概率的概念古典概型几何概型概率的公理化定义.ppt
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1、概率的概念概率的概念古典概型古典概型几何概型几何概型概率的公理化定义概率的公理化定义第二章第二章 事件的概率事件的概率频率频率:设设A A为随机试验为随机试验E E的任一事件,相同的条件下的任一事件,相同的条件下重复重复n n次,用次,用nAnA表示事件表示事件A A在在n n次试验中出现的次数,次试验中出现的次数,称比值称比值fn(A)=nA/nfn(A)=nA/n为为A A在在n n次试验中出现次试验中出现的的频率频率2.1 2.1 概率的概念概率的概念一一 概率概率实 验者次数n正面向上(m)频率(f=m/n)蒲 丰404020480.5070皮尔逊1200060190.5016皮尔逊2
2、4000120120.5005概率概率:随机试验中随机试验中,事件事件A A出现的可能性大小出现的可能性大小,记为记为P(A).P(A).例如例如:反复投掷一牧均匀硬币,有如下结果:反复投掷一牧均匀硬币,有如下结果:2.1 2.1 概率的概念概率的概念一一 概率概率2.1 2.1 概率的概念概率的概念一一 概率概率 频率在一定程度上反映了事件发生的可频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小能性大小.尽管每进行一连串(尽管每进行一连串(n n次)试验,次)试验,所得到的频率可以各不相同,但只要所得到的频率可以各不相同,但只要 n n相当相当大,频率与概率是会非常接近的大,频率与概率是会非常接近
3、的.因此,因此,概率是可以通过频率来概率是可以通过频率来“测量测量”的的,频率是概率的一个近似频率是概率的一个近似.1.1.非负性非负性 0P(A)10P(A)12.2.规范性规范性 P(P()=1)=13.3.有限可加性有限可加性 若若A A1 1,A A2 2,A A3 3 ,A An n互互斥,则斥,则 即有限个互不相容的事件的和事件即有限个互不相容的事件的和事件的概率等于这些事件的概率之和的概率等于这些事件的概率之和2.1 2.1 概率的概念概率的概念二二 概率的性质概率的性质公理代定义可以直接推出的性质1)证:令由概率的可加性(3.1)得而实数2)证:令由条件(iii)3)证:因4)
4、5)若若随机实验若随机实验E E有如下特征:有如下特征:1.1.有限性有限性:试验的可能结果只有有限个:试验的可能结果只有有限个 样本空间样本空间 1 1,2 2 ,n n;2.2.等可能性等可能性:各个可能结果出现是等可能的各个可能结果出现是等可能的 P(P(1 1)=P()=P(2 2)=)=P(=P(n n).).则称这种实验为则称这种实验为古典概型古典概型2.2 2.2 古典概型古典概型一一 古典概型古典概型 设有一个古典型试验设有一个古典型试验,其样本空间为其样本空间为,1 1,2 2 ,n n 而事件而事件A A是由是由中的中的k(kn)k(kn)个个(也称为有利也称为有利于于A
5、A的样本点的样本点)不同的基本事件所组成不同的基本事件所组成,则则A A的的概率为概率为:2.2 2.2 古典概型古典概型二二 古典概型概率的计算公式古典概型概率的计算公式2.2 2.2 古典概型古典概型三三 古典概型概率的性质古典概型概率的性质(1)非负性非负性:对任意事件对任意事件A,A,有有 0 0 P(A)P(A)1 1;(2)(2)规范性规范性:必然事件概率等于必然事件概率等于1,1,不可能事件的不可能事件的 概率等于概率等于0 0 P(P()1 1;P(P()=0)=0(3)(3)可加性可加性:如果事件如果事件A A与与B B互不相容互不相容,即即ABAB,P(AP(A B)B)P
6、(A)P(A)P(B)P(B)非负性与规范性非负性与规范性 对任意事件对任意事件A,A,有有0 0 P(A)P(A)1 1;证证:对任意事件对任意事件A,A,以以k kA A表示它所包含的基本事件数,表示它所包含的基本事件数,n n表示基本事件总数,则对于任意事件表示基本事件总数,则对于任意事件A A,有,有 0k0kA An n 或或 0k0kA A/n 1/n 1故故 0P(A)=k0P(A)=kA A/n n/n=1/n n/n=1即即 0P(A)10P(A)1特别地:特别地:P(P()=n/n=1)=n/n=1,P P()=0/n=0)=0/n=0可加性可加性 如果事件如果事件A A与
7、与B B互不相容互不相容,即即ABAB,P(AP(A B)B)P(A)P(A)P(B)P(B)证证:设设 A A含含k k1 1个基本事件:个基本事件:1 1(1)(1),2 2(1)(1),k1k1(1)(1)B B含含k k2 2个基本事件:个基本事件:1 1(2)(2),2 2(2)(2),k2k2(2)(2)即即 A=A=1 1(1)(1),2 2(1)(1),k2k2(1)(1)B=B=1 1(2)(2),2 2(2)(2),k2k2(2)(2)由定义由定义 P(A)=P(A)=k k1 1/n,/n,P(B)=P(B)=k k2 2/n/n 又由于又由于A AB B AB=AB=1
8、 1(1)(1),2 2(1)(1),k2k2(1)(1),1 1(2)(2),2 2(2)(2),k2k2(2)(2)AB AB 中含有中含有k k1 1+k+k2 2个基本事件个基本事件 p(AB)=(kp(AB)=(k1 1+k+k2 2)/n=k)/n=k1 1/n+k/n+k2 2/n=/n=P(A)P(A)P(B)P(B)解解:设设A-A-至少有一个男孩至少有一个男孩,以以H H表示某个孩子是男孩表示某个孩子是男孩例例:有三个子女的家庭有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率设每个孩子是男是女的概率相等相等,则至少有一个男孩的概率是多少则至少有一个男孩的概率是多少?N(N()=H
