2 2013高三数学第一轮复习资料(新课标) 指数与指数函数 对数与对数函数幂函数与二次函数.doc
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1、第4讲指数与指数函数【2021年高考会这样考】1考查指数函数的图象与性质及其应用2以指数与指数函数为知识载体,考查指数的运算和函数图象的应用3以指数或指数型函数为命题背景,重点考查参数的计算或比拟大小【复习指导】1熟练掌握指数的运算是学好该局部知识的根底,较高的运算能力是高考得分的保障,所以熟练掌握这一根本技能是重中之重2本讲复习,还应结合具体实例了解指数函数的模型,利用图象掌握指数函数的性质重点解决:(1)指数幂的运算;(2)指数函数的图象与性质. 根底梳理1根式(1)根式的概念如果一个数的n次方等于a(n1且,nN*),那么这个数叫做a的n次方根也就是,假设xna,那么x叫做a的n次方根,
2、其中n1且nN*.式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数(2)根式的性质当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时,a的n次方根用符号表示当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号表示正负两个n次方根可以合写为(a0)na.当n为奇数时,a;当n为偶数时, |a|.负数没有偶次方根2有理数指数幂(1)幂的有关概念正整数指数幂:anaa (nN*);零指数幂:a01(a0);负整数指数幂:ap(a0,pN*);正分数指数幂:a(a0,m、n N*,且n1);负分数指数幂:a(a0,m、nN*且n1
3、)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的性质arasars(a0,r、sQ)(ar)sars(a0,r、sQ)(ab)rarbr(a0,b0,rQ)3指数函数的图象与性质yaxa10a1图象定义域R值域(0,)性质过定点(0,1)x0时,0y1x0时,y1.在(,)上是减函数当x0时,0y1;当x0时,y1;在(,)上是增函数一个关系分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可以相互转化,通常利用分数指数幂进行根式的化简运算两个防范(1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的,因此解题时通常对底数a按:0a1和a1进行分类讨论(2)换元
4、时注意换元后“新元的范围三个关键点画指数函数yax(a0,且a1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),.双基自测1(2021山东)假设点(a,9)在函数y3x的图象上,那么tan的值为() A0 B. C1 D.解析由题意有3a9,那么a2,tan tan .答案D2(2021郴州五校联考)函数f(x)2|x1|的图象是()解析f(x)应选B.答案B3假设函数f(x),那么该函数在(,)上是()A单调递减无最小值 B单调递减有最小值C单调递增无最大值 D单调递增有最大值解析设yf(x),t2x1,那么y,t2x1,x(,)t2x1在(,)上递增,值域为(1,)因此y在(1,)上递
5、减,值域为(0,1)答案A4(2021天津)a5log23.4,b5log43.6,clog30.3,那么()Aabc BbacCacb Dcab解析clog30.35log30.35log3,log23.4log221,log43.6log441,log3log331,又log23.4log2log3 ,log2 3.4log3 log4 3.6又y5x是增函数,acb.答案C5(2021天津一中月考)aa3,那么aa1_;a2a2_.解析由条件(aa)29.整理得:aa17又(aa1)249,因此a2a247.答案747考向一指数幂的化简与求值【例1】化简以下各式(其中各字母均为正数)(1
6、);(2)ab2(3ab1)(4ab3).审题视点 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键解(1)原式 ab.(2)原式ab3(4ab3) ab3 ab . 化简结果要求(1)假设题目以根式形式给出,那么结果用根式表示;(2)假设题目以分数指数幂的形式给出,那么结果用分数指数幂表示;(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数幂【训练1】 计算:(1)0.02720;(2).解(1)原式(1)221 49145.(2)原式aabba0b0.考向二指数函数的性质【例2】函数f(x)x3(a0且a1)(1)求函数f(x)的定义域;(2)讨论函数f(x)的奇偶性;(3)求a的取值
7、范围,使f(x)0在定义域上恒成立审题视点 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形;恒成立问题可通过求最值解决解(1)由于ax10,且ax1,所以x0.函数f(x)的定义域为x|xR,且x0(2)对于定义域内任意x,有f(x)(x)3 (x)3(x)3 x3f(x),f(x)是偶函数(3)当a1时,对x0,由指数函数的性质知ax1,ax10,0.又x0时,x30,x30,即当x0时,f(x)0.又由(2)知f(x)为偶函数,即f(x)f(x),那么当x0时,x0,有f(x)f(x)0成立综上可知,当a1时,f(x)0在定义域上恒成立当0a1时,f(x).当x0时,1ax0,ax10,ax1
8、0,x30,此时f(x)0,不满足题意;当x0时,x0,f(x)f(x)0,也不满足题意综上可知,所求a的取值范围是a1. (1)判断此类函数的奇偶性,常需要对所给式子变形,以到达所需要的形式,另外,还可利用f(x)f(x),来判断(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题,是解决恒成立问题的常用方法【训练2】 设f(x)是定义在R上的函数(1)f(x)可能是奇函数吗?(2)假设f(x)是偶函数,试研究其在(0,)的单调性解(1)假设f(x)是奇函数,由于定义域为R,f(x)f(x),即,整理得(exex)0,即a0,即a210显然无解f(x)不可能是奇函数(2)因为f(x)是偶函数,所以f
