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1、证明举例(共19篇)第1篇:初二数学证明举例 初二数学证明举例 课题:22.4证明举例(4) 一、教案设计思考与亮点 教案设计思考:本节内容为证明举例的第四课时,用二次三角形全等来证明有关问题,教案的设计力求通过师生生动活泼的问题研究,不生搬硬套固定的解题模式,让学生亲身经历问题的解决与创设过程。教学中,随着问题的提出、分析和解决,构建积极进取的学习氛围,整个一堂课,始终是在师生的默契配合下进行,师生思维协调同步,处于“共鸣”状态,从而大大提高了课堂教学质效。 教案设计亮点: 1、教学过程中,设计了开放性问题,既可以消除学生“模仿例题”的习惯,又可以克服学生被动学习的弊端,有利于培养学生个性,
2、发挥每个学生的聪明才智,更好地培养他们的思维品质。 2、教学过程中,设计了对例题的简单变式训练,引导学生进行猜想与验证,同时引导学生修正猜想。 二、教学目标: 1、知识目标:(1)尝试命题教学,学生掌握文字命题的证明步骤。 (2)会用二次三角形全等证明几何问题。 2、能力目标:(1)了解猜想证明与反驳、优化的数学思想方法。 (2)经历了命题的证明过程,学生逐步学会分别从题设和结论 出发,寻求论证思路的综合分析方法。 3、情感目标:注重对学生思维品质的培养,鼓励学生进行有效的合作学习。 三、教学重、难点:重点:用二次三角形全等进行几何证明。 难点:举出反例说明一个命题是假命题。 四、教学过程:
3、今天这一节课,我们继续来学习几何证明。(写课题) 一、文字命题证明 请同学们看这样一道例题: 例7:求证:有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等。 (一)提问: 1、文字命题的证明有哪些步骤? 2、这个命题的题设与结论分别是什么? (二)学生动手操作: 完成画图,写已知和求证。 (学生完成,教师巡视,并抽一份点评,尽量让学生自己发现问题并 解决和完善) AA DD 已知:如图,在ABC和ABC中,AB= AB,BC= BC,AD、AD分别是 BC和BC边上的中线,ADAD。 求证:ABCABC 归纳小结 对于文字命题,我们先要读懂题意,正确理解其中的内涵,再着手 解题。 (三)讨论与
4、分析: 我们如何来证明ABCABC,用什么方法?同学投入讨论。 (学生思考并讨论,互相启发,自我教育,然后小组选代表汇报解题思路。) 追问学生: 1、你怎么想到证BB? 2、如何证得BD=BD? 你们能自己完成这道题的证明了吗? (四)独立书写证明过程: 证明:AD、AD分别是BC和BC边上的中线(已知) BD= 1212BC,BCBC (三角形中线定义) 又BC= BC (已知) BD= BD (等式性质) 在ABC和ABC中 D (已知) B (已知) ADAD (已知) ABCABC (S S S) BB(全等三角形对应角相等) 在ABC和ABC中 B (已知) BB(已证) BC= B
5、C (已知) ABCABC (S A S) (可能还有学生通过证AC= AC,从而得到ABCABC。此时教 师均给予肯定,然后指出在具体解决问题的过程中,要善于选择简捷的方法,培养学生优选的数学思想。) (五)归纳小结 在这个命题的证明过程中,有两次证明三角形全等,其中第一次证 明所得的两角相等,成为第二次证明三角形全等的条件,这种将上一步推理所得的结论作为下一步推理条件的情况,在证明过程中常常会遇到。 二、变式训练 (一)完成了上述命题的证明:若将其中“一边上的中线”改成“一边上的高”, 命题是否成立? (学生独立思考,并请一位同学上黑板画图) 估计学生回答此命题仍成立,请学生说明理由。 老
6、师问还有没有其它意见? 若学生没有意见,教师进行反驳,将学生所画的图作如下改变: (通过老师画图操作,学生观察分析,从而获得直观的认识)然后提问: 1、观察ABCABC中条件是否符合题意? 2、此时,ABCABC吗?为什么? 3、老师是用什么方法说明这是个假命题的? (二)思考题:(让学有余力的同学进行再思考) 1、修正上述命题,使之成为真命题。 2、若改变“一边上中线”为“一角平分线”,其它条件作怎样变化,命题仍 成立,留作同学课外思考。 归纳小结 由上可见,我们在思考问题时既要积极大胆,又要注意思维的严密 性,不断优化我们的思维方式。 三、巩固练习: 如图:已知:点D、E分别在AB、AC上
