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1、-_微积分入门微积分入门1.微商(导数)1.用来分析变化的工具2.斜率=dy/dx3.极限:一个值无限接近另一个值的状态。表示:lim(x0)f(x)=b4.正向接近(+)与负向接近(-) 。当从两侧接近的结果不同时,不存在极限5.极限的模式:lim(xa)f(x) 不存在(如 lim(xa)1/x) lim(xa)f(x)存在,但不 是 f(a)(如 lim(x1)(x2-3*x+2)/(x-1) lim(xa)f(x)存在,是 f(a).6.求导公式:lim(h0)( f(x+h) -f(x)/h 2导函数1 对 f(x)求导得到的导函数也是函数。f (x)=lim(h0)( f(x+h)
2、 -f(x)/h=lim(dx0)dy/dx2.导数表示的两种方式:A.如上 B.(莱布尼茨法)dy/dx df(x)/dx F(x)=(d/dx)*(d/dx)*y3.求导基本公式:p=C p=0(p 为常数)(px)=p f(x)+g(x)=f(x)+g(x)4.常用求导公式:(xn)=lim(h0)(x+h) n-xn)/h=n*x(n-1)f(x)*g(x)=f(x)*g(x)+f(x)*g(x) y=sinx y=cosx ; y=cosx y=-sinx y=ex y=ex ; y=Lnx y=1/xf(x)/g(x)=(f (x)*g(x)-f(x)*g(x)/g2(x) 5.y
3、=f(x)的一阶微商 f(x)=dy/dx=lim(dx0)(f(x+dx)-f(x)/dx二阶微商 f(x)=df (x)/dxd2*y/d*x2n 阶微商(x)=d(x)/dx=dn*y/d*xn)(nf)1( nf=dx/dt= ; =d/dt=d2x/dt2=xv xxaxv v x3求导规则和公式1.函数 y=(x)是 y=f(x)的反函数,由 x 和 y 的互反关系,易得1fd(x)/dx=dy/df(y)=1/(df(y)/dy)=1/f (y)1f2.如果 y=f(u),u=g(x) ,则复合函数 y=f(g(x)的导数为dy/dx=(dy/du)*(du/dx)=f (u)*
4、g(x)3.如果 y 与 x 的函数关系由参数方程 y=y(t),x=x(t)给出,则有:dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=/ y x4.对于两个函数 u(x),v(x)的和与差的导数,则由 d(u+&-v)=du+&-dv 得的 du(x)+&-v(x) / dx=du(x)/d(x)+&-dv(x)/d(x)5.对于两个函数 u(x),v(x)的积的导数,则由 d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu 得du(x)v(x)/dx=u(x)dv(x)/dx+v(x)/dx=u(x)v (x)+v(x)u (x) 4导函数的基本性质1.af(x) =af (x) 2
5、.f(x)+g(x) =f (x)+g(x) 1&2af(x)+bg(x) =af (x)+bg (x) (a,b 为常数)3.f(x)*g(x) =f (x)*g(x)+f(x)*g(x)-_函数积求导的方法推导: f(x)*g(x) =f (x)*g(x)+f(x)*g(x) 推导:f(x)*g(x) =lim(h0)f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)/h=lim(h0)f(x+h)-f(x)*g(x+h)+f(x)*g(x+h)-g(x) /h=f (x)*g(x)+f(x)*g(x)4.(x+b)n=n(x+b)(n-1)5.(ax+b)n=an(ax+b)(n-1) 5.二项
6、式定理(展开(x+h)n)1.(x+h)n=+h+nxnC11nxnC22nx2h.n nCnh.nCk 表示“从 n 个数中挑选 k 个数的组合数” (有几种组合方式)如 nC1=n.2.(x+h)1=x+h 1 1(x+h)2=x2+2xh+h2 1 2 1(x+h)3=x3+3x2h+3xh2+h3 1 3 3 1 (x+h)4=x4+4x3h+6x2h2+4xh3+h4 1 4 6 4 1(系数)杨辉三角 3.= ) 1( xkxkxk)!( !/(!(=1/(1+x)=1-x+x2-x3+.1)1 ( x=1+x+x2+.2/1)1 (xx121 2*1) 12/1 (2/1系数 k
7、k .2*1) 1).(1(函数的导数:(最初比)x./.)(11xxxoxxox令 o=0,得最末比(流数)导数 & 反流数(1/+1) 1x1x六使用导数绘制图形 例 1:绘制 y=2x3+3x2-12x+6 的图像 y =6x2+6x-12=0 X1=-2 =26 x2=1 =-1 maxyminyx . -2 . 1 .f (x) + 0 - 0 +f(x) 26 -1 要点:求导找到极值点 求极值点间的增减趋势-_例 1 图 例 2:判断曲线凹凸的方法求二次微分 f (x)的正负下凸切线斜率增大f (x)为增函数f (x)0 上凸切线斜率减小f (x)为减函数f (x)0 凹凸性增减
8、表(f(x)=x3-3x f (x)=3x2-3)x . -1 . 0 . 1 .f (x) + 0 - - - 0 + f (x) - - - 0 + + +f(x) 2 0 -2 增加上凸 减小上凸 减小下凸 增加下凸例 2 图 由上凸下凸拐点坐标(0 , 0)拐点处切线:y= - 3x f(x)=ax3+bx2+cx+d f (x)=3ax2+2bx+c 7积分(面积)与导数(斜率)的关系1.积分是导数的逆向运算,即 f(x)=(d/dx)(关于 t 求 f(t)积分)xdttf 0)(导数(xn)=? 积分(?)=nx(n-1)为积分符号(Summation 合计)2.对 f(x)求不
