有限元讲义等参单元精.ppt
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1、有限元讲义等参单元有限元讲义等参单元第1页,本讲稿共24页6.1 6.1 6.1 6.1 引言引言引言引言第二是单元几何上的限制,矩形和六面体(长方体)单元要求单元的边第二是单元几何上的限制,矩形和六面体(长方体)单元要求单元的边(面)平行于坐标轴(面),因此都不能模拟任意形状和方位的结构。(面)平行于坐标轴(面),因此都不能模拟任意形状和方位的结构。此外,线性单元都是直线边界,处理曲边界几何体误差较大。此外,线性单元都是直线边界,处理曲边界几何体误差较大。回顾前面的各种二、三维单元,这些单元受到两个方面的限制:回顾前面的各种二、三维单元,这些单元受到两个方面的限制:第一是单元的精度,显然单元
2、的节点数越多,单元精度越高。因此在这一点第一是单元的精度,显然单元的节点数越多,单元精度越高。因此在这一点上,矩形单元优于上,矩形单元优于3 3节点三角形单元,六面体单元优于四面体单元;节点三角形单元,六面体单元优于四面体单元;第2页,本讲稿共24页6.1 6.1 6.1 6.1 引言引言引言引言任意四边形和任意六面体单元的位移模式、形函数的构造和单元列式的导出任意四边形和任意六面体单元的位移模式、形函数的构造和单元列式的导出不能沿用前面构造简单单元的方法,必须引入所谓的等参变换,采用相同的不能沿用前面构造简单单元的方法,必须引入所谓的等参变换,采用相同的插值函数对单元的节点坐标和节点位移在单
3、元上进行插值。这种单元称为插值函数对单元的节点坐标和节点位移在单元上进行插值。这种单元称为等等参单元参单元。解决上述矛盾的出路就是突破矩形单元和六面体单元几何上的限制,解决上述矛盾的出路就是突破矩形单元和六面体单元几何上的限制,使其成为平面任意四边形和空间任意六面体单元,如果再增加边中间使其成为平面任意四边形和空间任意六面体单元,如果再增加边中间节点,还可以成为曲边四边形和曲面六面体高精度单元。节点,还可以成为曲边四边形和曲面六面体高精度单元。等参单元的提出对于有限元法在工程实践中的应用具有重要意义。等参单元的提出对于有限元法在工程实践中的应用具有重要意义。第3页,本讲稿共24页6.2 6.2
4、 6.2 6.2 平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元1 1、局部坐标系与位移模式、局部坐标系与位移模式建立位移模式时的新问题:如果直接用建立位移模式时的新问题:如果直接用x x,y y坐标系下的双线性位移模式,由坐标系下的双线性位移模式,由于任意四边形单元的边界与坐标轴不平行,因此位移沿边界呈二次函数变化,于任意四边形单元的边界与坐标轴不平行,因此位移沿边界呈二次函数变化,单元在公共边界上不满足协调性。单元在公共边界上不满足协调性。l 下图为一个4节点任意四边形单元,单元有8个自由度。将矩形单元 放松为4节点任意四边形单元将带来许多好处。第4页,本讲稿共2
5、4页6.2 6.2 6.2 6.2 平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元因此在任意四边形单元上建立一种局部坐标系因此在任意四边形单元上建立一种局部坐标系-(如图),使得(如图),使得4 4条边上有一个条边上有一个局部坐标为常数(局部坐标为常数(11),显然,该局部坐标系随单元形状变化,两组坐标线一般不),显然,该局部坐标系随单元形状变化,两组坐标线一般不正交。单元内,所有点的坐标正交。单元内,所有点的坐标、皆在皆在-1-1与与+1+1之间,四个节点的局部坐标为之间,四个节点的局部坐标为+1+1或或-1 1。该坐标系也称为自然坐标系。该坐标系也称为自然坐标系。
6、建立了局部坐标系后,在建立了局部坐标系后,在-平面内单元就是一个边长为平面内单元就是一个边长为2 2的正方形。的正方形。第5页,本讲稿共24页6.2 6.2 6.2 6.2 平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元称称-平面内的正方形单元为平面内的正方形单元为基本单元或母单元基本单元或母单元。x-yx-y平面内的任意四边形平面内的任意四边形单元称为单元称为实际单元或子单元实际单元或子单元。显然,母单元的节点对应于不同的。显然,母单元的节点对应于不同的x x,y y坐坐标就得到不同的任意四边形单元。标就得到不同的任意四边形单元。该局部坐标系使得在该局部坐标系使得在
