经管类概率论与数理统计第七章参数估计(2022年-2023年).docx
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1、2022年-2023年最新从本章开始我们介绍统计推断,所谓统计推断就是由样本推断总体,统计推断包括参数估 计和假设检验两局部,它们是统计推断最基本而且是互相有联系的两局部,本章介绍统计推断 的第一局部参数估计。参数通常指总体分布中的特征值和叮2和各种分布中的参数,例如二点分布B (1, P) 中的P,泊松分布P (%)中的只,正态分布N (、CF2)的“、怔等,习惯用3表示参数, 通常参数提未知的。参数估计的形式有两类,设 X,X,.,X是来自总体的样本。我们用一个统计量 1 2 n次小,一工)的取值作为参数腑估计值,那么祢为的点估计(量),就是参数的点估计,如果对参数曲估计需要对估计作出可靠
2、性判断,就需要对这一可靠性给出可靠性区间或置信 区间,叫区间估计。下面首先介绍点估计7.1 点估计的几种方法直接用来估计未知参数削勺统计量 法改见,工)称为参数创勺点估计量,简称为点估 计,人们可以运用各种方法构造出很多田勺估计,本节介绍两种最常用的点估计方法。它们是: 矩法和极大似然法。7.1.1 替换原理和矩法估计用下面公式表示扇方法叫矩法自=z遍=14=岳任-好例7 1对某型号的20辆汽车记录每5L汽油的行驶里程(km),观测数据如下:29.827.628.327.930.128.729.928.027.928.728.427.229.528.528.030.029.129.829.62
3、6.9这是一个容量为20的样本观测值,对应总体是该型号汽车每5L汽油的行驶里程,其 分布形式尚不清楚,可用矩法估计其均值,方差,本例中经计算有1 = 28.695, 4=0.9185由此给出总体均值,方差的估计分别为即或=丞=28.695,$T= s; = 0.9185【答疑编号:10070101针对该题提问】矩法估计的统计思想(替换原理)十分简单明确,众人都能接受,使用场合甚广。例7 2设总体为指数分布,其密度函数为以,4)三人/,元口x”.,x是样本,由于 3亦即 8 故;I的矩法估计为1 n2022年-2023年最新2022年-2023年最新它是疝勺标准化随机变量,且具备下面两个特点:(
4、1) u中包含所要估计的未知参数H (其中b);(2) u的分布为N (0, 1),它与未知参数无关。 因为uN (0, 1),因而有根据uN (0, 1)的概率密度欣x)的对称性(见下列图)当 a=0.05 时,1-a=0.095,- b ,722,因此有1=1.96,将不等式U X% -ua uua1转化为 2 F亦即I-cr -天一心 丁工4 +见2 72% 汉0025 = L96当 a=0.05 时,2产11-1,96 亍 乂至彳+1.96产11-1,96 亍 乂至彳+1.960.95自一 1.96三,十L96冬说明未知参数户包含在区间中W& 的概率是95%,这里,不仅给出的区间估计,
5、还给出了这一区间估计的置信度(或置信概率)。事实上,当置信度为”也 / ,犬+也予1a时,区间估计为22在引例中,假设3=160, cr=40, n=16o贝ij有2022年-2023年最新2022年-2023年最新-(7x 1.96 号=160-1.96乂J甩-ax + 1.96=160 + 1.%x4071640诉= 140.4= 179.8:.(140.4179.6) = 0.95说明该绝缘子抗扭强度X的期望在(140.4, 179.6)内的可靠度为0.95o 下面,引出置信区间的概念。八4八八定义7-5设夕为总体的未知参数仇二&,演,仇二仇(小马,与混由样本,,定出的两个统计量,假设对
6、于给定的概率1-a (0Va J) = at (n-1)分布密度七(1)产(工(盟 T) i * (-1) = ,双炉 幻.T) = 1它们满足3222。(见下列图)二也飞/的_1) 41-22)=1 王一1) 一(同一1) 一2;(超一。 卜一工3 = 1-仪。之2尸瑞3-1)Z &(甩-1)1将上式开方即可得标准差CF的置信区间。例5某厂生产的零件质量X服从正态分布拉(出1)。现从该厂生产的零件中抽取9个,2022年-2023年最新测得其质量为(单位:g)45.3 45.4 45.1 45.3 45.5 45.7 45.4 45.3 45.6试求总体标准差b的0.95置信区间。【答疑编号:
