第6无限脉冲响应滤波器的设计.ppt
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1、第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计第6无限脉冲响应滤波器的设计 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计6.1数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念数数字字滤滤波波器器指指用用运运算算的的方方法法改改变变数数字字信信号号的的频频率率分分量量的的相相对对比比例例的的器器件件。与与模模拟拟滤滤波波器器相相比比,数数字字滤滤波波器器的的精精度度高高、稳稳定定、体体积积小小、重重
2、量量轻轻、灵灵活活、不不要要求阻抗匹配?求阻抗匹配?等优点。等优点。1.数字滤波器的分类数字滤波器的分类从网络结构或者单位脉冲响应分类:从网络结构或者单位脉冲响应分类:无限脉冲响应无限脉冲响应(IIR)滤波器滤波器有限脉冲响应有限脉冲响应(FIR)滤波器滤波器第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计从功能上来分类:从功能上来分类:低通滤波器低通滤波器高通滤波器高通滤波器带通滤波器带通滤波器带阻滤波器带阻滤波器第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 2数字滤波器的技术要求数字滤波器的技术要求 假设数字滤波器的传输函数假设数字滤波器的传输函数H(eH(ej
3、j)用下式表示:用下式表示:选频滤波器的技术指标只要求幅频特性。选频滤波器的技术指标只要求幅频特性。线性相位滤波器的技术指标则两样都要求。线性相位滤波器的技术指标则两样都要求。图图6.1.2低通滤波器的技术要求低通滤波器的技术要求第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计通通带带和和阻阻带带内内都都允允许许有有衰衰减减误误差差。允允许许的的衰衰减减用用dB数数表表示示。通通带带内内允允许许的的最最大大衰衰减减用用p表表示示,阻阻带带内内允许的最小衰减用允许的最小衰减用s表示。表示。p和和s分别定义为:分别定义为:(6.1.3)(6.1.4)如如将将|H(ej0)|归归一一化化
4、为为1,(6.1.3)和和(6.1.4)式式则则表表示成:示成:(6.1.5)(6.1.6)第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计3.数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法IIR滤波器设计方法是:滤波器设计方法是:从模拟滤波器变到数字滤波器的设计,从模拟滤波器变到数字滤波器的设计,直接在离散频域或时域中设计。直接在离散频域或时域中设计。FIR滤波器的设计方法是:滤波器的设计方法是:窗函数法,窗函数法,频率采样法。频率采样法。第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计6.2模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计模模拟拟滤滤波波器器的的理理论论和和设设计计方方法
5、法已已发发展展得得相相当当成成熟熟,有有若若干干典典型型的的模模拟拟滤滤波波器器供供我我们们选选择择,如如巴巴特特沃沃斯斯(Butterworth)滤滤波波器器、切切比比雪雪夫夫(Chebyshev)滤滤波波器器、椭椭圆圆(Ellipse)滤滤波波器器、贝贝塞塞尔尔(Bessel)滤滤波波器器等等,这这些些滤滤波波器器都都有有严严格格的的设设计计公公式式、现现成成的的曲曲线线和和图图表表供供设计人员使用。设计人员使用。设设计计模模拟拟滤滤波波器器是是先先设设计计低低通通滤滤波波器器,再再把把低低通通滤波器变换为希望的滤波器。滤波器变换为希望的滤波器。第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲
6、响应滤波器的设计图图6.2.1各种理想滤波器的幅频特性各种理想滤波器的幅频特性第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计1.模拟低通滤波器的指标和设计方法模拟低通滤波器的指标和设计方法模模拟拟低低通通滤滤波波器器的的设设计计指指标标有有p,p,s和和s。其其中中p和和s分分别别称称为为通通带带截截止止频频率率和和阻阻带带截截止止频频率率,p是是通通带带(=0p)中中的的最最大大衰衰减减系系数数,s是是阻阻带带s的的最最小小衰衰减减系系数数,p和和s一一般般用用dB数数表表示示。对对于于单单调调下下降的幅度特性,可表示成:降的幅度特性,可表示成:第六章第六章无限脉冲响应滤波器的