7、,BE和 相交于O点,且DB=EC, 要证明OB=OC,还需要增加什么条件? BC (一)放手发动学生积极参与讨论,大胆思维,勇于探索。 (二)鼓励学生敢于发表见解,善于发表见解。 (三)学生提出的问题,还是由学生自己来评判是否正确。 (通过开放性练习,让学生探究尝试,调动学生学习的积极性,培养 学生发散性思维和逆向性思维的能力。) 四、课堂小结: (先由学生小结,然后老师作点评和补充。) 这节课我们学到了些什么? 1、文字命题证明步骤。 2、二次三角形全等证明有关问题。 3、证明假命题的方法举反例。 4、良好思维品质的培养。 五、作业布置: 1、课本练习及练习册练习 2、有兴趣的同学继续考虑
8、: (1)有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等吗? (2)类似的角平分线、高有没有这样的性质呢? 五、教案说明 课堂教学是有效地开展师生双边活动的主阵地,在教师的主导作用下,广泛地让学生参与,积极思考,亲自实践,培养学生的自我意识、竞争意识和创新意识,发展学生的创造性思维,这是素质教育的要求之一。所以,我在教学过程中,让学生充分的动手、动脑,自由的讨论,在此基础上进行分析与研究,以激发学生学习的主动性,同时通过变式训练及开放性练习,不断开发学生的潜能,注重对学生思维品质的培养,从而提高分析问题,解决问题的能力。 本节内容为22.4证明举例的第四课时,用二次三角形全等来证明有关问题,为了
9、分散难点,先复习了命题的证明步骤,再安排学生根据题意画图并写已知与求证,然后让学生在思考讨论的基础上分析解题思路,突出分析与综合的思想方法,最后独立写证明过程。整个例题基本上是由学生解决的,老师在其中作适当的分析、点评,从而培养学生对问题的观察、比较分析及综合演绎的能力。 由对例题的简单变换,引导学生进行猜想与验证,同时引导学生修正猜想。其中渗透猜想与反驳的数学思想,注重对学生思维品质的培养。之后又进一步提出问题,让学有余力的学生课外有深入的思考余地。这样的处理,使例7与练习第一题成为一个整体,而练习2的思维方式与例7相同,作为课后作业是对知识 进行巩固。 最后一道题则是提高要求,少给一个条件
10、,进行开放性思维训练、要学生通过讨论,大胆探索,提出所增加的条件,再由学生来判断其正确性。这样学生的积极性得到充分的调动,更增添学生学习数学的兴趣,从而培养学生发散思维与逆向思维的能力。本堂课小结基本上由学生完成,使学生明白通过努力,收获还是很多的,同时也培养了学生对知识的概括归纳能力。 六、教学反思 综观本节课的课堂教学,我认为教学其实施过程比较顺利,并能有效地开展教学双边活动。其中学生始终是课堂教学的主人,在教师的调动下,学生积极参与课堂教学活动,学习的主动性与积极性得到充分的发挥。 在教学中,凡是能让学生自己去获取知识的内容,我都给学生提供机会,大胆地放,如例题教学中,命题证明要先根据题
11、意画图,写已知、求证、再进行证明,我就放手让学生操作,然后分析解题思路让学生讲,疑点让学生议,错如让学生剖析,最后加以修正。这样,使新知识易掌握,错误易暴露,也利于及时纠正反馈,同时,对发展学生的逻辑思维能力是十分有利的,从而使例题教学显得充实、有效。 把例题简单变式后,提出问题“此时命题还是否成立?”其实这是老师有意设计的一个问题,我先让学生猜想认可,学生均自以为判断是正确的。然后教师平等地参与学生一起也发表见解,通过老师实际画图,学生观察分析,直观地认识到结论不成立,再来分析原因,从而引起学生的重视与反思。这样的反例反驳,学生不仅错明确误之处,而且更明确用举反例证明假命题的方法,从而得出与
12、原来不同的结论。这样使学生在今后解题过程中,不仅要敢于探索,大胆思维,同时也要注意思维的严密性与批判性,从而培养良好的思维品质,不断优化思维方式。 巩固练习是属于“从不变的结论来探索使结论成立的已知条件”的编题,其题型结构是: 条件条件条件结论 条件(不变) 条件条件(学生探索) 缺条件,当然要设定,而且有多种可能性,这样的开放性问题要求学生从条 件方面进行思维和纵向发散,而这种思维的发散需要先进行广泛的逆向联想,再进行正向的验证,颇具挑战性,很容易激起学生“跃跃欲试”的情感和对数学知识的浓厚兴趣,从而打破学生的思维定势,开阔思维。在整个教学过程中,由于教师的鼓励,适时的引导,使学生敢于创新,
