空间曲线地切线与-空间曲面地切平面.doc
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1、#*第六节第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面设空间的曲线 C 由参数方程的形式给出:, )()()(tzztyytxx),(t设,、为曲线上两点,),(,10tt)(),(),(000tztytxA)(),(),(111tztytxB的连线称为曲线C的割线,当时,若趋于一条直线,则此直线称为BA,ABAB AB 曲线C在点的切线A如果对于 的导数都连续且不全为零(即空间的曲线 C)()()(tzztyytxx,t为光滑曲线) ,则曲线在点切线是存在的因为割线的方程为A)()()( )()()( )()()
2、(010010010 tztztzz tytytyy txtxtxx 也可以写为001000100010 )()()( )()()( )()()(tttztztzztttytytyytttxtxtxx当时,割线的方向向量的极限为,此即为切线AB 0tt )(),(),(000tztytx的方向向量,所以切线方程为)()( )()( )()(000000 tztzz tytyy txtxx 过点且与切线垂直的平面称为空间的曲线 C 在点)(),(),(000tztytxA的法平面,法平面方程为)(),(),(000tztytxA0)()()(00 00 00zztzyytyxxtx如果空间的曲线
3、 C 由方程为)(),(xzzxyy且存在,则曲线在点的切线是)(),(0 0xzxy)(),(,(000xzxyxA)()( )()( 100000 xzxzz xyxyyxx 法平面方程为#*0)()()()()(00 00 0xzzxzxyyxyxx如果空间的曲线 C 表示为空间两曲面的交,由方程组 0),(0),(:zyxGzyxFc,确定时,假设在有,在某邻域内满足隐函),(000zyxA0),(),(AzyGFJ),(000zyxA数组存在定理条件,则由方程组在点附近能确定隐函数 0),(0),( zyxGzyxF,),(000zyxA)(),(xzzxyy有,。于是空间的曲线 C
4、 在)(),(0000xzzxyy),(),(1,),(),(1 xyGF Jdxdz zxGF Jdxdy 点的切线是),(000zyxAAAdxdzzzdxdyyyxx000 1即AAAyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),( ),(),( ),(),(000法平面方程为0)(),(),()(),(),()(),(),(000zzyxGFyyxzGFxxzyGFAAA类似地,如果在点有或时,我们得到的切线方),(000zyxA0),(),(AyxGF0),(),(AxzGF程和法平面方程有相同形式。 所以,当向量0),(),(,),(),(,),(),( AAAyxGF xzGF
5、zyGFr时,空间的曲线 C 在的切线的方向向量为),(000zyxAr例例 6.326.32 求曲线在点处的切线方程bzayax,sin,cosba , 0 ,#*解解 当时,曲线过点,曲线在此点的切线方向向量为ba , 0 ,,babaa, 0|,cos,sin所以曲线的切线方程为btzz atyytxx)()( 0)(000即 bbz ayax 0二、空间曲面的切平面与法线二、空间曲面的切平面与法线设曲面的一般方程为S0),(zyxF取为曲面上一点,设在的某邻域内具有连续),(0000zyxPS),(zyxF),(0000zyxP偏导数,且。设为曲面上过0),(),(),(0002 00
6、02 0002zyxFzyxFzyxFzyxcS的任意一条光滑曲线:),(0000zyxP)()()(:tzztyytxxc设,我们有)(),(),(000000tzztyytxx0)(),(),(tztytxF上式对 在求导得到t0tt 0)(),()(),()(),(0 0000 0000 000tzzyxFtyzyxFtxzyxFzyx因此,曲面上过的任意一条光滑曲线在点的切线都S),(0000zyxPc),(0000zyxP和向量),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx垂直,于是这些切线都在一个平面上,记为,平面就称为曲面在S的切平面,向量称为法向量。在的切
7、平面方程是),(0000zyxPnS),(0000zyxP0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx#*过点且与切平面垂直的直线称为曲面在点法线,它),(0000zyxPS),(0000zyxP的方程为),()( ),()( ),()(000000000000 zyxFzz zyxFyy zyxFxxzyx设曲面的方程为S0),(zyxF若在有连续偏导数且),(zyxFS,则称是光滑曲面。由上面讨论可0),(),(),(0002 0002 0002zyxFzyxFzyxFzyxS以知道光滑曲面有切平面和法线。若曲面的方程的表示形式为 ,这时,容
