【考前三个月】2015届高考数学(浙江专用,理科)必考题型过关练:专题7 第32练(含答案).doc
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1、高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第第 32 练练 圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线中的探索性问题题型一 定值、定点问题例 1 已知椭圆 C:1 经过点(0,),离心率为 ,直线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F 交x2a2y2b2312椭圆于 A、B 两点(1)求椭圆 C 的方程;(2)若直线 l 交 y 轴于点 M,且,当直线 l 的倾斜角变化时,探求 的MAAFMBBF值是否为定值?若是,求出 的值;否则,请说明理由破题切入点 (1)待定系数法(2)通过直线的斜率为参数建立直线方程,代入椭圆方程消 y 后可得点 A,B 的横坐标的关系式,然后根据向量关系式,.把
2、, 用点 A,B 的横坐标表示出来,只要证明MAAFMBBF 的值与直线的斜率 k 无关即证明了其为定值,否则就不是定值解 (1)依题意得 b,e ,a2b2c2,3ca12a2,c1,椭圆 C 的方程为1.x24y23(2)因直线 l 与 y 轴相交于点 M,故斜率存在,又 F 坐标为(1,0),设直线 l 方程为yk(x1),求得 l 与 y 轴交于 M(0,k),设 l 交椭圆 A(x1,y1),B(x2,y2),由Error!消去 y 得(34k2)x28k2x4k2120,x1x2,x1x2,8k234k24k21234k2又由,(x1,y1k)(1x1,y1),MAAF,同理 ,x
3、11x1x21x2x11x1x21x2x1x22x1x21x1x2x1x2高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 - .8k234k224k21234k218k234k24k21234k283所以当直线 l 的倾斜角变化时,直线 的值为定值 .83题型二 定直线问题例 2 在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C(0,p)作直线与抛物线x22py(p0)相交于 A,B 两点(1)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求ANB 面积的最小值;(2)是否存在垂直于 y 轴的直线 l,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出 l 的方程;若不存在
4、,请说明理由破题切入点 假设符合条件的直线存在,求出弦长;利用变量的系数恒为零求解解 方法一 (1)依题意,点 N 的坐标为 N(0,p),可设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 ykxp,与 x22py 联立得Error!消去 y 得 x22pkx2p20.由根与系数的关系得 x1x22pk,x1x22p2.于是 SABNSBCNSACN 2p|x1x2|12p|x1x2|px1x224x1x2p2p2,4p2k28p2k22当 k0 时,(SABN)min2p2.2(2)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 ya,AC 的中点为 O,l 与以 AC 为直径的圆相交
5、于点 P,Q,PQ 的中点为 H,则 OHPQ,Q点的坐标为(,)x12y1p2|OP| |AC|,1212x2 1y1p212 y2 1p2|OH| |2ay1p|,|ay1p2|12|PH|2|OP|2|OH|2高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 - (y p2) (2ay1p)214 2 114(a )y1a(pa),p2|PQ|2(2|PH|)24(a )y1a(pa)p2令 a 0,得 a ,p2p2此时|PQ|p 为定值,故满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ,即抛物线的通径所在的直线p2方法二 (1)前同方法一,再由弦长公式得|AB|x1x2|1k21
6、k2x1x224x1x21k24p2k28p22p,1k2k22又由点到直线的距离公式得 d.2p1k2从而 SABN d|AB|12 2p 121k2k222p1k22p2.k22当 k0 时,(SABN)min2p2.2(2)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 ya,则以 AC 为直径的圆的方程为(x0)(xx1)(yp)(yy1)0,将直线方程 ya 代入得 x2x1x(ap)(ay1)0,则 x 4(ap)(ay1)2 14(a )y1a(pa)p2设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为 P(x3,y3),Q(x4,y4),则有|PQ|x3x4| 4ap2y1apa高考资源网(
7、) 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -2.ap2y1apa令 a 0,得 a ,p2p2此时|PQ|p 为定值,故满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ,即抛物线的通径所在的直线p2题型三 定圆问题例 3 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为,两个焦点分别为 F1和32F2,椭圆 G 上一点到 F1和 F2的距离之和为 12,圆 Ck:x2y22kx4y210(kR)的圆心为点 Ak.(1)求椭圆 G 的方程;(2)求AkF1F2的面积;(3)问是否存在圆 Ck包围椭圆 G?请说明理由破题切入点 (1)根据定义待定系数法求方程(2)直接求(3)关键看长轴两端
8、点解 (1)设椭圆 G 的方程为1(ab0),半焦距为 c,则Error!解得Error!x2a2y2b2所以 b2a2c236279.所以所求椭圆 G 的方程为1.x236y29(2)点 Ak的坐标为(k,2),SAkF1F2 |F1F2|2 626.121233(3)若 k0,由 620212k0211512k0,可知点(6,0)在圆 Ck外;若 k0,可知点(6,0)在圆 Ck外所以不论 k 为何值,圆 Ck都不能包围椭圆 G.即不存在圆 Ck包围椭圆 G.总结提高 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,基本思想是使用参数表示要解决的问题,证明要解决的问题与参数无关在这类试题中
9、选择消元的方向是非常关键的(2)由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:yy0k(xx0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:ykxm,则直线必过定点(0,m)高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -(3)定直线问题一般都为特殊直线 xx0或 yy0型1在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0,)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆y21 有两个不2x22同的交点 P 和 Q.(1)求 k 的取值范围;(2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A,B,是否存在常数 k,使得向量OP与共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由O
10、QAB解 (1)由已知条件,得直线 l 的方程为 ykx,2代入椭圆方程得(kx)21.x222整理得( k2)x22kx10.122直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 8k24( k2)4k220,12解得 k.2222即 k 的取值范围为(,)(,)2222(2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则(x1x2,y1y2),OPOQ由方程,得 x1x2.4 2k12k2又 y1y2k(x1x2)2.2而 A(,0),B(0,1),(,1)2AB2所以与共线等价于 x1x2(y1y2),OPOQAB2将代入上式,解得 k.22由(1)知 k,2222故不存在符合题意的常
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