13、大胆创造,特别是增加了“BE=DC”这个条件,它的证明需添设辅助线,此时由于学生的思维始终处于兴奋状态,就很自然地想到了解决的办法,进而提高了学生分析问题、解决问题地能力,从中得到了“以思维的逆向性和变通性”为主的思维转换能力的培养。 从当堂学生的各种反馈及课后的作业来看,本节课完成了教学任务,达到了教学目的与要求,特别注重了思维力度与品质的培养,但在教学过程中,对某些问题的问法设计上还有待改进。 第2篇:立体几何证明题举例 立体几何证明题举例 (2022江苏)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1A1C1,D、E分别是棱BC、CC1上的点(点D不同于点C),且ADDE,F为B1C1
14、的中点 求证:(1)平面ADE平面BCC1B1; (2)直线A1F平面ADE.证明 (1)因为ABC -A1B1C1是直三棱柱, 所以C C1平面ABC. 又AD平面ABC,所以C C1AD. 又因为ADDE,C C1,DE平面BC C1 B1, C C1DEE, 所以AD平面BC C1 B1. 又AD平面ADE, 所以平面ADE平面BC C1 B1. (2)因为A1 B1A1 C1,F为B1 C1的中点,所以A1FB1 C1.因为C C1平面A1 B1 C1,且A1F平面A1 B1 C1, 所以C C1A1F. 又因为C C1,B1 C1平面BC C1 B1,C C1B1 C1C1, 所以A
15、1F平面BC C1 B1. 由(1)知AD平面BC C1 B1,所以A1FAD . 又AD平面ADE,A1F平面ADE,所以A1F平面ADE 【例1】如图,在平行四边形ABCD中,CD1,BCD60,且BDCD,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直,G、H分别是DF、BE的中点 (1)求证:BD平面CDE; (2)求证:GH平面CDE; (3)求三棱锥DCEF的体积 审题导引 (1)先证BDED,BDCD,可证BD平面CDE; (2)由GHCD可证GH平面CDE; (3)变换顶点,求VCDEF. 规范解答 (1)证明 四边形ADEF是正方形, EDAD, 又平面ADEF平面ABCD, 平面
16、ADEF平面ABCDAD. ED平面ABCD,EDBD. 又BDCD,且EDDCD, BD平面CDE. (2)证明 G是DF的中点,又易知H是FC的中点, 在FCD中,GHCD, 又CD平面CDE,GH平面CDE, GH平面CDE. (3)设RtBCD中,BC边上的高为h, CD1,BCD60,BDCD, 11BC2,BD3,22h23, 33h2C到平面DEF2, 1133VDCEFVCDEF2.3223 【例2】如图所示,已知在三棱锥ABPC中,APPC,ACBC,M为AB的中点,D为PB的中点,且PMB为正三角形 (1)求证:DM平面APC; (2)求证:平面ABC平面APC; (3)若
17、BC4,AB20,求三棱锥D BCM的体积 审题导引 (1)只要证明MDAP即可,根据三角形中位线定理可证; (2)证明APBC; (3)根据锥体体积公式进行计算 规范解答 (1)证明 由已知,得MD是ABP的中位线,所以MDAP.又MD平面APC,AP平面APC,故MD平面APC. (2)证明 因为PMB为正三角形,D为PB的中点, 所以MDPB.所以APPB. 又APPC,PBPCP,所以AP平面PBC. 因为BC平面PBC,所以APBC. 又BCAC,ACAPA, 所以BC平面APC. 因为BC平面ABC,所以平面ABC平面APC. (3)由题意,可知MD平面PBC, 所以MD是三棱锥D
18、BCM的一条高, 11所以VMDBCSBCDMD22153107. 33 第3篇:5.6几何证明举例 年级八年级学科数学第五 单元第 8课时总计课时2022年 11月 4日 5.6几何证明举例(2) 课程标准:掌握等腰三角形的性质和判定定理,了解等边三角形的概念并探索其性质。 学习目标: 1.学生会根据三角形全等推导等腰三角形的性质。 2.熟练掌握应用等腰三角形的性质定理。 3.掌握等边三角形的性质,并会运用判定等边三角形。 学习重点难点: 等腰三角形的性质定理和判定定理。 我的目标以及突破重难点的设想: 学前准备: 学情分析: 学案使用说明以及学法指导: 预习案 一、教材助读 1、等腰三角形
