ =”); 如 x0 ,就 x12 当且仅当 xx1 时取“ =”)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 x0 ,就 x12即x12或x1-2 当且仅当 ab 时取“ =”)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 如 ab0 ,就 abb 2 当且仅当 aab 时取“ =”)可编
3、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 ab0 ,就 ab2即 ab2或 ab-2 当且仅当 ab 时取“ =”)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bababa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 如 a ,bR ,就 ab 22ab(当且仅当 a222b 时取“ =”)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”3均值定理在求最
4、值、比较大小、求变量的取值范畴、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一:求最值例 1:求以下函数的值域( 1) y3x 2 1 2( 2)yx 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x解:(1)y 3x 2 1 2 23x 22xx1 26值域为 6 , +) 2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11(2)当 x0 时, y x x 2xx2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0 时, y x1x1= (x x1) 2x x= 2值域为(,2 2, +)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解题技巧: 技巧一:凑项可编辑资料
5、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1:已知 x5,求函数 y44x214 x5的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:因 4x50 ,所以第一要“调整”符号,又4 x214x不是常数,所以对4x52 要进行拆、凑项,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x5 ,54x0 ,y4x2154x13231可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_44x554x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当54 x1,即 x54 x1 时,上式等号成立,故当x1 时,ymax1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注:此题需要调整项
6、的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值.技巧二:凑系数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1.当时,求yx82x 的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载解析:由知,利用基本不等式求最值,必需和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但可编辑资料 - - -
7、 欢迎下载精品_精品资料_其和不是定值.留意到2x82 x8 为定值,故只需将yx82 x 凑上一个系数即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当,即 x 2 时取等号当 x 2 时,yx82x 的最大值为8.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注:此题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求最大值.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式:设0x,求函数y 234 x32 x 的最大值.22x32 x9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:0x 32x2
8、0 y4x32 x22x32x222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 2 x32 x, 即 x340, 32时等号成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_技巧三:分别x27 x10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3.求 y x1 的值域.x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析一:此题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有(x1)的项,再将其分别.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当, 即时, y技巧四:换元2 ( x14x159 (当且仅当x 1 时取“”号).可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
9、_精品资料_解析二:此题看似无法运用基本不等式,可先换元,令t =x1,化简原式在分别求最值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t12y7t1)+10t 25t4 4=t5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ttt4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当, 即 t=时, y2tt59 (当 t =2 即 x1 时取“”号).可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值.即化为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ymgxAg xB A0, B0 ,
10、g x 恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式来求最值.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_技巧五:留意:在应用最值定理求最值时,如遇等号取不到的情形,应结合函数f xx的单调性. 例:求函数x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x25yx24的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:令x24t t2 ,就 yx5x241t1 t2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x24x24t11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因 t0,t1,但 tt1解得 tt1不在区间2,故等号不成
11、立,考虑单调性.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 yt在区间1,单调递增,所以在其子区间2,为单调递增函数,故y.t2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,5所以,所求函数的值域为.2练习求以下函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - -
12、 欢迎下载精品_精品资料_(1) yx23x x1 , x0( 2) y2x1, x x333y2sin x1, x sin x0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知 0x1,求函数yx1x 的最大值 . 3 0x2 ,求函数3yx23x 的最大值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_条件求最值1. 如实数满意 ab2 ,就3a3 b 的最小值是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析:“和”到“积”是一
13、个缩小的过程,而且3a3b 定值,因此考虑利用均值定理求最小值,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab解:3a 和3 b都是正数, 3a3 b 23a3b23a b6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abab当 33 时等号成立,由2 及 33 得 ab1即当 ab1时,ab33 的最小值是6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式:如log 4 xlog 4 y2 ,求11的最小值 .并求 x,y 的值xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要留意取
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