7、设计无限脉冲响应滤波器的设计以以上上技技术术指指标标用用低低通通滤滤波波器器的的幅幅度度特特性性图图表表示示。图图中中c称为称为3dB截止频率截止频率?第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计模拟低通滤波器的设计方法是:模拟低通滤波器的设计方法是:(1)根根据据滤滤波波器器的的技技术术指指标标设设计计传传输输函函数数Ha(s)的的幅幅度度平方函数,它与系统函数有关系平方函数,它与系统函数有关系上式的关系从上式的关系从Ha(s)的因式相乘表达式推出。的因式相乘表达式推出。(2)根根据据幅幅度度平平方方函函数数和和系系统统的的极极点点应应该该在在s的的左左半半平平面面,求出传递
8、函数。求出传递函数。第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴巴特特沃沃斯斯低低通通滤滤波波器器的的幅幅度度平平方方函函数数用用下下式式和和图图表表示示。想一想阶数想一想阶数N与幅频特性下降坡度的关系?与幅频特性下降坡度的关系?第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计为了求出幅度平方函数,将为了求出幅度平方函数,将|Ha(j)|2写成写成s的函的函数:数:此幅度平方函数有此幅度平方函数有2N个极点,极点个极点,极点它们均匀的分布在半径为它们均匀的分布在半径为c的圆上,间隔是的圆上,间隔是/N弧度
9、。弧度。第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计例如例如N=3的三阶巴特沃斯滤波器,为形成稳定的滤波器,的三阶巴特沃斯滤波器,为形成稳定的滤波器,在在6个极点中取个极点中取s平面左半平面的平面左半平面的3个极点构成个极点构成Ha(s),而右,而右半平面的半平面的3个极点构成个极点构成Ha(-s)。三阶巴特沃斯滤波器的极点三阶巴特沃斯滤波器的极点分布如下:分布如下:第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计如此可得到系统函数如此可得到系统函数第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计由由于于各各滤滤波波器器的的幅幅频频特特性性不不同同,为为
10、使使设设计计统统一一,将将所所有有的的频频率率归归一一化化。这这里里采采用用对对3dB截截止止频频率率c归归一化,归一化后的一化,归一化后的Ha(s)表示为表示为式中,式中,s/c=j/c。令令=/c,称称为为归归一一化化频频率率;令令p=j,p称称为为归归一化复变量,这样归一化巴特沃斯的传输函数为一化复变量,这样归一化巴特沃斯的传输函数为(6.2.10)(6.2.11)第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计式中,式中,pk为归一化极点,用下式表示:为归一化极点,用下式表示:这样设计巴特沃斯滤波器的步骤是:这样设计巴特沃斯滤波器的步骤是:a.根据技术指标确定阶数根据技术指
11、标确定阶数N,b.求出归一化极点求出归一化极点pk,c.求出归一化传递函数求出归一化传递函数Ha(p),d.用用c去归一化到实际传递函数去归一化到实际传递函数Ha(s)。第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计从技术指标推出从技术指标推出N和和c:用上式求出的用上式求出的N可能有小数部分,应取大于等于可能有小数部分,应取大于等于N的最的最小整数小整数?。当当阻带指标有富裕阻带指标有富裕当当通带指标有富裕通带指标有富裕第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计如果将极点代入传递函数的因式分解式,可以得到如果将极点代入传递函数的因式分解式,可以得到的的Ha(p
12、)的多项式表达式。的多项式表达式。早有科学家把两种传递函数形式的系数列成表格,早有科学家把两种传递函数形式的系数列成表格,供我们设计时查找。供我们设计时查找。参阅书上参阅书上157158页。页。第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计归纳起来,低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下:归纳起来,低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下:(1)根根据据技技术术指指标标p、p、s和和s,求求出出滤滤波波器器的的阶阶数数N。(2)计算或者查表求出归一化传输函数计算或者查表求出归一化传输函数Ha(p)。(3)用用p=s/c代代入入Ha(p),得得到到实实际际的的滤滤波波器器传传输输函函数数Ha(s
13、)。第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数 第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计例例6.2.1已已知知通通带带截截止止频频率率fp=5kHz,通通带带最最大大衰衰减减p=2dB,阻阻 带带 截截 止止 频频 率率 fs=12kHz,阻阻 带带 最最 小小 衰衰 减减s=30dB。请请按按照照以以上上技技术术指指标标设设计计巴巴特特沃沃斯斯低低通通滤滤波波器。器。解:解:(1)确定阶数确定阶
