线性代数线性代数线性代数 (12).pdf
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1、12 四个基本子空间的正交性四个基本子空间的正交性 12.1 引言引言 设 是一个 阶阵,则我们有四个基本子空间 12.1 引言引言 例:设 其中 是 阶阵,是 阶阵,后两矩阵秩均为r,则 是一个 阶阵,且 1.的每一列是 的列向量的线性组合,因而 2.的每一行是 的行向量的线性组合,因而 3.是列满秩阵,则存在可逆 阶阵 是行满秩阵,则存在可逆 阶阵 4.因此 ,即 12.1 引言引言 例:设 为 阶阵,则 且 是 的行向量转置的线性组合.设 则 即 同理,12.1 引言引言 我们将学习关于四个基本子空间的更精确关系.例:轴 平面 和 垂直.是 的一平面:平面.轴 轴 12.1 引言引言 目
2、标:和 是垂直的.和 是垂直的.12.2 四个子空间的正交性四个子空间的正交性 我们需要确切定义子空间的垂直(或正交).定义:设 和 是 的两个子空间(subspaces),我们说 垂直于 (is perpendicular to ),如果对于 这个定义是对称的,即 垂直于 垂直于 记作 或 所以我们也可以说:和 是正交的(and are orthogonal).12.2 四个子空间的正交性四个子空间的正交性 例:和 是正交的.例:和 均是 的子空间(平面).12.2 四个子空间的正交性四个子空间的正交性 例:中 平面和 平面不正交.因为 属于两平面之交,但 Fact:若 则 因而 和 不正交
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