数值分析-牛顿法.ppt
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1、数值分析数值分析非线性方程的牛顿法非线性方程的牛顿法(Newton Method of Nonlinear Equations)内容提纲(内容提纲(Outline)Outline)牛顿法及其几何意义牛顿法及其几何意义 收敛性及其收敛速度收敛性及其收敛速度 计算实例及其程序演示计算实例及其程序演示取取x0 0作为初始近似值作为初始近似值,将将f(x)在在x x0 0做做TaylorTaylor展开展开:重复上述过程重复上述过程 作为第一次近似值作为第一次近似值一、牛顿法及其几何意义一、牛顿法及其几何意义Newton迭代公式迭代公式基本思路:基本思路:将非线性方程将非线性方程f(x)=0 线性化线
2、性化牛顿法的几何意义牛顿法的几何意义xyx*x0 x 1x 2牛顿法也称为切线法牛顿法也称为切线法(局部收敛性定理局部收敛性定理)设设 f(x)C2a,b,若若 x*为为 f(x)在在a,b上的根上的根,且且 f (x*)0,则存在则存在 x*的邻域的邻域 使得任取初始值使得任取初始值 ,Newton 法产生的序列法产生的序列 xk 收敛到收敛到 x*,且满足且满足至少平方收敛至少平方收敛二、牛顿法的收敛性与收敛速度二、牛顿法的收敛性与收敛速度在在x*的附近的附近收敛收敛由由Taylor 展开:展开:令令k,由由 f (x*)0,即可得结论。即可得结论。证明:证明:Newton法法实际上是一种
3、特殊的迭代法实际上是一种特殊的迭代法思考题思考题1 若若 ,Newton法法是否仍收敛?是否仍收敛?设设 x*是是 f 的的 m 重根,则令:重根,则令:且且Answer1:有局部收敛性有局部收敛性Answer2:线性收敛线性收敛思考题思考题2当当x*是是 f(x)=0的的m重根重根,是否平方收敛?是否平方收敛?注:注:注:注:Newton法的收敛性依赖于法的收敛性依赖于x0 的选取。的选取。x*x0 x0 x0 有根有根根唯一根唯一全局收敛性定理全局收敛性定理(定理定理4.7):设设 f(x)C2a,b,若若(1)f(a)f(b)0;则由则由Newton法产生的序列法产生的序列 xk 单调地
4、收敛到单调地收敛到f(x)=0 在在 a,b 的唯一根的唯一根x*,且收敛速度至少是二阶且收敛速度至少是二阶的的保证保证产生的序列产生的序列xk单调有界单调有界保证保证Newton迭迭代函数代函数将将a,b映映射于自身射于自身将将f(x*)在在 xk 处作处作TaylorTaylor展开展开对迭代公式两边取极限,得对迭代公式两边取极限,得证明:证明:证明:证明:以以为例证明为例证明 说明数列说明数列 xk 有下界有下界故故 xk 单调递减单调递减,从而从而 xk 收敛收敛.令令?三、计算实例及其程序演示计算实例及其程序演示辅助工具辅助工具:VCVC程序设计语言程序设计语言MatlabMatla
5、b数学软件数学软件(1)(1)选定初值选定初值x0,计算计算f(x0),f (x0)计算步骤计算步骤(2)(2)按公式按公式 迭代迭代 得新的近似值得新的近似值xk+1 (3)(3)对于给定的允许精度对于给定的允许精度,如果如果 则终止迭代,取则终止迭代,取 ;否则否则k=k+1,再转再转 步骤步骤(2)(2)计算计算允许精度允许精度最大迭代最大迭代次数次数迭代信息迭代信息例题1用用NewtonNewton法求方程法求方程 的根的根,要求要求迭代格式一:迭代格式一:迭代格式二:迭代格式二:取初值取初值x x0 00.00.0,计算如下:计算如下:对迭代格式一对迭代格式一:the iterati
6、ve number is 27,the numerical solution is 0.442852706对迭代格式二对迭代格式二:the iterative number is 3,the numerical solution is 0.442854401例题2求函数求函数 的正实根的正实根精度要求:精度要求:从图形中我们可以从图形中我们可以看出:看出:在在x=7和和x=8 之之间有一单根;间有一单根;在在x=1和和x=2 之之间有一重根。间有一重根。用用MatlabMatlab画图,查看根的分布情形画图,查看根的分布情形初值初值x08.0 时,计算的是单根计算的是单根,The iterat
7、ive number is 28,The numerical solution is 7.600001481初值初值x01.0,计算的是重根计算的是重根,The iterative number is 1356,The numerical solution is 1.198631981小结(1)当f(x)充分光滑且 x*是f(x)=0的单根时,牛顿法在x*的附近至少是平方收敛的。(2)当f(x)充分光滑且 x*是f(x)=0的重根时,牛顿法在x*的附近是线性收敛的。(3)Newton法在区间a,b上的收敛性依赖于初值x0 的选取。改进与推广改进与推广/*improvement and gene
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