扬州大学高等代数课件(北大三版)-第七章-线性变换.ppt
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1、高等代数7线性变换第七章 线性变换n学时:22学时。n教学手段:p讲授和讨论相结合,学生课堂练习,演练习题与辅导答疑相结合。n基本内容和教学目的:p基本内容:线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵;特征值与特征向量;对角矩阵;线性变换的值域与核;不变子空间;若当标准形;最小多项式。p教学目的:p1、理解线性变换的定义与运算。p2掌握线性变换的矩阵、特征值与特征向量的概念。p3了解线性变换的值域与核、不变子空间。p4熟悉若当标准形、最小多项式。n本章的重点和难点:p重点:线性变换的定义与运算,线性变换的矩阵、特征值与特征向量的概念;p难点:若当标准形、最小多项式。高等代数7线性变换7.1
2、 线性变换的定义高等代数7线性变换一.线性变换的定义及实例定义定义1 映射 A :VV称为线性空间V上的一个变换;V上的变换A 称为线性变换,如果 对任意的,V,对任意的kP,1)A (+)=A ()+A ();2)A (k)=k A ().l 本教材一般用花体拉丁字母A ,B,表示线性变换;l 称如上条件1),2)为“线性变换保持向量加法和数乘不变”;l 注意与同构映射 f:VW(V,W为线性空间)的异同之处。高等代数7线性变换例例1 S:V2V2,S ()=/(按逆时针方向旋转度得/),(即二维平面上的旋转变换)。设,的坐标分别是(x,y),(x/,y/),则 .可以证明,S 是二维平面V
3、2 上的一个线性变换。证明证明:对任意的,V2,设+=(如图)高等代数7线性变换S (+)=S ()=/=/+/=S ()+S (),S (k)=k/=k S ().故S 是V2 上的线性变换.k/k/高等代数7线性变换 ke 高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换例例6 设V是数域P上的线性空间,kP,定义V上的变换为k(对任意的V),可以证明该变换为线性变换,称为由数k确定的数乘变换,并用K 表示.当k=1时,即为恒等变换,当k=0时,即为零变换.证明明:K 显然是V上的变换.现仅证其为线性变换.对任意的,V,aP,K(+)=k(+)=k+k=K()+K();K(a)=k(
4、a)=(ka)=a(k)=a K().故 K 是V上的线性变换.高等代数7线性变换二.线性变换的基本性质1.A (a+b)=a A ()+b A ();2.2 A (0)=0,A ()=A ();3.A (k11+krr)=k1A(1)+kr A (r);(保持线性关系不变)4.1,r 线性相关,则A 1,A r线性相关.l 反之,则不一定.例如零变换 A()=0(0).证明:1.A (a+b)=A (a)+A (b)=a A ()+b A ().高等代数7线性变换2.A (0)=A (0)=0 A ()=0.A ()=A (1)=(1)A ()=A ().3.据1,易证该等式成立.4.据题设
5、,存在不全为0的数k1,krP,使得 k11+krr=0 据3.,2.可知 A (k11+krr)=k1 A (1)+kr A (r)=A (0)=0,即A 1,A r线性相关.l 性质3说明:设=k11+krr A ()=3.A (k11+krr)=k1 A (1)+kr A (r),即与4.A ()具有相同的线性关系.高等代数7线性变换l 性质1可修改为如下命题:5.A 是线性变换的充要条件是:A (a+b)=a A ()+b A ()对任意的V,a,b P.证明:必要性:即性质1.充分性:取a=b=1,则 A (+)=A ()+A ();取a=k,b=0,则 A (k)=A (k+0)=
6、kA ()+0 A ()=kA (),故 A 是线性变换.高等代数7线性变换7.2 线性变换的运算高等代数7线性变换 L(V)=A A :VV的线性变换n A :VV是线性空间V上的一种运动,变化。本节将研究这样的运动、变化之间的运算,联系及进一步的特征性质。VL(V)高等代数7线性变换一一.L(V)上的加法运算上的加法运算定义定义1 对任意的A,B L(V),V,规定 (A +B)()=A,()+B()称为A,与B的和,记为A +B.命题命题1 对任意的A,B,C L(V)A +B L(V),且具有如下性质:1.(A +B)+C =A +(B+C);2.2.A +B =B+A ;3.存在O
7、L(V),O +A =A ;n对任意的A L(V),存在A L(V),A +(A )=O .l据4,可定义 A B =A (B),故L(V)中有加法的逆运算:减法运算.高等代数7线性变换证明证明:首先要证明A +B L(V),即证明A +B 是V上的变换;且对向量加法和数乘保持不变.高等代数7线性变换高等代数7线性变换二二.L(V)上的乘法运算上的乘法运算定义定义2 对任意的A,B L(V),V,规定 A,B()=A,(B()称A,B是A,与B 的积,记为A,B .l A,与B 的乘法即映射的合成.命题命题2 对任意的A,B ,C L(V)A,B L(V),且具有如下性质:5.(A,B)C A
