关于集合论的调研12902.docx
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1、有关集合合论的调研姓名:李李坚强 学号009055012211(惠州学学院数学学系20009级级应数22班,邮邮编:55160007,E-mail:550270521xqqx)摘要:集集合论关键词:集合论论,康托托,元素素,基本本规律,公公理化集集合论1. 引言集合论是是研究集集合的数数学理论论。它是是数学的的一个分分支,但但在数学学中却占占有一个个机器独独特的地地位,其其基本概概念已经经渗透到到数学的的几乎所所有领域域。因此此我们说说集合论论是现代代数学的的的基础础。集合论的的起源可可以追溯溯到166世纪末末,主要要是对数数集进行行了卓有有成效的的研究。但但集合论论实际发发展是由由德国数数学
2、家康康托在119世纪纪70年年代到880年代代创立的的。康托托提出了了基数、序序数、超超穷数和和良序集集等理论论,奠定定了集合合论的深深厚基础础。因此此,康托托被誉为为集合论论的创始始人。2. 正文集合的基基本定义义与性质质概括集合的定定义集合是集集合论的的主要研研究对象象,也是是数学中中的基本本概念。一一定范围围的、确确定的、可可区别的的事物,当当作一个个整体来来看待,就就叫作集集合,简简称集,其其中各事事物叫作作集合的的元素或或简称元元。如北京、天天津、上上海三城城市;全体英英文大写写字母;阿QQ正传中中出现的的不同汉汉字;全体自自然数;平面上的的所有直直线,都都是集合合的例。但池子中的水
3、,古今著名小说就不算集合,因为不满足确定与可区别的条件。事物m是集合S的元素有时也说成m属于S 或S含有m,记为mS。如果集合只含有有限个元素,便称为有穷集合,否则称为无穷集合。在上面的例中,前三个是有穷集合,后两个是无穷集合。 集合与集集合的关关系按照集合合的定义义,当一一个集合合的所有有元素都都已知时时,这个个集合就就确定了了。这时时如果它它是有穷穷集,便便可将其其元素全全部列出出,置于于括弧之之内来表表示(什什么顺序序都无关关系)。如如北京京、天津津、上海海,A,B,C,Z,对对于虽有困困难,但但原则上上还是办办得到的的。但是是,如果果集合是是无穷集集,那么么,上面面的方法法就行不不通了
4、。这这时只好好利用能能够刻画画所有元元素x的某一一性质 P(x)来加加以概括括。如例例 中的集集合可表表示为xx 是自自然数。这种种表示也也适用于于有穷集集,如北京、天天津、上上海=xx=北京京或x=天津津或x =上上海=xx为中国国现有直直辖市。一个个集合可可以没有有任何元元素,这这种集合合只有一一个,叫叫作空集集,通常常用北欧欧字母来来记它。如如果集合合B的元素素都是AA的元素素,就称称B为A的子集集,或AA包含B,记为为B包含于于A 。例例如,偶偶数全体体包含于于自然数全全体。空空集被看看作是任任何集合合的子集集。任一一集合AA都是它它自己的的子集,即A包含于于A 。A的异于于自己的的子
5、集 B称为为 A的真真子集,记为BBA 。两两集合的的相等(即即含有同同样的元元素)可可用包含含关系来来表达:A=B当且仅仅当 AA包含于于B且B包含于于A 。包包含关系系还具备备传递性性:即由由 A包含于于B,B包含于于C可得A包含于于C。要注注意的是是,属于于关系与包含含关系包包含于是是有区别别的:是元素素对集合合的关系系,而包包含于是是集合对对集合的的关系。可可以有包包含于,但但不成立立。 集合之间间的基本本规律从任意两两个集合合A与B可以得得到一些些新的集集合。以以属于AA或属于于B的元素素为元素素的集合合称为AA与B的并(集),记为AB(A与B中的相相同元素素在并集集中出现现一次)。
6、以以属于AA且属于于B的元素素为元素素的集合合称为AA与B的交(集),记记为AB。以属属于A而不属属于B 的元元素为元元素的集集合称为为A与B的差(集集),记记为ABB;特别别,当BB包含于于A时,可记为为CAB,称为为B关于A的补(集集)。例例如A=00,1,3,B=00,3,5,110,则则AB00,1,3,55,100,AAB=00,3,ABB=11。并并与交的的运算分分别服从从交换律律,结合合律且共共同服从从分配律律,即对对任意的的A,B,C,有 AB=BA,(AB)C=A(BC),AB=BA,(AB)C=A(BC), A(BBC)=(AB)(AC),A(BBC)=(AB)(AC)。它
