1989考研数一真命题及其解释分析.doc
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1、-_19891989 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1) 已知,则 _.(3)2f 0(3)(3)lim2hfhf h(2) 设是连续函数,且,则_.( )f x10( )2( )f xxf t dt( )f x (3) 设平面曲线为下半圆周则曲线积分_.L21,yx 22() Lxyds(4) 向量场在点处的散度_.22( , , )ln(1)zu x y zxy iye jxzk(1,1,0)Pdivu (5) 设
2、矩阵, ,则逆矩阵=_.300 140 003A 100 010 001E 1(2 )AE二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1) 当时,曲线 ( )0x 1sinyxx(A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线(2) 已知曲面上点处的切平面平行于平面,则点的224zxyP2210xyz P坐标是 ( )(A) (1,-1,2) (B) (-1,1,2) (C) (1,1,2) (D) (-1,-1,2)(3
3、) 设线性无关的函数、都是二阶非齐次线性方程1y2y3y的解,、是任意常数,则该非齐次方程的通解是 ( )( )( )yp x yq x yf x1C2C( )(A) (B) 11223C yC yy1122123()C yC yCCy(C) (D) 1122123(1)C yC yCCy1122123(1)C yC yCCy(4) 设函数而其中2( ),01,f xxx1( )sin,n nS xbn xx ,则等于 ( )102( )sin,1,2,3,nbf xn xdx n1()2S -_(A) (B) (C) (D) 1 21 41 41 2(5) 设是阶矩阵,且的行列式,则中 (
4、)AnA| 0A A(A) 必有一列元素全为 0 (B) 必有两列元素对应成比例 (C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合三、三、( (本题满分本题满分 1515 分分, ,每小题每小题 5 5 分分.).)(1) 设,其中函数二阶可导,具有连续的二阶偏导数,(2)( ,)zfxyg x xy( )f t( , )g u v求.2zx y (2) 设曲线积分与路径无关,其中具有连续的导数,且,2( ) Cxy dxyx dy( )x(0)0计算的值.(1,1)2(0,0)( )xy dxyx dy(3) 计算三重积分,其中是由曲面与所围()xz dV
5、22zxy221zxy成的区域.四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分.).)将函数展为的幂级数.1( )arctan1xf xxx五、五、( (本题满分本题满分 7 7 分分.).)设,其中为连续函数,求. 0( )sin() ( )xf xxxt f t dtf( )f x六、六、( (本题满分本题满分 7 7 分分.).)证明方程在区间(0,)内有且仅有两个不同实根. 0ln1 cos2xxxdxe七、七、( (本题满分本题满分 6 6 分分.).)问为何值时,线性方程组131231234226423xxxxxxxx 有解,并求出解的一般形式.八、八、( (本题满分本题满分 8 8
6、 分分.).)-_假设为阶可逆矩阵的一个特征值,证明:nA(1) 为的特征值;1 1A(2) 为的伴随矩阵的特征值.A AA九、九、( (本题满分本题满分 9 9 分分.).)设半径为的球面的球心在定球面上,问当为何值时,球R2222(0)xyzaaR面在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题十、填空题( (本题满分本题满分 6 6 分分, ,每小题每小题 2 2 分分.).)(1) 已知随机事件的概率=0.5,随机事件的概率=0.6 及条件概率A( )P AB( )P B=0.8,则和事件的概率=_.()P B AAB()P AB(2) 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为
7、0.6 和 0.5.现已知目标被命 中,则它是甲射中的概率为_.(3) 若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程有实根的概率是_.210xx 十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分.).)设随机变量与独立,且服从均值为 1、标准差(均方差)为的正态分布,而XYX2服从标准正态分布.试求随机变量的概率密度函数.Y23ZXY-_19891989 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).) (1)【答案】1【解析】原