14、数N。第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计(2)有两种方法。有两种方法。法一:按照法一:按照(6.2.12)式计算出极点式计算出极点带入带入(6.2.11)式,得到归一化传输函数式,得到归一化传输函数第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 法二:直接查表法二:直接查表6.2.1的的N=5,得到三种结果:,得到三种结果:极点是极点是-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878,-1.0000。系统函数的多项式形式系统函数的多项式形式系统函数的因式分解形式系统函数的因式分解形式第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计(
15、3)Ha(p)去归一化。先求去归一化。先求3dB截止频率截止频率c。如果希望阻带指标有富裕,则如果希望阻带指标有富裕,则将将p=s/c代入代入Ha(p)中得到:中得到:第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计用用MATLAB来设计该题,通带指标有富裕。来设计该题,通带指标有富裕。clear;closeall;fp=5000;fs=12000;rp=2;rs=30;n,fc=buttord(fp,fs,rp,rs,s);%求阶数和半功率点求阶数和半功率点频率频率b,a=butter(n,fc,s);%求系统函数的分子分母系数求系统函数的分子分母系数hf,f=freqs(b,a
16、);%求系统函数的频谱求系统函数的频谱plot(f,abs(hf);xlabel(f/Hz);ylabel(|H(f)|);axis(0,1.2e4,0,1.2);gridshg第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计3.切比雪夫滤波器的设计方法切比雪夫滤波器的设计方法图图6.2.5分分别别画画出出阶阶数数N=3和和N=4的的切切比比雪雪夫夫型型滤滤波器幅频特性。波器幅频特性。图图6.2.5切比雪夫切比雪夫型滤波器幅频特性型滤波器幅频特性第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计其幅度平方函数用其幅度平方函数用A2()表示:表示:式中,式中,为小于为小于1
17、的正数,表示通带内幅度波动的程度。的正数,表示通带内幅度波动的程度。愈大,波动幅度也愈大。愈大,波动幅度也愈大。p称为通带截止频率。令称为通带截止频率。令=/p,称为对,称为对p的归一化频率。的归一化频率。CN(x)称为称为N阶切比雪夫阶切比雪夫多项式,定义为多项式,定义为第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计图图6.2.6示出了阶数示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性。时的切比雪夫多项式特性。由图可见:由图可见:(1)切比雪夫多项式的过零点在切比雪夫多项式的过零点在|x|1的范围内;的范围内;(2)当当|x|1时时,|CN(x)|1,在在|x|1时,时,CN(
18、x)是双曲线函数,随是双曲线函数,随x单调上升。单调上升。第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计图图6.2.6N=0,4,5切比雪夫多项式曲线切比雪夫多项式曲线第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计平平方方幅幅度度函函数数与与三三个个参参数数、p和和N有有关关。其其中中与与通通带带内内允允许许的的波波动动大大小小有有关关,定定义义允允许许的的通通带带波波纹纹用下式表示:用下式表示:因此因此第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计图图6.2.7切比雪夫切比雪夫型与巴特沃斯低通的型与巴特沃斯低通的A2()曲线曲线第六章第六章无限脉冲响
19、应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计当当频频率率为为s时时,切切比比雪雪夫夫型型滤滤波波器器的的幅幅度度平平方方函数函数A2(s)为为由此解出由此解出 第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计当当频频率率为为c时时,切切比比雪雪夫夫型型滤滤波波器器的的幅幅度度平平方方函数函数A2(s)为为1/2,由此解出,由此解出以以上上p、和和N确确定定后后,可可以以求求出出滤滤波波器器的的极极点点,并并确确定定Ha(p),p=s/p。求求解解的的过过程程是是很很复复杂杂的的。下下面面仅介绍一些有用的结果。仅介绍一些有用的结果。设设切切比比雪雪夫夫滤滤波波器器Ha(s)的的极极点点为为
