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1、背景背景(bijng)随着人类文明的不断发展,卫生设施的改善和医疗水平的提高,以前曾经肆虐全球的一些传染性疾病已经得到了有效的控制,但是,伴随着经济的增长,一些新的传染性疾病,如2003年时曾给世界人民带来深重灾难的SARS病毒和如今依然在世界范围蔓延的艾滋病毒,仍在危害着全人类的健康.长期以来,建立传染病模型来描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮的到来等,一直(yzh)是各国专家学者关注的课题.传染病模型传染病模型(mxng)(mxng)第一页,共37页。1、问题、问题(wnt)的提出的提出描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律分析受感染人
2、数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻预防预防(yfng)(yfng)传染病蔓延的手段传染病蔓延的手段按照传播过程的一般规律,用机理分析方法按照传播过程的一般规律,用机理分析方法建立模型建立模型第二页,共37页。已感染已感染(gnrn)人数人数(病病人人)i(t)每个病人每天有效每个病人每天有效(yuxio)接触接触(足以使人足以使人致病致病)人数为人数为分析分析(fnx(fnx)假设假设若有效接触的是病人,若有效接触的是病人,则不能使病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模?第三页,共37页。4
3、.1 模型模型SI模型模型1.模型的假设条件模型的假设条件SI模型有下面两个假设条件:模型有下面两个假设条件:(1)人群分为易感染者人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者和已感染者(Infective)两类两类(取两个单词的第一个字母,称之为取两个单词的第一个字母,称之为SI模模型型).以下简称为健康者和病人,以下简称为健康者和病人,t时刻这两类人在总人数时刻这两类人在总人数中所占的比例分别记作中所占的比例分别记作s(t)和和i(t).(2)每个病人每天有效每个病人每天有效(yuxio)接触的平均人数是常接触的平均人数是常数数,称为日接触率,当病人与健康者有效称为日接触率,当病人
4、与健康者有效(yuxio)接接触时,使健康者受感染变为病人触时,使健康者受感染变为病人.第四页,共37页。2.模型的建立与求解根据假设,总人数为N,每个病人每天可使s(t)个健康者变为病人,因为病人人数为Ni(t),所以(suy)每天共有Ns(t)i(t)个健康者被感染,于是Ns(t)i(t)就是病人数Ni(t)的增加率,即有(4.1)又因为s(t)i(t)1(4.2)第五页,共37页。再记初始时刻(shk)(t0)病人的比例为i0,则有(4.3)方程(4.3)是Logistic模型,它的解为(4.4)i(t)t和的图形如图4-1所示.第六页,共37页。图4-1第七页,共37页。3.3.模型的
5、分析讨论模型的分析讨论(toln)(toln)由式由式(4.3)(4.3)、(4.4)(4.4)及图及图4-14-1可知可知:(1)(1)当当时,时,达到最大值达到最大值,这个时刻,这个时刻为为(4.5)(4.5)这时病人人数增加得最快,预示着传染病高潮的到这时病人人数增加得最快,预示着传染病高潮的到来,是医疗卫生部门关注的时刻来,是医疗卫生部门关注的时刻.tm.tm与与成反比,因为成反比,因为日接触率日接触率表示该地区的卫生水平,表示该地区的卫生水平,越小卫生水平越越小卫生水平越高,所以改善保健设施,提高卫生水平可以推迟传染病高,所以改善保健设施,提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来高潮的到
6、来.第八页,共37页。(2)(2)当当tt时,时,i1i1,即所有人终将被感染,全变,即所有人终将被感染,全变为病人为病人(bngrn)(bngrn),这显然不符合实际情况,其原因是,这显然不符合实际情况,其原因是模型中没有考虑到病人模型中没有考虑到病人(bngrn)(bngrn)可以治愈可以治愈.为了修正上述结果必须重新考虑模型的假设为了修正上述结果必须重新考虑模型的假设.下面下面两个模型中我们讨论病人两个模型中我们讨论病人(bngrn)(bngrn)可以治愈的情况可以治愈的情况.第九页,共37页。4.2 模型模型SIS模型模型有些传染病如伤风、痢疾有些传染病如伤风、痢疾(l ji)等愈后免
7、疫力等愈后免疫力很低,可以假定无免疫性,于是病人被治愈后变为很低,可以假定无免疫性,于是病人被治愈后变为健康者,健康者还可以再被感染变为病人,我们就健康者,健康者还可以再被感染变为病人,我们就这种情况建立的模型称为这种情况建立的模型称为SIS模型模型.第十页,共37页。1.1.模型的假设模型的假设SISSIS模型的假设条件模型的假设条件(1)(1)、(2)(2)与与SISI模型的假设相模型的假设相同,增加的条件同,增加的条件(即条件即条件(3)(3)为为:(3)(3)病人每天被治愈的占病人总数的比例为病人每天被治愈的占病人总数的比例为,称为称为(chn wi)(chn wi)日治愈率,病人治愈
8、后成为仍可被日治愈率,病人治愈后成为仍可被感染的健康者,则感染的健康者,则是这种传染病的平均传染期是这种传染病的平均传染期.第十一页,共37页。2.2.模型的建立与求解模型的建立与求解考虑到假设考虑到假设(3)(3),SISI模型的式模型的式(4.1)(4.1)应修正为:应修正为:(4.6)(4.6)式式(4.2)(4.2)不变,于是不变,于是(ysh)(ysh)式式(4.3)(4.3)应改为:应改为:(4.7)(4.7)第十二页,共37页。方程方程(fngchng)(4.7)的解可表示为:的解可表示为:(4.8)第十三页,共37页。3.3.模型的分析讨论模型的分析讨论定义定义(4.9)(4.
