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1、计算建模复习8-生灭过程和泊松过程(条件)全期望公式 对任意的随机变量,泊松分布和指数分布 均值和方差:DX=EX2-(EX)2泊松分布:指数分布无记忆性:生灭过程的定义 生灭过程的定义 定义:具有状态的过程,如果时,有当即只能从状态i转移到状态i+1或i-1通常将状态看作某个群体的总量定义:(出生率),(死亡率),每当系统中有i个人,直到下一次出生的时间服从参数为 的指数分布,且独立于直到下一次死亡的时间,它服从于参数为的指数分布生灭过程的定义:如果连续参数马尔科夫链满足状态仅限于从当前状态向临近状态转移若,则在时间内从状态i转移到状态i+1的概率为;在时间内从状态i转移到状态i-1的概率为
2、;容易直到状态不变的概率为由状态i转移到两个或两个以上的状态的概率为则称此马尔科夫链为生灭过程如果均是t的函数,称为非齐次生灭过程如果均是t的线性函数,称为线性非齐次生灭过程如果均与 无关,称为齐次生灭过程生灭过程的转移概率 生灭过程所有状态相通的转移速率矩阵 定义(转移速率矩阵):转移速率由如下形式给出:当是纯生过程当是纯灭过程每一列最多有三个非零元素转移速率图 可尔蒙戈洛夫微分方程与福克-普朗克方程 前进方程:后退方程:绝对概率和转移速率间的微分关系:令令则生灭过程的平稳分布 依据复习7的定理,如果极限分布存在,则存在平稳状态。这时有:解该方程组并加以讨论可知:当收敛,则 平稳分布 存 在
3、当级数 发散 时,平稳分布不 存 在当过程渐进平稳状态时,有上述方程成立即整体平稳方程(直观上,进入i的速率等于离开i的速率)详细平稳方程:解方程组后得到的结果从状态i-1转移到状态i的平均速率等于从状态i转移到状态i-1的平均速率有限状态下的生灭过程的平稳分布假设状态空间有限状态的生灭过程必定存在平稳分布泊松过程的两种定义 独立增量过程和正交增量过程 独立增量过程:设随机过程,在时间T上任意选取如果相互统计独立则称这类随机过程为独立增量过程独立增量过程一定是马尔可夫过程齐次独立增量过程:独立增量过程的增量仅仅与时间差有关,与时间本身无关(即与时间起点无关)正交增量过程:设二阶矩过程满足(任意
4、选取的时间)定理:满足的独立增量过程 也是正交增量过程计数过程 使用表示直到时刻t为止发生的随机事件数量,称随机过程为计数过程只可增加不可减少独立增量计数过程:不相交的时间间隔内出现A的次数相互统计独立平稳(齐次)增量计数过程:在时间间隔内出现事件A的次数仅仅与s有关,与t无关泊松过程的两种定义 定义1:称为泊松过程,具有参数如果:N(0)=0具有独立增量即均值为的泊松分布定理(自相关函数和协方差函数的性质)协方差函数:自相关函数:,服从参数为 的泊松分布(证明:利用平稳(齐次)独立增量)等价定义:例题 考虑某电话交换台在某段时间接到的呼叫.令X(t)表示电话交换台在(0,t时间段内收到的呼叫
5、次数,则X(t),t0满足定义3.3中的各个条件,故X(t),t0是一个泊松过程.其实对于任意的0t1t2tn,随机变量X(t2)-X(t1),X(t3)-X(t2),X(tn)-X(tn-1)分别表示,在时间 段(t1,t2,(t2,t3,(tn-1,tn内,电话交换台接到的呼叫次数,它们是相互独立的,所以随机过程X(t),t0 是一个独立增量过程.而且对于任意的st,随机变量X(t)-X(s)的分布可以认为仅与有关,故X(t),t0是平稳独立增量过程.考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客.如果记X(t)为在时间(0,t内到达售票窗口的旅客数,则计数过程X(t),t0满足定义中的各个条件,
6、故是一个泊松过程考虑机器在(t,t+h)时间段内发生故障的事件.若机器发生故障,立即修理后继续工作,则在(t,t+h)时间段内机器发生故障而停止工作的事件数,构成一个随机点过程,该过程可以用泊松过程进行描述.泊松过程的基本性质 设是泊松过程,对于有:进一步可得的均值和方差协方差函数:特征函数:例题 例:设在内事件已经发生 次,求第次事件发生的时间的条件概率密度函数设第k次事件发生的时间,则按照概率密度函数的基本定义有:注意独立性在哪里使用(与)相互独立!(泊松过程的独立增量)是到达时间的分布非齐次泊松过程 允许时刻t的来到强度(或者速率)是t的函数定义(非齐次泊松过程):如果计数过程 为具有跳
7、跃强度为的非齐次泊松过程,如果有下列条件成立:为独立增量过程发生大于等于2次的概率为均值函数:(o-t时刻对增长函数做积分)性质(实际上就是均值):例题:非齐次泊松过程的重要性在于不再要求平稳增量,从而允许事件在某些时刻发生的可能性较之另一些时刻来得大非齐次泊松过程与泊松过程有何不同?又有何联系?非齐次泊松过程不具有平稳增量性.非齐次泊松过程反映了一类其变化与时间有关的过程复合泊松过程 设是一族独立同分布的随机变量,是泊松过程,且与 独立记称其为复合泊松过程若独立同分布则有:条件泊松过程(?)设 是参数为 的泊松过程,则 有 例题:例题:到达时间分布和到达时间间隔分布 泊松过程的到达时间间隔分布 设为t时刻到达的随机点数目,强度为 的泊松过程。设分别表示第1个,第2个 随机点到达的时间。它是一个随机变量序列!第个令称 为泊松过程的到达时间间隔序列,它也是一个随机变量序列。显然定理:设为参数为 的泊松过程。则该序列独立且服从于参数 的指数分布:泊松过程的到达时间分布 设参数为 的泊松过程,则服从 分布,则的概率密度函数为:泊松过程到达时间的条件分布 设为参数 的泊松过程。如果在内仅有一个随机点到达,是其到达时间则 服从0,t)上的均匀分布!例题(不太会!)
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