19、的性质是什么?判定是什么? 2、等边三角形的性质和判定是什么? 探究案 探究一:等腰三角形的性质 (1)“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗?怎样证明。 (2)在右图等腰ABC中,AB=AC.AD为BC边上的高 1与2有什么关系?BD与CD有什么关系? 你能得出什么结论?试着总结一下。 探究二:等腰三角形的判定(合作交流) (3)说出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题? (4)这个逆命题是真命题吗?怎样证明它的正确性? 课型:新授执笔:马海丽审核: 滕广福韩增美 (5)求证:如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形 已知: 求证: 点拨:注意条件中为什么是两个“角”,不是
20、两个“底角”。 三、精讲点拨: 1、等腰三角形的性质: 性质1: 性质2: 2、数学语言叙述: 性质1:性质2: AB=ACAB=AC B= C AD平分BAC (等边对等角) (, ,均可作为一个条件,推出其他两项 ) (三线合一) 3、总结等边三角形的性质以及判定(学生小组讨论,写出他们的证明过程) 四、应用新知 例 2、已知,如图,在ABC中,AB=AC,D是AB上的 一点,DEBC,交BC于点E,交CA的延长线于点F。 求证:AD=AF。 点拨:以后证明线段相等或角相等时,除利用三角形全等外,还可以利用等腰三角形的性质和判定。 五、课堂小结: 训练案 课本180页 练习1,2题 我的反
21、思: 第4篇:初婚初育证明举例 证明 尊敬的领导: XXX(身份证号码:XXX年X月份入职, XXXX年X月份结婚,XXXX年X月X日XXXXXX医院生子XXX,属于首婚首育,符合计划生育政策。 特此证明! XXXXXXXXXXXXXXXXXX年X月X日 第5篇:5.6几何的证明举例 5.6几何证明举例 (二) 诸冯学校 备课组 学习目标: 1、进一步学习几何证明的思路和步骤; 2、牢固掌握等腰三角形的性质及判定,等边三角形的性质及判定,并 能够熟练地应用它们进行相关的证明与计算。 重点:等腰三角形的性质及判定 难点:等腰三角形的性质地应用。 学习过程: 一、温故知新:等腰三角形的对称轴是,由
22、轴对称的性质,你认为等腰三角形两个底角大小有什么关系? 二、创设情境:你会用所学的知识证明你的结论吗?自主学习课本P177179内容,独立完成课后练习 1、2后,与小组同学交流.通过学习等腰三角形的性质,请思考以下问题: 1、等腰三角形的顶角是45,则底角是()。 2、三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边,则这个三角形一定是()。 三、挑战自我:自学课本180页挑战自我,小组讨论,展示。 四、巩固提升: 1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30,则顶角的度数为() (A)60 (B)120 (C)60或150 (D)60或120 2.已知等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为()
23、 (A)12或9(B)12(C)9(D)7 3.如图,等腰三角形ABC中,ABAC,A44,CDAB于D,则DCB等于() (A)44(B)68(C)46(D)22 4、如图,在ABC中,ABC2ACB,BD平分ABC,ADBC,则图中等腰三角形共有个.(第4题) 四、课堂小结:同学们本节课的学习,你收获吗? 五、达标检测 1、如图,ABC是等边三角形,AD是高,并且AB恰好是DE的垂直平分线,则下列结论正确的是() (A)ABCAED(B)AED是等边三角形(C)EAB60(D)ADDE 2、如图,ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC到E,使CECD,则下列结论正确的是() (A)CDE
24、是等边三角形(B)DEAB(C)点D在线段BE的垂直平分线上(D)点D在AB的垂直平分线上 3、已知:如图,ABC是等边三角形,DEBC,分别交AB、AC于点D、E。 求证:ADE是等边三角形。 六、布置作业 七、教学反思 C D (第1题) (第2题) E E 第6篇:数列不等式的证明举例 *1.已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1nN () ()求数列an的通项公式; ()若数列bn满足4b1-14b2-14b3-1L4bn-1=(an+1)bn,证明:bn是等差数列; ()证明:1112+L+(nN*) aa3an+13 2分析:本例(1)通过把递推关系式转化成等比型的数列;第