7、10070206针对该题提问】查表知解 由数据可算得 s2=0.0325, (n-1 ) s2=8xQ.0325=0.26 ,这里 a=0.95 , r(8) = 2.1797, (8) =17,5345s2代入公式可得i7的0.95置信区间为=0,014870.1193=0,014870.11930.260.2617.53457 2.1797从而b的0.95置信区间为0.1218, 0.3454o以上关于正态总体参数的区间估计的讨论列表如表7-1所示。表7-1 正惠总惨筌放的区间估计表所借参数条件估济参数苴信区间,心比包金,未知5564刀尸3-旷宝(/-1)4;&-1)I七本章小结本章考核要
8、求为(一)点估计(1)知道点估计的概念(2)会用矩法求总体参数的矩估计值,主要依据是口 = Xj二竺(3)会用最大似然估计法求总体参数的估计值。基本方法是由样本X , X , X , X构造一个似然函数或似然函数的对数123nL(X , X , X , X , 。=P (X=X ) P (X=X ) .P (X=X )123n12nL(X , X , X ,X , 0 =f(X ) f(X ) .f(X )123n12n人然后由InL (毛,务,予,x,)取最大的值时的碉的为前值,即6 = 是L的最大值点。(二)点估计量的评价标准(1)假设E二依那么3:是8的无偏估计。2022年-2023年最
9、新(2)假设济,瓦都是硼无偏估计,且1)(自外就说济比会甫效。假设四啡-电0叫就说是是3的相合估计以上三条标准中主要掌握无偏估计和有效估计(三)区间估计(1)知道区间估计的概念(2)会求一个正态总体歆的参数/和T的置信区间。公式见表7-1作业教材151页习题7.11, 2, 3教材154页习题7.21, 3, 4教材164页习题7.31, 2, 4, 5, 6, 7自测题7 (教材166页)2022年-2023年最新/L = - = =EX X例7 3设X,x焦来自服从区间(0,。上的均匀分布 WX夕的样本,40为未 知参数。求郎)矩估计2【答疑编号:10070102针对该题提问】 解:易知总
10、体X的均值为峻3”),(口+日) 22=1夕二夕=2X 2由矩法对矩估计为g = 2既=2万八比方,假设样本值为0.1, 0.7, 0.2, 1, 1.9, 1.3, 1.8,那么向勺估计值19=2x7(0.1+0.7+0.2+1 + 1.9+L3+L8) =2例74在一批产品取样n件,发现其中有m件次品,试用此样本求该批产品的次品 率p的矩估计。【答疑编号:10070103针对该题提问】 解:因为/=工工),A / . K . 例如抽样总数n=l()0,其中次品m=5.p = = = 0.0 5那么 100例7-5 总机在一分钟间隔内接到呼唤次数XP ( A)o观察一分种接到呼唤次 数共观察
11、40次,结果如下接到呼唤次数012345观察次数51012832求未知参数;I的面古计5【答疑编号:10070104针对该题提问】解: VX-P (A)EX= A由矩法如=文.J=T(2)计算 40 (0x5+1x10+2x12+3x8+4x3+5x2) =2/=2极大似然估计为了表达极大似然原理的直观想法,先看例7 6例7-6设有外表完全相同的两个箱子,甲箱中有99个白球和1个黑球,乙箱中有99 个黑球和1个白球,现随机地抽取一箱,并从中随机抽取一球,结果取得白球,问这球是从 哪一个箱子中取出的?【答疑编号:10070105针对该题提问】2022年-2023年最新解:不管是哪一个箱子,从箱子
12、中任取一球都有两个可能的结果:A表示取出白球,B 表示取出黑球,如果我们取出的是甲箱,那么A发生的概率为0.99,而如果取出的是乙箱, 那么A发生的概率为0.01,现在一次试验中结果A发生了,人们的第一印象就是:“此白球(A) 最像从甲箱取出的“,或者是说,应该认为试验条件对事件A出现有利,从而可以推断这球 是从甲箱中取出的,这个推断很符合人们的经验事实,这里“最像”就是“极大似然”之意。本例中假设的数据很极端,一般地,我们可以这样设想,在两个箱子中各有100个球, 甲箱中白球的比例是P,乙箱中白球的比例是P,P P,现随机地抽取一个箱子并I212从中抽取一球,假定取到的是白球,如果我们要在两
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