9、定积分得到的函数为原函数,如=(1/3)x3+C(C 为积分常数)dxx2求导函数(导数算式)+初始条件(信息) 基础函数(原函数)3.)()()()()()(xbGxaFdxxgbdxxfadxxbgxaf证明:设 F(x)=f(x) , G(x)=g(x)aF(x)+bG(x) =aF(x)+bG(x)=af(x)+bg(x)()()()()()(xbGxaFdxxgbdxxfadxxbgxaf-_例:dxdcxbxax)(23=dxdxdxcdxxbdxxa23=(a/4)x4+(b/3)x3+(c/2)x2+dx+K(K 为积分常数)4.不定积分的原函数有无数个证明:F(x)和 G(x
10、)均为 f(x)的不定积分F(x)=f(x) g(x)=f(x)(F(x)-G(x)=F(x)-G(x)=0F(x)-G(x)=C81.定积分(从 a 到 b )baaFbFabxFdxxf)()()()(.定积分的结果不是函数,而是常数x 与 dx 的最大区别在于是否引入了极限的概念 2.定积分的性质 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()( aadxxf0)( baabxfdxxf)()( abxFcFbFaFcFcbxFacxFdxxfdxxfdxxfbcbaca)()()()()()()()()()(Cbaxnadxbaxnn1)(1(/1 ()(3.常用初等函数积分公
11、式) 1() 1/1 (1nCxndxxnnCxxdxcossinCxxdxsincosCedxexxCxInxdx)/(九-_lim(n0)长方形 1+长方形 2+.+长方形 n=lim(n0)宽*(长 1+长 2+.+长 n)=lim(n0)宽*长(n)=lim(n0)(b-a)/n)f(x1)+f(x2)+.+f(xn) 1.S1S2S1=lim(n0)(b-a)/n) S2=lim(n0)(b-a)/n)10)(nkkxf nkkxf1)(如果长方形宽无限缩小,那么 S1S2 bakbfafafkf)(.) 1()()(2.例:求函数 f(x)=x2 在0 ,1之间,函数图象与 x 轴
12、围成的图形面积S=lim(n0) 1 -n0k21020)lim(n)3/1 ()/1 ()/(knnnknk=lim(n0)(1/n3)(n-1)n(2n-1)/6)=lim(n0)(1/6)(1-1/n)(2-1/n)=1/3公式: f(xk)=f(a+k(b-a)/n)=(k/n)2 6) 12() 1(102nnnknk十定积分的推导xxfxSnkk10)()0lim(xxFxxFxxf)()()0lim()(S=lim(x0)(F(xn)-F(xn-1)+(F(xn-1)-F(xn-2)+.+(F(x1)-F(xo) =F(b)-F(a) =F(xn)-F(x0)-_S=S(x+x)
13、-S(x) & S=f(x)xS(x)=f(x)对 S(x),由 S(x)=f(x)得:S(x)= f(x)dx=F(x)+C当 x=a 时:S(a)=0 S(a)=F(a)+C=0 S(x)=F(x)-F(a) 当 x=b 时:S=F(b)-F(a)面积函数:面积函数:F(x)=xdttf 0)(微积分的基本定理:微积分的基本定理:f(x)=(d/dx)xdttf 0)(证明:设 f(x)和其产生面积 S(x) dS(x)=f(x)dx)()()/(xfxSdxdxdttfxS 0)()()()( 0xfdttfdxdx11积分所求面积为负:f(x)值为负 积分方向相反(与)abxF)(ba
14、xF)(例 1:若 f(x)=(x-1)(x+1),求函数 y=f(x)与 x 轴围成的部分面积 (负) 11) 1)(1(dxxx11)(dxxf34 11)31(11)(3xxxFS例 2:求 y=(x-1)(x-2)(x-3)和 x 轴围成的图形面积3221)3)(2)(1()3)(2)(1(dxxxxdxxxxS=1/4+1/4=1/2-_121. 二次函数图象与 x 轴所围面积公式()(xxydxxxdxxfS)()(2= xxx 23 21)(31=2232)(61)(612. dxxgxfS)()(例:求 f(x)=x2, g(x)= - x2+2x+4 所围成的图形面积9)42
15、(2122 dxxxxS十三1.换元积分若 x=g(u) , 则 dx=g (u)du ,则duugugfdxxf)( )()(2.分步积分由 d(uv)=udv+vdu 可得:vduuvudv十四.1.微商在函数逼近中的应用:泰勒级数和小量展开在 x=xo 附近可以把函数 y=f(x)展开为泰勒级数 .)( ! 21)( )()(!1)(2)(0xoxxofxoxxofxofxoxxofnxfnnn-_. (x1)2 ! 2) 1(1)1 (xnnnxxn.! 3sin3 xxx.! 21cos2 xx.! 31tan3xxx(x1).! 2112xxex2.物理公式中的微积分F=ma(位移二次求导得 a)22dtxdmF (加速度) (关于 t 求积分) (速度) 22dtxdmmg dtdxmmgtCmgtmx(位移)=(1/2)mgt2+D 设 t=0 时,x=0, 则:mx=(1/2)mgt2 x=(1/2)gt2以初速度 Vo 将球斜向上抛出水平方向(x): F(x)=0 x=tvDtvxx)()(21 2122xy xyxvxvvxgytvgtytvx=(运行轨迹)bxax 2 21 xdtdxvx xdtxdvdtdvaxx x22
限制150内