25、(2)关键在于找出连续三项间的关系;第(3)问关键在如何放缩。 解:(1)Qan+1=2an+1,an+1+1=2(an+1) 故数列an+1是首项为2,公比为2的等比数列。 an+1=2n,an=2n- 1(2)Q4b1-14b2-14b3-1L4bn-1=(an+1)bn,4(b1+b2+L+bn-n)=2nbn 2(b1+b2+L+bn)-2n=nbn 2(b1+b2+L+bn+bn+1)-2(n+1)=(n+1)bn+1 得2bn+1-2=(n+1)bn+1-nbn,即nbn-2=(n-1)bn+1 (n+1)bn+1-2=nbn+2 得2nbn+1=nbn+nbn-1,即2bn+1=
26、bn+bn-1 所以数列bn是等差数列 11111(3)Q =n+1n+1=an2-12-22an-1 11111111111设S=,则S+L+(+L+)=+(S-)a2a3an+1a22a2a3ana22an+1 21212S-=- a2an+13an+1 3点评:数列中的不等式要用放缩来解决难度就较大了,而且不容易把握,对于这样的题要多探索,多角度的思考问题。 2.已知函数f(x)=x-ln(1+x),数列an满足0a11, an+1=f(an); 数列bn满足b1=,bn+1(n+1)bn, nN*.求证: ()0an+1an1; 1212 an2; ()an+1ann!.分析:第(1)
27、问是和自然数有关的命题,可考虑用数学归纳法证明;第(2)问可利用函数的单调性;第(3)问进行放缩。 *解:()先用数学归纳法证明0an1,nN. (1)当n=1时,由已知得结论成立; (2)假设当n=k时,结论成立,即0ak1.则当n=k+1时, 因为0 又f(x)在0,1上连续,所以f(0) 又由0an1, 得an+1-an=an-ln(1+an)-an=-ln(1+an)0,从而an+1an.综上可知0an+1an0,知g(x)在(0,1)上增函数.由g(x)=1+x 又g(x)在0,1上连续,所以g(x)g(0)=0. an2an2 -f(an)0,从而an+1.因为0an0,即22 1
28、1n+1b () 因为 b1=,bn+1(n+1)bn,所以bn0,n+1 , 222bn bbb1 所以bn=nn-1L2b1nn! , bn-1bn-2b12 an2aaaaaaaaa ,知:n+1n,所以n=23Ln12Ln-1 , 由()an+122an2a1a1a2an-122, n2, 0an+1anann!. 因为a1= 点评:本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题,属于难题,复习时应引起注意。 3.已知数列an满足a1= ()求数列an的通项公式an; ()设bn= an-1 1(n2,nN) ,an=n 4-1an-1- 21an ,求数列bn的前n项和Sn; ()
29、设cn=ansin (2n-1)p* ,数列cn的前n项和为Tn求证:对任意的nN,2 Tn 4 7 分析:本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列,对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。 解:()Q又Q 1211 ,=(-1)n-+(-1)n=(-2+(-1)n-1, anan-1anan-1 11n ()+-1,数列+(-1)=3是首项为3,公比为-2的等比数列 a1an (-1)n-11nn-1 .+(-1)=3(-2), 即an=n-1an32+1 ()bn=(32n-1+1)2=94n-1+62n-1+1 1(1-4n)1(1-2n)Sn=9+6+n=34n+
30、62n+n-9 1-41-2(2n-1)p =(-1)n-1, ()Qsin 2(-1)n-11 cn=n-1nn-1 3(-2)-(-1)32+1 1111+L+当n3时,则Tn= 2n-1 3+132+132+132+1 n-21 1-(11111111) +=+23n-11 4732281-3232111111147484=+1-()n-2+= 286228684847 QT1T2T3,对任意的nN*,Tn0,an+10,所以16-8an0,0an0,所以an+1-与an-同号, 44 515555 因为a1-=-0,a2-0,a3-0,,an-0,即an. 444444 531531