9、HH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTTN(A)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THTN(A)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT2.2 2.2 古典概型古典概型四四 古典概型的计算古典概型的计算(1)1)判断试验为古典试验判断试验为古典试验,即即基本事件总数为有限基本事件总数为有限个个,且且各基本事件出现的可能性相同。各基本事件出现的可能性相同。(2)(2)计算样本空间中样本点的个数计算样本空间中样本点的个数n n;(3)(3)计算事件计算事件A A 包含样本点的个数包
10、含样本点的个数m m;(4)(4)由由P P(A A)=)=m m/n n 计算事件计算事件A A 的概率的概率。古典概型的概率计算步骤古典概型的概率计算步骤:基本记数原理基本记数原理 设有设有m m个试验,第个试验,第1 1个试验有个试验有n n种可能结果,种可能结果,对于第对于第i(2i n)i(2i n)次试验,前次试验,前i-1i-1个试验的个试验的每一种可能结果,都使第每一种可能结果,都使第i i个试验有个试验有n ni i种可种可能的结果,则能的结果,则m m个试验共有个试验共有 n n1 1n n2 2n nm m 种可能的结果种可能的结果排列与组合排列与组合2.2 2.2 古典
11、概型古典概型四四 古典概型的计算古典概型的计算2.2 2.2 古典概型古典概型四四 古典概型的计算古典概型的计算加法公式:加法公式:设完成一件事可有两种途径,第一种途设完成一件事可有两种途径,第一种途径有径有n n1 1种方法,第二种途径有种方法,第二种途径有n n2 2种方法,则完成这种方法,则完成这件事共有件事共有n n1 1+n+n2 2种方法。种方法。则从甲城市到乙城市一共有:则从甲城市到乙城市一共有:24=6 条线路条线路:2:4城市甲城市甲城市乙城市乙复习:排列与组合的基本概念复习:排列与组合的基本概念2.2 古典概型古典概型四四 古典概型的计算古典概型的计算乘法公式:乘法公式:设
12、完成一件事需分两步,第一步设完成一件事需分两步,第一步有有n n1 1种方法种方法,第二步有第二步有n n2 2种方法,则完成这件种方法,则完成这件事共有事共有n n1 1n n2 2种方法种方法n1n2:2:4:3城市甲城市甲城市乙城市乙乡村丙乡村丙 2 3从甲城市到丙乡村的线路从甲城市到丙乡村的线路一共有:一共有:(2+4+3)(2+3)条。条。2.2 2.2 古典概型古典概型四四 古典概型的计算古典概型的计算有重复排列有重复排列:从含有:从含有n n个元素的集合中随机抽个元素的集合中随机抽取取k k次,每次取一个,记录其结果后放回,将次,每次取一个,记录其结果后放回,将记录结果排成一列,
13、记录结果排成一列,共有共有n nk k种排列方式种排列方式.n n n n n nn n2.2 2.2 古典概型古典概型四四 古典概型的计算古典概型的计算无重复排列无重复排列:从含有:从含有n n个元素的集合中随机抽个元素的集合中随机抽取取k k 次,每次取一个,取后不放回,将所取元次,每次取一个,取后不放回,将所取元素排成一列,素排成一列,共有共有P Pn nk k=n(n-1)=n(n-1)(n-k+1)(n-k+1)种排列方式种排列方式.n n n-1n-1n-2n-2n-k+1n-k+12.2 古典概型古典概型四四 古典概型的计算古典概型的计算组合:组合:从含有从含有n n个元素的集合
14、中随机抽取个元素的集合中随机抽取k k 个,个,共有共有种取法种取法.例例1:1:在盒子中在盒子中有有3 3个白球,个白球,2 2个红球,现从中任个红球,现从中任抽抽2 2个个球,求球,求:(1):(1)取到两个球都是白的概率;取到两个球都是白的概率;(2)(2)取到一红一白的概率。取到一红一白的概率。解解:设设 A=A=取到两个球都是白的取到两个球都是白的 B=B=取到两球一白一红取到两球一白一红 基本事件总数为基本事件总数为 A A的有利事件数为的有利事件数为B B的有利事件数为的有利事件数为2.2 2.2 古典概型古典概型四四 古典概型的几类基本问题古典概型的几类基本问题1 1抽球问题抽
15、球问题例例2 2:设有批量为设有批量为100100的同型号产品,其中次品有的同型号产品,其中次品有3030件,件,现按以下两种方式随机抽取现按以下两种方式随机抽取2 2件产品件产品.(a)(a)有放回抽取;有放回抽取;(b)(b)无放回抽取无放回抽取.求求(1)(1)两件都是次品两件都是次品的概率;的概率;(2)(2)第第1 1件是次品,第件是次品,第2 2件是正品的概率件是正品的概率.解:解:设设 A=A=两件都是次品两件都是次品 B=B=第第1 1件是次品,第件是次品,第2 2件是正品件是正品 (a)(a)样本点总数为样本点总数为 n=100n=100100100 有利于有利于A A的样本
16、点数的样本点数 k kA A=30=303030 p(A)=k p(A)=kA A/n=0.09/n=0.09 有利于有利于B B的样本点数的样本点数 k kB B=30=307070 p(B)=k p(B)=kB B/n=0.21/n=0.212.2 2.2 古典概型古典概型四四 古典概型的几类基本问题古典概型的几类基本问题1 1抽球问题抽球问题(b)(b)样本点总数为样本点总数为 n=100n=1009999 有利于有利于A A的样本点数的样本点数 k kA A=30=302929 p(A)=k p(A)=kA A/n=0.088/n=0.088 有利于有利于B B的样本点数的样本点数 k
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