7、们与差差运算一一起服从从德摩根定定律: S(AB)=(SA)(SB),S(AB)=(SA)(SB)。这里S为为任一集集合,特特别当SS包含A与B时,有有 ,。集合的集集合一个集合合也可以以以其他他集合为为元素。这这就是所所谓集合合的集合合,如上上面例就是一一个集合合的集合合,如果果把直线线看做是是点的集集合的话话。一个个集合 A的所所有子集集组成的的集合是是一个很很重要的的集合的的集合,称称为A的幂集集,记为为P(A)。例例如,当当A=11,2,3时时,P(A)=,11,2,3,11,2,11,3,22,3,11,2,3。集合合的集合合是所谓谓集合族族的特殊殊情形。一一般而论论,如果果对于某某
8、一集合合I()的每每一个元元素II,都指指定有一一个确定定的集合合Ai,那么么,这些些Ai的全体体就称为为一个集集合族,记为Ai,iI。例例如,当当I=N即自然然数全体体时,Ai,IN就是是集合序序列:AA1,A2,A3,。集合合族的成成员一般般允许有有重复,如如果没有有重复时时,它就就是一个个集合的的集合。对对于集合合族AAi,II,可可定义它它的并为为x对某某II,xAi,记记为。仿仿此,可可定义它它的交为为x对一一切II,xAi,记记为。特特别当II=11,2,n时,通通常将并并写成,将交写写成;当当n=2时时,就是是上面的的A1A2和A1A2。当I=N时,通通常将并并写成,将将交写成成
9、。两个个对象,b按一定定次序(譬譬如在前,b在后)排排列起来来,称为为一个序序对,记记为,称为它它的第一一坐标,b称为第第二坐标标。两个个序对,当且且仅当 = ,b=b即各坐坐标分别别相等时时,规定定它们是是相等的的。因此此,除非非=b,。也也可直接接定义为,b,虽不大大自然,却很精精确。同同样可定定义一般般的有序序n组。设设A,B为两个个集合,从从A,B中各取取一个元元素,b所作序序对的全全体组成成一个集集合,即即A且bB,它它称为AA与B(按这这次序)的的直积或或笛卡儿儿积,记记为AB。直积积概念也也可从两两个因子子推广到到n个因子子,A1A2An,记为为,特别别当各AAi均等于于A时,称
10、称为A的n次直幂幂,记为为An,它相相当于所所有从0,11,n-1到A的映射射全体组组成的集集。推而而广之,所所有从BB到A的映射射全体组组成的集集可以记记为A。集合论产产生的背背景集合论在在19世世纪诞生生的基本本原因,来来自数学学分析基基础的批批判运动动。数学学分析的的发展必必然涉及及到无穷穷过程,无无穷小和和无穷大大这些无无穷概念念。在一一八世纪纪,由于于无穷概概念没有有精确的的定义,使使微积分分理论不不仅遇到到严重的的逻辑困困难,而而且还使使实无穷穷概念在在数学中中信誉扫扫地。119世纪纪上半叶叶,柯西西给出了了极限概概念的精精确描述述。在这这基础上上建立起起连续、导导数、微微分、积积
11、分以及及无穷级级数的理理论。正正是这119世纪纪发展起起来的极极限理论论相当完完美的解解决了微微积分理理论所遇遇到的逻逻辑困难难。但是是,柯西西并没有有彻底完完成微积积分的严严密化。柯柯西思想想有一定定的模糊糊性,甚甚至产生生逻辑矛矛盾。119世纪纪后期的的数学家家们发现现使柯西西产生逻逻辑矛盾盾的问题题的原因因在奠定定微积分分基础的的极限概概念上。严严格地说说柯西的的极限概概念并没没有真正正地摆脱脱几何直直观,确确实地建建立在纯纯粹严密密的算术术的基础础上。于于是,许许多受分分析基础础危机影影响的数数学家致致力与分分析的严严格化。在在这一过过程中,都都涉及到到对微积积分的基基本研究究对象连续
12、函函数的描描述。在在数与连连续性的的定义中中,有涉涉及关于于无限的的理论。因因此,无无限集合合在数学学上的存存在问题题又被提提出来了了。这自自然也就就导致寻寻求无限限集合的的理论基基础的工工作。总总之,为为寻求微微积分彻彻底严密密的算术术化倾向向,成了了集合论论产生的的一个重重要原因因。集合论的的诞生先驱数学分析析严格化化的先驱驱波尔查查诺(17781一八448)也也是一位位探索实实无穷的的先驱,他他是第一一个为了了建立集集合的明明确理论论而作出出了积极极努力的的人。他他明确谈谈到实在在无穷集集合的存存在,强强调两个个集合等等价的概概念,也也就是后后来的一一一对应应的概念念。他知知道,无无穷集
13、合合的一个个部分或或子集可可以等价价于其整整体,他他认为这这个事实实必须接接受。例例如0到到5之间间的实数数通过公公式y=12xx/5可可与0到到12之之间的实实数构成成一一对对应,虽虽然后面面的集合合包含前前面的集集合。为为此,他他为无穷穷集合指指定超限限数,使使不同的的无穷集集合,超超限数不不同。不不过,后后来康托托尔指出出,波尔尔查诺指指定无穷穷集合的的超限数数的具体体方法是是错误的的。另外外,他还还提出了了一些集集合的性性质,并并将他们们视为悖悖论。因因此,他他关于无无穷的研研究哲学学意义大大于数学学意义。应应该说,他他是康托托尔集合合论的先先驱。 问题出现现黎曼(一一八266一八八6
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