9、9)注意到注意到和和 的含义可知的含义可知(k zh)(k zh),是一个传染是一个传染期内每个病人的有效接触的平均人数,称接触数,由式期内每个病人的有效接触的平均人数,称接触数,由式(4.8)(4.8)和和(4.9)(4.9)容易得到,当容易得到,当tt时,时,(4.10)(4.10)第十四页,共37页。根据根据(gnj)(gnj)式式(4.8)(4.10)(4.8)(4.10)可以画出可以画出i(t)ti(t)t的的图形如图图形如图4-24-2所示所示.接触数接触数1 1是一个阈值,当是一个阈值,当11时病人比例时病人比例i(t)i(t)越来越小,最终趋于零,这是由于传染期内经有越来越小,
10、最终趋于零,这是由于传染期内经有效接触从而使健康者变为病人的人数不超过原来病人效接触从而使健康者变为病人的人数不超过原来病人人数的缘故;当人数的缘故;当11时,时,i(t)i(t)的增减性取决于的增减性取决于i(0)i(0)的的大小,但其极限值大小,但其极限值i()i()1 111随随的增加而增加的增加而增加.SISI模型可视为本模型的特例模型可视为本模型的特例.第十五页,共37页。图 4-2第十六页,共37页。4.3 4.3 模型模型SIRSIR模型模型1.1.模型的假设模型的假设大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力,所以治愈
11、后的人既非健康者后均有很强的免疫力,所以治愈后的人既非健康者(易感染者易感染者)也不是病人也不是病人(已感染者已感染者),他们已经退出传,他们已经退出传染系统染系统.这种情况这种情况(qngkung)(qngkung)下的模型假设条件为:下的模型假设条件为:(1)(1)人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed)(Removed)三种,称三种,称SIRSIR模型模型.三类人在总人数三类人在总人数N N中所占中所占的比例分别为的比例分别为s(t)s(t)、i(t)i(t)和和r(t)r(t);(2)(2)病人的日接触率为病人的日接触率为,日治愈率
12、为,日治愈率为,/./.第十七页,共37页。2.2.模型的建立与求解模型的建立与求解由条件由条件(1)(1),有,有s(t)s(t)i(t)i(t)r(t)r(t)1 1(4.11)(4.11)根据条件根据条件(2)(2),方程,方程(4.6)(4.6)仍成立仍成立.对于病愈免疫对于病愈免疫(miny)(miny)的移出者而言,应有的移出者而言,应有(4.12)(4.12)再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0(0)s0(0)和和i0(0)(i0(0)(不妨设移出者的初始值不妨设移出者的初始值r0r00)0),则,则由式由式(4.6)(4.6)、(4.
13、11)(4.11)和和(4.12)(4.12),SIRSIR模型的方程可以模型的方程可以写为:写为:第十八页,共37页。(4.13)方程方程(fngchng)(4.13)无法求出无法求出s(t)和和i(t)的解析的解析解,我们转到相平面解,我们转到相平面si上来讨论解的性质上来讨论解的性质.相轨线的定相轨线的定义域义域(s,i)D应为:应为:D(s,i)|s0,i0,si1(4.14)第十九页,共37页。在方程在方程(4.13)(4.13)中消去中消去dtdt,并利用,并利用(lyng)(lyng)式式(4.9)(4.9),可得可得(4.15)(4.15)容易求出方程容易求出方程(4.15)(
14、4.15)的解为:的解为:(4.16)(4.16)则在定义域则在定义域D D内,相轨线如图内,相轨线如图4-34-3所示所示.图中箭头表示图中箭头表示了随着时间了随着时间t t的增加的增加s(t)s(t)和和i(t)i(t)的变化趋向的变化趋向.第二十页,共37页。图 4-3第二十一页,共37页。3.3.模型的分析讨论模型的分析讨论(toln)(toln)下面根据式下面根据式(4.13)(4.13)、(4.16)(4.16)和图和图4-34-3分析分析tt时时s(t)s(t)、i(t)i(t)和和r(t)r(t)的变化情况的变化情况(它们的极限值分别记它们的极限值分别记作作ss,ii和和r).