20、si=i+ji,极极点点的实部和虚部是的实部和虚部是第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计可以看出,极点的实部和虚部的关系是椭圆方程,可以看出,极点的实部和虚部的关系是椭圆方程,式式中中的的psh是是短短半半轴轴(在在实实轴轴上上),pch是是长长半半轴轴(在在虚轴上虚轴上)。因此切比雪夫滤波器的极点分布在这个椭圆上。因此切比雪夫滤波器的极点分布在这个椭圆上。第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计设设N=3,三阶切比雪夫滤波器的极点分布如下。,三阶切比雪夫滤波器的极点分布如下。第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计为了稳定,用左
21、半平面的极点构成系统函数为了稳定,用左半平面的极点构成系统函数Ha(p),即,即式式中中c是是待待定定系系数数。根根据据切切比比雪雪夫夫滤滤波波器器的的幅幅度度平平方方函函数用力推导,数用力推导,c=2N-1,所以归一化的传输函数为,所以归一化的传输函数为去归一化后的传输函数为去归一化后的传输函数为第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计按照以上分析,设计切比雪夫按照以上分析,设计切比雪夫型滤波器的步骤是:型滤波器的步骤是:(1)根据技术要求)根据技术要求p、p、s和和s确定确定N和和。(2)求滤波器的极点,写出归一化系统函数。)求滤波器的极点,写出归一化系统函数。第六章第
22、六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计(3)将)将Ha(p)去归一化得到实际的去归一化得到实际的Ha(s)。第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 例例6.2.2设设计计低低通通切切比比雪雪夫夫滤滤波波器器。要要求求通通带带截截止止频频率率fp=3kHz,通通带带最最大大衰衰减减p=0.1dB,阻阻带带截截止止频频率率fs=12kHz,阻带最小衰减,阻带最小衰减s=60dB。解解 (1)根据技术要求根据技术要求p、p、s和和s确定确定N和和。第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计 (2)求滤波器的极点,写出归一化系统函数。求滤波器的极点
23、,写出归一化系统函数。取N=5,算出极点pi,得到归一化系统函数归一化系统函数:(3)将)将Ha(p)去归一化得到实际的去归一化得到实际的Ha(s)。第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计用用MATLAB解决这个复杂的题:解决这个复杂的题:clear;closeall;fp=3e3;fs=12e3;rp=0.1;rs=60;n,fc=cheb1ord(fp,fs,rp,rs,s)%求阶数和通带频率求阶数和通带频率b,a=cheby1(n,rp,fc,s)%求系统函数的系数求系统函数的系数hf,f=freqs(b,a);%求系统函数的频谱求系统函数的频谱plot(f,abs
24、(hf);xlabel(f/Hz);ylabel(|H(f)|);grid第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计4.模拟高通、带通、带阻滤波器的设计模拟高通、带通、带阻滤波器的设计模模拟拟高高通通、带带通通、带带阻阻滤滤波波器器的的传传输输函函数数可可以以由由低通滤波器的传输函数通过频率变换求得。低通滤波器的传输函数通过频率变换求得。为为了了防防止止频频率率变变换换时时引引起起符符号号混混淆淆,先先规规定定符符号号如下:如下:低低通通滤滤波波器器的的传传递递函函数数用用G(s)表表示示,s=j;归归一一化频率为化频率为,p=j称为归一化拉氏复变量。称为归一化拉氏复变量。想
25、想要要的的滤滤波波器器的的传传递递函函数数用用H(s)表表示示,s=j;归归一化频率为一化频率为,q=j称为归一化拉氏复变量。称为归一化拉氏复变量。第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计(1)设计模拟高通滤波器设计模拟高通滤波器低通滤波器和高通滤波低通滤波器和高通滤波器的幅频特性如左图所示。器的幅频特性如左图所示。低通的低通的从从0到到时的时的特性对应高通的特性对应高通的从从到到0时的特性,所以时的特性,所以和和之间之间的关系为的关系为它是低通和高通转换的依据,例如:它是低通和高通转换的依据,例如:第六章第六章无限脉冲响应滤波器的设计无限脉冲响应滤波器的设计模拟高通滤波器
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