8、易得到在的切S),(yxfz S),(0000zyxP平面方程为0)()(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx法线方程为1)( ),()( ),()(0000000 zz yxfyy yxfxxyx我们知道,函数在点可微,则由 Taylor 公式知),(yxfz ),(00yx)()(0)(,()(,(),(),(2 02 000000000yyxxyyyxfxxyxfyxfyxfyx也就是说,函数在点附近可以用 在的切平面近似代),(yxfz ),(00yxS),(0000zyxP替,误差为的高阶无穷小。2 02 0)()(yyxx若曲面的方程表示为参数形式S),(),()
9、,(:vuzzvuyyvuxxS设,为曲面上一点。假设在),(),(),(000000000vuzzvuyyvuxx),(0000zyxP有,在某邻域内满足隐函数组存在定理条),(0000zyxP0),(),(0PvuyxJ),(0000zyxP件,则由方程组在点附近能确定隐函数(即和的逆映射) ),(),( vuyyvuxx,),(0000zyxPxy#*),(),(yxvvyxuu满足。于是,曲面可以表示为),(),(000000yxvvyxuuS),(),(),(yxvyxuzyxfz由方程组两边分别同时对求偏导得到 ),(),( vuyyvuxx,yx,),(),( ),(),(),(
10、),(,),(),(vuyxuxyvvuyxvxyuvuyxuyxvvuyxvyxu故,),(),(),(),(),(),(),(),(vuyxvuxzvzuzfvuyxvuzyvzuzfyvyuyxvxux所以, 在的切平面方程为S),(0000zyxP0)(),(),()(),(),()(),(),(0),(0),(0),(000000zzvuyxyyvuxzxxvuzyvuvuvu法线方程为),(0),(0),(0000000),(),( ),(),( ),(),(vuvuvuvuyxzzvuxzyyvuzyxx例例 6.336.33 求曲面在点的切平面和法线方程。zxyzln) 1 ,
11、 1 , 1 (解解 曲面方程为,易得0ln),(zzxyzyxF2, 1 , 1 n#*切面方程为0) 1(2) 1() 1(zyx即.02 zyx法线方程为21 11 11 zyx习题习题 6.61求曲线在点处的切线和法平面方taztaaytaaxsin,cossin,coscos0tt 程2求曲线在点处的切线和法平面方程 06222zyxzyx) 1 , 2, 1 ( 3求曲面在点的切平面和法线方程。xyzarctan)4/, 1 , 1 (4。证明曲面上任意一点的切平面与坐标面形成的四面体体积为定值。)0(3aaxyz5证明曲面上任意一点的切平面过一定点。)(xyxfz #*第七节第七
12、节 极值和最值问题极值和最值问题一、无条件极值一、无条件极值 与一元函数极值类似,我们可以引入多元函数的极值概念。定义定义 6.3 元函数在点的一个邻域内n),(21nxxxf),(00 20 10nxxxP)(0PUnR有定义。若对任何点,有)(),(021PUxxxPn或())()(0PfPf)()(0PfPf则称元函数在取得极大(或极小)值, n),(21nxxxf),(00 20 10nxxxP称为函数的极大(或极小)值点。极大值和极小值统称),(00 20 10nxxxP),(21nxxxf为极值,极大值点和极小值点统称为极值点。类似一元函数,我们称使得元函数的各个一阶偏导数同时为零
13、的点n),(21nxxxf为驻点。我们有如下定理。定理定理 6.28 若为元函数的极值点,且),(00 20 10nxxxPn),(21nxxxf#*在的一阶偏导数存在,则为元函数),(21nxxxf),(00 20 10nxxxP),(00 20 10nxxxPn的驻点。),(21nxxxf证证 考虑一元函数,则是的极值点,)2 , 1)(,()(00 1nixxxfxniiix)(ixFermat 马定理告诉我们,可导函数在极值点的导数是零,于是0),()(00 1nixixxxfx i和一元函数类似,反过来,驻点不一定是极值点。而偏导数不存在的点也有可能是极 值点。 判断多元函数的极值点
14、要比一元函数复杂的多,下面我们仅对二元函数不加证明给出 一个判别定理。定理定理 6.29 若为二元函数的驻点,且在的一个),(000yxP),(yxf),(yxf),(000yxP邻域中有二阶连续偏导数。令)(0PU2R),(),(),(000000yxfCyxfByxfAyyxyxx,2BACCBBAQ则(1)当时,若,在取极小值;若,0Q0A),(yxf),(000yxP0A),(yxf在取极大值;),(000yxP(2)当时,在不取极值;0Q),(yxf),(000yxP(3)当时,在可能取极值,也可能不取极值。0Q),(yxf),(000yxP例例 6.34 求函数的极值。)6(32y