15、r).(1)(1)首先,由式首先,由式(5.4.13)(5.4.13),而,而s(t)0s(t)0,故,故ss存在;由式存在;由式(5.4.12)(5.4.12)知,知,而,而r(t)1r(t)1,故,故rr存存在;再由式在;再由式(5.4.11)(5.4.11)知知ii存在存在.第二十二页,共37页。其次,若其次,若ii00,则由式,则由式(4.12)(4.12),对于充分大的,对于充分大的t t,有,有 ,这将导致,这将导致rr,与,与rr存在相矛盾存在相矛盾.故不论故不论(bln)(bln)初始条件初始条件s0s0,i0i0如何,病人终将消失,即如何,病人终将消失,即ii0 0(4.17
16、)(4.17)从图从图4-34-3上看,不论上看,不论(bln)(bln)相轨线从相轨线从p1p1或从或从p2p2出发,出发,它终将与它终将与s s轴相交轴相交.第二十三页,共37页。(2)(2)最终最终(zu zhn)(zu zhn)未被感染的健康者比例是未被感染的健康者比例是ss,在式,在式(4.16)(4.16)中令中令i i0 0,得到,得到ss是方程是方程(4.18)(4.18)在在 内的单根,在图内的单根,在图4-34-3中中ss是相轨线是相轨线与与s s轴在轴在 内交点的横坐标内交点的横坐标.第二十四页,共37页。(3)(3)若若,则,则i(t)i(t)先增加,当先增加,当时,时
17、,i(t)i(t)达到最大值达到最大值然后然后(rnhu)i(t)(rnhu)i(t)减小且趋于零,减小且趋于零,s(t)s(t)则单调减小则单调减小至至s.s.第二十五页,共37页。(4)(4)若若,则,则i(t)i(t)减小且趋于零,减小且趋于零,s(t)s(t)则单则单调减小至调减小至s.s.可以看出,如果仅当病人比例可以看出,如果仅当病人比例i(t)i(t)有一段增长的有一段增长的时期才认为传染病在蔓延,那么时期才认为传染病在蔓延,那么 是一个阈值,是一个阈值,当当时传染病就会蔓延时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数而减小传染期接触数,即提高阈值,即提高阈值 ,使得,使得 ,传染病就不
18、会蔓,传染病就不会蔓延延(健康者比例的初始值健康者比例的初始值s0s0是一定的,通常可认为是一定的,通常可认为s01)s01),我们注意到在,我们注意到在 中,人们中,人们(rn men)(rn men)的卫生水的卫生水平越高,日接触率平越高,日接触率越小,医疗水平越高,日治愈率越小,医疗水平越高,日治愈率越大,于是越大,于是越小,所以提高卫生水平和医疗水平越小,所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延有助于控制传染病的蔓延.第二十六页,共37页。从另一方面看,从另一方面看,是传染期内一个病人是传染期内一个病人传染的健康者的平均数,称为交换数,其含义是一传染的健康者的平均数,称为交换数
19、,其含义是一个病人被个病人被ss个健康者交换个健康者交换.所以当所以当 ,即,即s01s01时,必有时,必有s1.s1.既然交换数不超过既然交换数不超过(chogu)1(chogu)1,病,病人比例人比例i(t)i(t)绝不会增加,传染病就不会蔓延绝不会增加,传染病就不会蔓延.第二十七页,共37页。我们看到在我们看到在SIRSIR模型中接触数模型中接触数是一个重要参数是一个重要参数(cnsh).(cnsh).可以由实际数据估计,因为病人比例的可以由实际数据估计,因为病人比例的初始值初始值i0i0通常很小,在式通常很小,在式(4.18)(4.18)中略去中略去i0i0可得可得(4.19)(4.1
20、9)于是当传染病结束而获得于是当传染病结束而获得s0s0和和ss以后,由式以后,由式(4.19)(4.19)能算出能算出.另外,对血样作免疫检验也可以根另外,对血样作免疫检验也可以根据对检验无反应和有反应,估计出据对检验无反应和有反应,估计出s0s0和和ss,然后计,然后计算算.第二十八页,共37页。4.4.模型验证模型验证本世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有本世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了病人都死亡了.死亡相当于移出传染系统,有关部门死亡相当于移出传染系统,有关部门记录了每天移出者的人数,依此实际数据,记录了每天移出者的人数,依此实际数据,KermackKerma