7、x-yx-y平面上的任意四边形与平面上的任意四边形与-平面上的正方形之间形成了平面上的正方形之间形成了1-11-1对应的映射。正方形的对应的映射。正方形的4 4个顶点对应任意四边形单元的四个节点;个顶点对应任意四边形单元的四个节点;4 4条边对应条边对应任意四边形单元的任意四边形单元的4 4条边;正方形内任一点条边;正方形内任一点p(,)p(,)对应于任意四边形内一点对应于任意四边形内一点p(x,y)p(x,y)。第6页,本讲稿共24页6.2 6.2 6.2 6.2 平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元建立了局部坐标系或映射后,我们可以在建立了局部坐标系或映
8、射后,我们可以在-平面上的母单元中描述实际单元的平面上的母单元中描述实际单元的位移模式和力学特性。位移模式和力学特性。任意四边形单元在母单元中的位移模式插值公式(或者称为任意四边形单元在母单元中的位移模式插值公式(或者称为-坐坐标系下的位移模式)就是矩形单元的位移模式,写为:标系下的位移模式)就是矩形单元的位移模式,写为:(i=1,2,3,4(i=1,2,3,4)其中,形函数为:其中,形函数为:为为i i节点的局部坐标。节点的局部坐标。v显然该位移模式在显然该位移模式在,坐标系下是双线性位移模式,在坐标系下是双线性位移模式,在x x,y y坐标系下不是双线性坐标系下不是双线性位移模式。由于实际
9、单元的边界上有一个局部坐标为常数,因此位移沿单元边界线位移模式。由于实际单元的边界上有一个局部坐标为常数,因此位移沿单元边界线性变化,能保证单元的协调性。性变化,能保证单元的协调性。第7页,本讲稿共24页6.2 6.2 6.2 6.2 平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元为了得到上述映射的数学表达式,在母单元上引入为了得到上述映射的数学表达式,在母单元上引入x x,y y坐标插值的坐标插值的思想:母单元上任意一点在实际单元中对应点的思想:母单元上任意一点在实际单元中对应点的x x,y y坐标由节点的坐标由节点的x x,y y坐标插值得到,并采用与位移插值相同
10、的插值函数。从而得到一坐标插值得到,并采用与位移插值相同的插值函数。从而得到一个数学变换式:个数学变换式:(i=1,2,3,4)2 2、坐标变换、坐标变换第8页,本讲稿共24页6.2 6.2 6.2 6.2 平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元上述映射是利用母单元描述实际单元力学特性的桥梁。由于该坐标变换式中采用了上述映射是利用母单元描述实际单元力学特性的桥梁。由于该坐标变换式中采用了与位移插值相同的节点和参数(插值函数),因此称为等参变换。而所有采用等参与位移插值相同的节点和参数(插值函数),因此称为等参变换。而所有采用等参变换的单元称为等参单元。等参单元
11、是一个单元家族,目前在通用程序中广泛采用。变换的单元称为等参单元。等参单元是一个单元家族,目前在通用程序中广泛采用。这样就得到一个事实上的映射,只要验证该映射把母单元映射成实际这样就得到一个事实上的映射,只要验证该映射把母单元映射成实际单元,就是所需要的映射,实际单元上局部坐标系就满足前面规定的单元,就是所需要的映射,实际单元上局部坐标系就满足前面规定的要求。而事实上正是如此。要求。而事实上正是如此。第9页,本讲稿共24页6.2 6.2 6.2 6.2 平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元3、单元刚度矩阵计算、单元刚度矩阵计算1)形函数导数的坐标变换)形函数
12、导数的坐标变换等参单元中形函数是局部坐标等参单元中形函数是局部坐标,的显函数,而计算应变时需要形函的显函数,而计算应变时需要形函数对数对x,yx,y坐标的导数。根据等参变换式,坐标的导数。根据等参变换式,,和和 x,y x,y之间有一定函数关系,之间有一定函数关系,由复合函数求导规则有:由复合函数求导规则有:第10页,本讲稿共24页6.2 6.2 6.2 6.2 平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元从上式解出:从上式解出:从而可以计算应变矩阵:从而可以计算应变矩阵:第11页,本讲稿共24页6.2 6.2 6.2 6.2 平面四节点等参单元平面四节点等参单元平
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