31、(-an-1)=bn-1 (3)当n2时,bn=-an= 422-an-1422-an-1 31bn-1=2bn-1, 22-4 所以bn2bn-122bn-2L2n-1b1=2n-3, (1-2n) 1111 所以Sn=b1+b2+L+bng(x)(f(x)0(f(x)-g(x)0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x),然后利用导数证明函数h(x)的单调性或证明函数h(x)的最小值(最大值)大于或等于零(小于或等于零)。 例1 已知x(0, p 2 ),求证:sinxxtanx 分析:欲证sinxxtanx,只需证函数f(x)=sinx-x和g(x)=x-tanx在(0,p 2 )
32、上单调 递减即可。 证明: 令f(x)=sinx-x ,其中x(0,p 2 ) 则f/ (x)=cosx-1,而x(0,p 2 )cosx1cosx-10 所以f(x)=sinx-x在(0,p 2 )上单调递减,即f(x)=sinx-xf(0)=0 所以sinxx; 令g(x)=x-tanx ,其中x(0,p 2 ) 则g/(x)=1- 1cos2x=-tan2 x0,所以g(x)=x-tanx在(0,p2 )上单调递减, 即g(x)=x-tanxg(0)=0 所以xtanx。 综上所述,sinxxtanx 评注:证明函数类不等式时,构造辅助函数比较容易,只需将不等式的其中一边变为0,然后另一
33、边的函数作为辅助函数,并利用导数证明其单调性或其最值,进而构造我们所需的不等式的结构即可。根据不等式的对称性,本例也可以构造辅助函数为在(0,p 2 )上是单调递增的函数(如: 利用h(x)=x-sinx在(0, p 2 )上是单调递增来证明不等式sinxx) ,另外不等式证明时,区间端点值也可以不是我们所需要的最恰当的值(比如此例中的f(0)也可以不是0,而是便于放大的正数也可以)。因此例可变式为证明如下不等式问题: 已知x(0, p 2 ),求证:sinx-1xtanx+1 证明这个变式题可采用两种方法: 第一种证法:运用本例完全相同的方法证明每个不等式以后再放缩或放大,即证明不等式 si
34、nxx以后,根据sinx-1sinxx来证明不等式sinx-1x; 第二种证法:直接构造辅助函数f(x)=sinx-1-x和g(x)=x-tanx-1,其中x(0, p 2 ) 然后证明各自的单调性后再放缩或放大(如:f(x)=sinx-1-xf(0)=-10) 例2 求证:ln(x+1)0时,f(x) 练习:求证:1 3 (x-1)x3-1,其中x(1,+). 例3:当x0时,证明不等式ex 1+x+ 12 x2 成立。 证明:设f(x)=ex-1-x- 1x2 ,则f(x)=ex2 -1-x.令g(x)=ex -1-x,则g(x)=ex -1.当x0时,g(x)=ex -10.g(x)在(
35、0,+)上单调递增,而g(0)=0.g(x)g(0)=0,g(x)0在(0,+)上恒成立,即f(x)0在(0,+)恒成立。f(x)在(0,+)上单调递增,又f(0)=0,ex-1-x- 12 x0,即x0时,ex1+x+ 12 x成立。 利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面,也成为高考的一个新热点,其关键是构造适当的函数,判断区间端点函数值与0的关系,其实质就是利用求导的方法研究函数的单调性,通过单调性证明不等式。21(本题满分12分) 已知函数f(x)= (1-x) n +aln(x-1),其中nN*,a为常数 (I)当n=2时,求函数f(x)的极值; (II)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x2时,有f(x)x-1.【标准答案】 ()解:由已知得函数f(x)的定义域为x|x1, 当n=2时,f(x)=1 (1-x) +aln(x-1),所以f(x)=2-a(1-x)2(1-x)3 (1)当a0时,由f(x)= 0得x1=1+ 1,x2=1-1, 此时f(x)= -a(x-x1)(x-x2) (1-x)3 当x(1 ,x1)时,f(x)0,f(x)单调递增 (2)当a0时,f(x)0恒成立,所以f(x)无极值 综上所述,n=2时,
限制150内