9、(x)f(x),即,整理得(exex)0,又对任意xR都成立,有a0,得a1.当a1时,f(x)exex,以下讨论其单调性,任取x1,x2(0,)且x1x2,那么f(x1)f(x2)ex1ex1 ex2ex2 ,x1,x2(0,)且x1x2,ex1x21,ex1ex20,ex1x210,f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),函数f(x),当a1时在(0,)为增函数,同理,当a1时,f(x)在(0,)为减函数考向三指数函数图象的应用【例3】(2021山东)函数y的图象大致为()审题视点 函数图象的判断要充分利用函数的性质,如奇偶性、单调性解析y1,当x0时,e2x10且随着x的增大而增
10、大,故y11且随着x的增大而减小,即函数y在(0,)上恒大于1且单调递减,又函数y是奇函数,应选A.答案A 利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质,比方:函数y,y,ylg(10x1)等【训练3】 方程10x10x,lg xx10的实数解分别为和,那么的值是_解析作函数yf(x)10x,yg(x)lg x,yh(x)10x的图象如下图,由于yf(x)与yg(x)互为反函数,它们的图象是关于直线yx对称的又直线yh(x)与yx垂直,yf(x)与yh(x)的交点A和yg(x)与yh(x)的交点B是关于直线yx对称的而yx与yh(x)的交点为(5,5)又方程10x10x的解为A点横坐标,
11、同理,为B点横坐标5,即10.答案10难点突破3如何求解新情景下指数函数的问题高考中对指数函数的考查,往往突出新概念、新定义、新情景中的问题,题目除最根本问题外,注重考查一些小、巧、活的问题,突出考查思维能力和化归等数学思想一、新情景下求指数型函数的最值问题的解法【例如】 (2021福建五市模拟)设函数yf(x)在(,)内有定义对于给定的正数K,定义函数fK(x)取函数f(x)2xex,假设对任意的x(,),恒有fK(x)f(x),那么K的最大值为_二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法【例如】 假设f1(x)3|x1|,f2(x)23|xa|,xR,且f(x)那么f(x)f1(x)
12、对所有实数x成立,那么实数a的取值范围是_第5讲对数与对数函数【2021年高考会这样考】1考查对数函数的定义域与值域2考查对数函数的图象与性质的应用3考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质4考查对数函数与指数函数互为反函数的关系【复习指导】复习本讲首先要注意对数函数的定义域,这是研究对数函数性质判断与对数函数相关的复合函数图象的重要依据,同时熟练把握对数函数的有关性质,特别注意底数对函数单调性的影响根底梳理1对数的概念(1)对数的定义如果axN(a0且a1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作xlogaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数(2)几种常见对数对数形式特点记法 一般对数底数为a(
13、a0且a1)logaN常用对数底数为10lg N自然对数底数为eln_N2.对数的性质与运算法那么(1)对数的性质alogaNN;logaaNN(a0且a1)(2)对数的重要公式换底公式:logbN(a,b均大于零且不等于1);logab,推广logablogbclogcdlogad.(3)对数的运算法那么如果a0且a1,M0,N0,那么loga(MN)logaMlogaN;logalogaMlogaN;logaMnnlogaM(nR);log amMnlogaM.3对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域:(0,)值域:R过点(1,0)当x1时,y0当0x1,y0当x1时,y0当0x1时
14、,y0是(0,)上的增函数是(0,)上的减函数4.反函数指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数,它们的图象关于直线yx对称 一种思想对数源于指数,指数式和对数式可以互化,对数的性质和运算法那么都可以通过对数式与指数式的互化进行证明两个防范解决与对数有关的问题时,(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底数的取值范围三个关键点画对数函数的图象应抓住三个关键点:(a,1),(1,0),.四种方法对数值的大小比拟方法(1) 化同底后利用函数的单调性(2)作差或作商法(3)利用中间量(0或1)(4)化同真数后利用图象比拟双基自测1(2021四川)2 log510log50.25()A0 B
15、1 C2 D4解析原式log5100log50.25log5252.答案C2(人教A版教材习题改编)alog0.70.8,blog1.10.9,c1.10.9,那么a,b,c的大小关系是()Aabc BacbCbac Dcab解析将三个数都和中间量1相比拟:0alog0.70.81,blog1.10.90,c1.10.91.答案C3(2021黄冈中学月考)函数f(x)log2(3x1)的值域为()A(0,) B0,)C(1,) D1,)解析设yf(x),t3x1.那么ylog2t,t3x1,xR.由ylog2t,t1知函数f(x)的值域为(0,)答案A4(2021汕尾模拟)以下区间中,函数f(
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