21、ck等人用这组数据对等人用这组数据对SIRSIR模型作了验证模型作了验证.首先,由方程首先,由方程(4.11)(4.11)、(4.13)(4.13)可以可以(ky)(ky)得到得到(4.20)(4.20)(4.21)(4.21)第二十九页,共37页。当当时,取式时,取式(4.21)(4.21)右端右端e err泰勒展泰勒展开开(zhn ki)(zhn ki)的前的前3 3项,在初始值项,在初始值r0r00 0下的解为:下的解为:(4.22)(4.22)其中其中.从式从式(4.22)(4.22)容易算出容易算出 第三十页,共37页。(4.23)(4.23)然后取定参数然后取定参数s0s0、等,画
22、出式等,画出式(4.23)(4.23)的图形的图形(txng)(txng),如图,如图4-44-4中的曲线,实际数据在图中用圆中的曲线,实际数据在图中用圆点表示点表示.可以看出,理论曲线与实际数据吻合得相当可以看出,理论曲线与实际数据吻合得相当不错不错.第三十一页,共37页。图 4-4第三十二页,共37页。5.SIR5.SIR模型的应用模型的应用下面介绍下面介绍SIRSIR模型的两个应用模型的两个应用.1)1)被传染比例的估计被传染比例的估计在一次传染病的传播过程中,被传染人数的比在一次传染病的传播过程中,被传染人数的比例是健康例是健康(jinkng)(jinkng)者人数比例的初始值者人数比
23、例的初始值s0s0与与tt的极限值的极限值ss之差,记作之差,记作x x,假定,假定i0i0很小,很小,s0s0接近于接近于1 1,由式,由式(4.18)(4.18)可得可得(4.24)(4.24)第三十三页,共37页。取对数函数泰勒展开的前两项有取对数函数泰勒展开的前两项有(4.25)(4.25)记记,可视为该地区人口比例超过可视为该地区人口比例超过(chogu)(chogu)阈值阈值的部分的部分.当当时式时式(4.25)(4.25)给出给出(4.26)(4.26)第三十四页,共37页。这个结果表明,被传染人数比例约为这个结果表明,被传染人数比例约为的的2 2倍倍.对对一种传染病,当该地区的
24、医疗和卫生水平不变,即一种传染病,当该地区的医疗和卫生水平不变,即不不变时,这个比例就不会改变变时,这个比例就不会改变.而当阈值而当阈值(y zh)(y zh)提高提高时,时,减小,于是这个比例就会降低减小,于是这个比例就会降低.第三十五页,共37页。2)2)群体免疫和预防群体免疫和预防根据对根据对SIRSIR模型的分析,当模型的分析,当时传染病不会蔓时传染病不会蔓延延.所以为制止蔓延,除了提高卫生和医疗水平,使所以为制止蔓延,除了提高卫生和医疗水平,使阈值变大以外阈值变大以外(ywi)(ywi),另一个途径是降低,另一个途径是降低s0s0,这可以通过如预防接种使群体免疫的办法做到这可以通过如
25、预防接种使群体免疫的办法做到.忽略忽略病人比例的初始值病人比例的初始值i0i0,有,有s0s01 1r0r0,于是传染病不,于是传染病不会蔓延的条件会蔓延的条件可以表示为可以表示为:(4.27)(4.27)第三十六页,共37页。这就是说,只要通过群体免疫使初始时刻的移这就是说,只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例出者比例(即免疫者比例即免疫者比例)r0)r0满足式满足式(4.27)(4.27),就可以,就可以制止传染病的蔓延制止传染病的蔓延.这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中,实际上这是很难做到的,据估计在在全体人口中,实际上这是很难做到的,据估计在印度等国天花传染病的接触数印度等国天花传染病的接触数55,由式,由式(4.27)(4.27)知知至少要有至少要有4/54/5的人接受的人接受(jishu)(jishu)免疫才行免疫才行.据世界卫据世界卫生组织报告,即使花费大量资金提高生组织报告,即使花费大量资金提高r0r0,也因很难,也因很难做到免疫者的均匀分布,使得天花直到做到免疫者的均匀分布,使得天花直到19771977年才在年才在全世界根除全世界根除.而有些传染病的而有些传染病的更高,根除就更加困更高,根除就更加困难难.第三十七页,共37页。
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