8、,(B C);6.A,(B C)A,B A,C ;7.(B C)A,B A,C A,;8.EA,A,E A,(为V上的恒等变换).高等代数7线性变换证明:首先证明A,B L(V),即A,B 是上的变换,且保持向量加法,数乘运算不变.据映射合成即知确为V上的变换.对任意的,V,k P,A,B (+)=A,(B (+)=A,(B ()+B()=A,(B ()+A,(B()=A,B ()+A,B();A,B (k)=A,(B (k)=A,(kB ()=kA,(B ()=k A,B ().故 A,B 是V上的线性变换,即A,B L(V).因一般映射的合成满足结合律,故5.成立.(A,(B C)()=A
9、,(B C)()=A,(B()+C()=A,(B()+A,(C()=A,B()+A,C()=(A,B A,C)()6.成立.7.同上可证明7.成立.8.显然成立.高等代数7线性变换注:该命题有以下注意问题高等代数7线性变换三三.L(V)上的数乘运算上的数乘运算定义定义3 设 kP,A L(V),对任意的V,规定 (kA)()=kA()称kA 为k与A 的数量乘法.l 设K 是L(V)中的数乘变换(见前例6,P274例4)即K ()=k,则(kA)()=kA()=K A()即 kA =K A .所以也可将数乘看成是一种特殊的乘法运算.本教材即用此定义数乘运算,两种定义方法是一致的.如上定义2是一
10、种定性描述,而教材定义方式可利用乘法的性质直接推出数乘的性质,使用起来方便.高等代数7线性变换命题命题3 对任意的k,lP,A L(V)kA L(V),且具有如下性质:11.(k l)A =k(lA);12.k(A +B)=kA +kB ;13.(k+l)A =kA +lA ;14.(kA)B=k(A B);15.1A =A .证明证明:仅证11.其它性质类似可证.(kA L(V)证明略)据kA =K A 可知,(k l)A =(K L )A =K (L A )=k(lA).(其中用到乘法的结合律成立).高等代数7线性变换l 据L(V)的加法和数乘及其性质(命题1,3)可知,L(V)关于线性变
11、换的加法和数乘构成数域P上的线性空间.四四.L(V)上的可逆变换上的可逆变换五五.定义定义4 变换A :VV 称为可逆变换,如果存在B :VV,使得 A B =BA =E .六.这时称B 为A 的逆变换,记为A 1=B .l B :VV 即为A :VV 的逆映射.命题命题4 A L(V),且可逆 A 1L(V),规定:16.A n=(A 1)n.l 16.是一种规定,也可看成是性质.即将A n中的幂指数扩充到整数范围(nZ).可以证明幂运算的性质9.10.依然成立.高等代数7线性变换证明:证明:证A 1L(V),即证A 1是V上的变换,且保持向量的加法和数乘运算不变.A 1显然是V上的变换,关
12、键证其为线性变换.A 1(+)=A 1(A A 1()+A A 1()=A 1(A (A 1()+A (A 1()=A 1(A (A 1()+A 1()=(A 1A )(A 1()+A 1()=A 1()+A 1().A 1(k)=A 1(k(A A 1)()=A 1(k(A (A 1()=A 1(A (kA 1()=(A 1A)(kA 1()=kA 1().故 A 1L(V),高等代数7线性变换五.线性变换的多项式高等代数7线性变换注:该性质的证明略,注意问题如下:高等代数7线性变换例1 (0)R3,是把向量射到上的内射影变换,则高等代数7线性变换 ()()x x()()x x R R x
13、x(x)分析:性质1),2)即7.1节例2.这里仅需证明3),4),5)高等代数7线性变换高等代数7线性变换例例2 1)线性空间Pn中,求微商是线性变换(P274例5),显然 D n=0.2)线性空间Pn中,变元的平移变换S a:Pn Pn,aP,S a(f()=f(+a).易验证S a是线性变换.据泰勒展开式高等代数7线性变换l 以上实例说明,线性变换的一些关系可以通过线性变换之间的运算来表示,从而揭示线性变换的一些内在联系及特征性质.高等代数7线性变换7.3 线性变换的矩阵高等代数7线性变换一.引入概念n 设V是数域P上n维线性空间,1,2,n是V的一组基,A L(V),则对任意的(V),
14、=x11+x22+xnn,且其中系数是唯一确定的,称为向量在基1,2,n下的坐标.由于 A=A(x11+x22+xnn)=x1 A(1)+x2 A(2)+xn A(n).故A 完全由 A(1),A(2),A(n)有必要研究基1,2,n与其象 A(1),A(2),A(n)之间的相互联系.从而得到如下结论:高等代数7线性变换定理定理1 设 1,2,n是V 的基 对任意的1,2,nV,存在唯一的A L(V),使得 A i=i,i=1,2,n.l 分析证明思路:1)存在性:对任意的1,2,nV,存在A L(V),使得 A i=i,i=1,2,n (即 P282,2.).2)唯一性:若另存在BL(V),