8、式=. 01(3)(3)1lim(3)122hfhffh (2)【答案】1x【解析】由定积分的性质可知,和变量没有关系,且是连续函数,故10( )f t dt( )f x为一常数,为简化计算和防止混淆,令,则有恒等式,10( )f t dt10( )f t dta( )2f xxa两边 0 到 1 积分得,1100( )(2 )f x dxxa dx即 , 111112 000001(2 )222axa dxxdxadxxa x122a解之得 ,因此.1 2a ( )21f xxax(3)【答案】【解析】方法一:方法一:的方程又可写成,被积分函数在上取值,于是L221(0)xyyL原积分=(半
9、径为 1 的的半圆周长).1 Lds方法二:方法二:写出的参数方程,L,cossinxtyt (0)t 则 .00222222()(cossin) ( sin )cos1 Lxydsttttdtdt (4)【答案】2【解析】直接用散度公式22()()( ln(1)z PPdivuxyyexzxyz.220 (1,1,0)22220()101 1211 0zzyexez -_(5)【答案】10011022 001 【解析】由于,300200100 2140020120 003002001AE 为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.方法一:方法一:如果对作初等行变换,
10、则由可以直接(2)AE E1(2)(2 ) )AE EEAE得出.1(2 )AE本题中,第一行乘以加到第二行上;再第二行乘以,有 11 2,100100 10010010010011120 010020110010022001 001001001001001从而知 .110011(2 )022 001AE 方法二:方法二:对于 2 阶矩阵的伴随矩阵有规律:,则求的伴随矩阵abAcdA.*abdbAcdca如果,这样0A .111abdbdb cdcacaAadbc再利用分块矩阵求逆的法则:,11100 00AA BB-_本题亦可很容易求出.110011(2 )022 001AE 二、选择题二、
11、选择题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).) (1)【答案】(A)【解析】函数只有间断点.1sinyxx0x ,其中是有界函数,而当时,为无穷小,而无穷 001limlimsin xxyxx1sinx0xx小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,所以 ,故函数没有铅直渐近线. 001limlimsin0 xxyxx, 01sin1sinlimlim lim11xxxtxytxt x令所以为函数的水平渐近线,所以答案为(A).1y 【相关知识点】铅直渐近线:如函数在其间断点处有,则( )yf x0xx0lim( ) xxf x
12、 是函数的一条铅直渐近线;0xx水平渐近线:当,则为函数的水平渐近线.lim( ),( xf xa a 为常数)ya(2)【答案】(C)【解析】题设为求曲面(其中)上点使:( , , )0S F x y z 22( , , )4F x y zzxyP在该点处的法向量与平面的法向量平行.Sn2210xyz 02,2,1n 在处的法向量S( , , )P x y z,2 ,2 ,1FFFnxyxyz若则为常数,即.即.0/,nn0,nn22 ,22 ,1xy1,1xy又点,所以,故求得.( , , )P x y zS2222 ( , ) (1,1)44 112x yzxy(1,1,2)P因此应选(
13、C). (3)【答案】(D)-_【解析】由二阶常系数非齐次微分方程解的结构定理可知,为方程对应1323,yyyy齐次方程的特解,所以方程的通解为( )( )( )yp x yq x yf x,1132233()()yC yyCyyy即,故应选 D.1122123(1)yC yC yCCy(4)【答案】(B) 【解析】是函数先作奇延拓后再作周期为 2 的周期延拓后的函数的傅式级数( )S x( )f x的和函数,由于是奇函数,于是.( )S x11()( )22SS 当时,连续,由傅式级数的收敛性定理,.因此,1 2x ( )f x21111( )( )( )2224Sf.应选(B).11()2
14、4S (5)【答案】(C)【解析】本题考查的充分必要条件,而选项(A) 、(B)、(D)都是充分条件,并不| 0A 必要. 因为对矩阵来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了A的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.| 0A 以 3 阶矩阵为例,若 ,112 123 134A 条件(A)必有一列元素全为 0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有,所以(A)、| 0A (B)不满足题意,不可选.若,则,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.123 124 125A | 0A 这样用排除法可知应选(C).三、三、( (本题
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- 1989 考研 数一真 命题 及其 解释 分析
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