15、xyxz解解 解方程组 0)4318(0)2312(223yxyxyzyxxyxz#*得驻点为及直线上的点。)3 , 2(0P0, 0yx对点有,于是函数在)3 , 2(0P0,144,108,1622BACCBAz)3 , 2(0P取积大值。108)(0Pz容易判断,满足条件的点为函数的极小值点,极小值为 0;满足条件的 600 yxz和的点为函数的极大值点,极大值为 0。 00 yx 60 yxz一、一、最值问题最值问题 在社会生产各个领域我们都会遇上最值问题,即如何用最小的成本获取最大利益的问 题,这些问题一般都可以归结为求某一函数在某一范围内的最大值和最小值的问题。 我们称使得函数取得
16、最大值和最小值的点为函数的最大值点和最小值点,统称为最值 点;函数的最大值和最小值统称为最值。1、 一元函数设是定义在闭区间上的连续函数,则在上一定有最大值和)(xfy ,ba)(xf,ba最小值。区间的两个端点和可能成为其最值点,而如果最值点在开区间取得的话,ab),(ba则一定是的极值点,即是的驻点或是使导数不存在的点。假设的所)(xf)(xf)(xf)(xf有驻点是,使导数不存在的点是,那么11 21 1,kxxx)(xf22 22 1,mxxx)(),(),(),(),(),(min,| )(min)(),(),(),(),(),(max,| )(max22 111 122 111 1
17、mkmk xfxfxfxfbfafbaxxfxfxfxfxfbfafbaxxf 例例 6.35 求抛物线上与最近的点。xy22)4 , 1 (解解 设是抛物线上的点,则与的距离是),(yxxy22),(yx)4 , 1 (22222)4() 121()4() 1(yyyxd#*考虑函数,由,得到唯一驻点,于是抛物线上与2)(dyf0)(yf2yxy22最近的点是)4 , 1 ()2 , 2(2、多元函数类似一元函数,元函数的最值问题就是求在某个n),(21nxxxf),(21nxxxf区域上的最大值和最小值,我们只需求出在内部的所有极值DnR),(21nxxxfD和边界上最值,从中比较就可以选
18、出在上的最值。),(21nxxxfD例例 6.36 求平面与点的最短距离。42zyx)2, 0 , 1 (解解 设是平面上的点,则与的距离是),(zyx42zyx),(zyx)2, 0 , 1 (222222)6() 121()2() 1(yxyzyxd考虑函数,由,得到唯一驻点,于是平面2),(dyxf0, 0yxff)3/5 , 6/11(与点的最短距离是42zyx)2, 0 , 1 (665)3/5 , 6/11(d三、条件极值问题和三、条件极值问题和 LagrangeLagrange 乘子法乘子法前面我们研究的极值和最值问题都是直接给出一个目标函数元函数,n),(21nxxxf然后求其
19、极值或最值,是无条件极值问题,但是,更多的极值和最值问题是有约束条件的, 即条件极值问题。一般来说,条件极值问题是指:求目标函数元函数n),(21nxxxfy在一组约束条件下的极值。 )( ,0),(0),(0),(21212211nmxxxGxxxGxxxGnmnn我们可以尝试对上面方程组用消元法解出个变量,从而转化为上一节的无条件极值m 问题来解决,但是,消元法往往比较困难甚至是不可能的,所以,我们需要给出一种新的 方法来求条件极值。下面我们介绍拉格朗日乘子法。我们以二元函数为例来说明,即:求目标函数在一个约束条件限制下的极值问题。),(yxfz 0),(yxF假设点为函数在条件下的极值点
20、,且),(000yxP),(yxfz 0),(yxF#*满足隐函数存在定理的条件,确定隐函数,则是一元函数0),(yxF)(xgy 0xx 的极值点。于是)(,(xgxfz 0)(),(),(0 0000xgyxfyxfyx由隐函数存在定理得到0),(),(),(),(00000000yxFyxfyxFyxfxyyx令,于是极值点需要满足三个条件:),(),(0000 yxFyxfyy),(000yxP0),(0),(),(0),(),(0000000000yxFyxFyxfyxFyxfyyxx 因此,如果我们构造拉格朗日函数),(),(),(yxFyxfyxL其中,称为拉格朗日乘子,则上面三
21、个条件就是0),(),(0),(),(),(0),(),(),(0000000000000000yxFyxLyxFyxfyxLyxFyxfyxLyyyxxx也就是说我们讨论的条件极值问题转化为拉格朗日函数的无条件极值问题。用这种方法去 求可能的极值点的方法,称为拉格朗日乘子法。类似地,求目标函数元函数n),(21nxxxfy在一组约束条件下的极值时,我们可以构造相应的拉格朗 )( ,0),(0),(0),(21212211nmxxxGxxxGxxxGnmnn日函数为 miniinmnxxxGxxxfxxxL121212121),(),(),(于是,所求条件极值点满足方程组#*0),(0),(2
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