15、Bi=i,i=1,2,n A =B (即 P281,1.).高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换l 定理意义分析定理意义分析:高等代数7线性变换高等代数7线性变换(2)设1,2,n是V的基,对任意的V,A L(V),=x11+x22+xnnA A=x1A A1+x2 A A2+xnA An由此看出由此看出研究研究A A 的特征,关键在于研究的特征,关键在于研究i与与A Ai 的关系的关系,这里这里i ,A AiV,i=1,2,n高等代数7线性变换高等代数7线性变换A A L(V)APnnV的基的基1,2,n下下高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换l 定理1的
16、意义就在于证明了 是满射,从而是双射.这就为引入如下概念奠定了理论基础.高等代数7线性变换 V m+1,n A A A AW1,2,n 0 高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换二 的性质高等代数7线性变换l L(V)Pnn,且保持加,减,乘,数乘,可逆性.高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换 A 三 线性变换下的坐标变换向量与A在同一基下的坐标变换公式l 注意与基变换公式下的坐标变换公式的区别注意与基变换公式下的坐标变换公式的区别(见P6.4)高等代数7线性变换高等代数7线性变换三 A (L(V)在不同基下的矩阵在不同基下
17、的矩阵B=X-1AX定理4 A (L(V)在基在基1,2,n下的矩阵是下的矩阵是A A (L(V)在基在基1,2,n下的矩阵是下的矩阵是B (1,2,n)=(1,2,n)X A A(1,2,n)=(1,2,n)X B =X-1AX同一A 在不同基下的矩阵之间的关系式是完全由基变换公式所确定的 高等代数7线性变换高等代数7线性变换定义定义3 A,BPnn,称A相似B,记AB,如果存在可逆矩阵XPnn,使得 B=X1AX 相似关系相似关系的性质:的性质:1)自反性:对任意的自反性:对任意的APnn,AA.(存在E Pnn,A=E1AE)2)对称性:对称性:AB,则,则 BA.(AB 存在可逆阵X
18、Pnn,B=X1AX XBX1=X(X1AX)X=A,即存在Y=X1,A=Y1 BY BA)3)传递性:传递性:AB,BC,则则 AC.(AB,BC 存在可逆阵X,YPnn,B=X1AX,C=Y1BY C=Y1(X1AX)Y=(XY)1A(XY)AC)l 矩阵的相似关系是矩阵的相似关系是P上的等价关系上的等价关系.高等代数7线性变换4)X1A1X+X1Ar X=X1(A1+Ar)X (X1AX)(X1AX)(X1AX)=X1(A1A2 Ar)Xl 即 A1B1 ArBr,则 A1+A2+ArB1+B2+Br,A1A2 ArB1B2 Br.5)X1(Ar)X=(X1AX)r (是性质4的特例)6
19、)AB,则 Ar Br (AB B=X1AX 据性质5,Br=(X1AX)r=X1(Ar)X Ar Br).l 据以上性质得:AB,则 f(A)f(B),f(x)Pnn.(设 f(x)=a0+a1x+anxn,因 AB Ar Ar,r=0,1,n,又由B=X1AX得 kB=k(X1AX)=X1(kA)X,即 kAkB 据性质4知 a0 A0+a1A+anAn a0B0+a1B+anBn,即 f(A)f(B)).高等代数7线性变换 7)(定理5)(1)A (L(V)在不同基下矩阵A,B相似;(2)AB(A,BPnn),则存在A (L(V),使A,B是 A 在不同基下的矩阵.证明证明:由定理4即知
20、(1)成立.这里仅证(2).AB 存在可逆阵X,使 B=X1AX,又据定理1,有A (L(V),A (1,2,n)=(1,2,n)A 设 (1,2,n)X=(1,2,n)因X可逆,故 (1,2,n)X 1=(1,2,n)1,2,n 与1,2,n 等价 1,2,n 是V的基,且A (1,2,n)=A (1,2,n)X)=(A (1,2,n)X=(1,2,n)AX =(1,2,n)X1)AX=(1,2,n)X1AX =(1,2,n)B A,B分别是在基1,2,n 和基1,2,n 下的矩阵.高等代数7线性变换l 矩阵的相似关系作为Pnn上的等价关系把Pnn分成若干个互不相交的子集 提出问题:对任意的
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- 扬州 大学 高等 代数 课件 北大 第七 线性变换
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