最优化计算方法课后习题答案高等教育教学出版社。施光燕.doc
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1、-_习题二习题二包括题目: P36 页 5(1) (4)5(4) -_-_习题三习题三包括题目:P61 页 1(1)(2); 3; 5; 6; 14;15(1) 1(1)(2)的解如下 3 题的解如下 -_-_5,6 题 14 题解如下 14. 设, 求点在处的牛顿方向。22 121212( )(6)(233)f xxxxxx x( 4,6)T解:已知 ,由题意得(1)( 4,6)Tx 121212212121212(6)2(233)( 3)( )2(6)2(233)( 3)xxxxx xxf xxxxxx xx (1) 1344()56gf x 21212122211212122( 3)22
2、( 3)( 3)2(233)( )22( 3)( 3)2(233)22( 3)xxxxxx xf xxxxxx xx (1)2(1)1656()()564G xf x (1)11/8007/400()7/4001/200G x (1)(1)1 1141/100()574/100dG xg 15(1)解如下 15. 用 DFP 方法求下列问题的极小点(1)22 121212min353xxx xxx解:取 ,时,DFP 法的第一步与最速下降法相同(0)(1,1)Tx0HI, ,2112352( )1 56xxf xxx(0)(1,1)Tx(0)10()12f x, (1)0.0780 0.293
3、6x(1)1.3760()1.1516f x以下作第二次迭代, (1)(0) 11.0780 1.2936xx(1)(0) 18.6240()()13.1516f xf x 01 101 1 10 11101TTTTHHHHH -_其中,111011126.3096,247.3380TTTH , 1 11.1621 1.39451.39451.6734T 01 101 174.3734113.4194113.4194172.9646TTHH 所以 10.74350.4056 0.40560.3643H(1)(1) 11.4901()0.9776dHf x 令 , 利用 ,求得 (2)(1)(1
4、) 1xxd(1)(1)()0df xd d 10.5727 所以 , (2)(1)(1)0.77540.57270.8535xxd(2)0.2833()0.244f x以下作第三次迭代, (2)(1) 20.85340.5599xx(2)(1) 21.0927()()0.9076f xf x , 221.4407T 2121.9922TH220.72830.4778 0.47780.3135T 12211.39360.9135 0.91350.5988THH 所以 221221 21 222120.46150.38460.38460.1539TTTTHHHHH (2)(2) 20.2246(
5、)0.1465dHf x 令 , 利用 ,求得 (3)(2)(2) 2xxd(2)(2)()0df xd d 21所以 , 因为 ,于是停止(3)(2)(2)1 1xxd(3)()0f x即为最优解。(3)(1, 1)Tx-_习题四习题四包括题目: P95 页 3;4;8;9(1);12 选做;13 选做 3 题解如下 3.考虑问题,其中21),(2)(min21xxxf sxx .10 , 1),(1),(21212 22 121xxxxxxxxSTT(1)画出此问题的可行域和等值线的图形; (2)利用几何图形求出此问题的最优解及最优值;(3)分别对点指出哪些约束是紧约束,) 1, 0(,)
6、0 , 0(,) 1 , 1(,)0 , 1 (4321TTTTxxxx和松约束。 解:(1)如图所示,此问题的可行域是以 O 点为圆心,1 为半径的圆的上半部分;等值线 是平行于直线 x2=2x1的一系列平行线,范围在如图所示的两条虚线内。 (2)要求 f 的最小值,即求出这一系列平行线中与 x2轴相交,所得截点纵坐标的最大值。显然当直线在虚线 1 的位置,能取得极值。如图求出切点,此点即为最优 51,52P解,解得最优值Tx)51,52(5fPO 1x1x2 x2=2x1xp11/2虚线 1-_(3)对于区间集 S 可以简化为 g1:012 22 1xxg2:02 x对于点,g1和 g2均
7、为该点处的紧约束;Tx)0 , 1 (1对于点,g1和 g2均为该点处的松约束;Tx) 1 , 1(2对于点,g1为该点的松约束,g2为该点的紧约束;Tx)0 , 0(3对于点,g1为该点的紧约束,g2为该点的松约束。Tx) 1, 0(44 题解如下 4.试写出下列问题的 K-T 条件,并利用所得到的表达式求出它们的最优解:(1);12min2 22 1xxs.t. 012 22 1xx(2);12min2 22 1xxs.t. 092 22 1xx(1)解:非线性规划的 K-T 条件如下:(1)022 22422121 xx xx(2)0)1 (2 22 1xx(3)0-_再加上约束条件 (
8、4)012 22 1xx为求出满足(1)(4)式的解,分情况考虑:若(4)式等号不成立,即,那么由(2)式得,将代入012 22 1xx00(1)式解得,所得值不满足的条件,故舍去。21x12x012 22 1xx若(4)式等号成立,由(1)式可以解得,代入(4)式有:12 1x11 2x解得111 1222 5151或因为,所以,那么,满足以上所有条件。05152 1x51 2x综上所述,所求非线性规划有唯一的 K-T 点为:Tx)51,52(2)解:非线性规划的 K-T 条件如下:(1)022 22422121 xx xx(2)0)9(2 22 1xx(3)0再加上约束条件 (4)092
9、22 1xx为求出满足(1)(4)式的解,分情况考虑:若(4)式等号不成立,即,那么由(2)式得,将代入092 22 1xx00(1)式解得,所得值满足以上所有约束。21x12x若(4)式等号成立,由(1)式可以解得,代入(4)式有:12 1x11 2x解得911 1222 351因为,所以所得值均舍去,该情况不成立。0 综上所述,所求非线性规划有唯一的 K-T 点为:Tx) 1 , 2(-_8 题解如下 8 考虑问题Min x12+x1x2+2x22-6x1-2x2-12x3S.t. X1+x2+x3=2 (1)-x1+2x23 (2)X1,x2,x30 (3) 求出点(1,1,0)处的一个
10、下降可行方向. 解:首先检查在点(1,1,0)处哪些约束为有效约束。检查易知(1) ,X30 为有效约束。 设所求可行方向 d=(d1,d2,d3)T。根据可行方向 d 的定义,应存在 a0,使对t(0,a)能 有X+td=(1+td1,1+td2,0+td3)T 也能满足所有有效约束:(1+td1)+(1+td2)+(0+td3)=2td30 经整理即为d1+d2+d3=0d30 满足上述不等式组的 d=(d1,d2,d3)T 均为可行方向。现只求一个可行方向,所以任取 d3=1,求解 d1+d2=-d3 得 d1+d2=-1,可任取 d1=1,d2=-2 得一可行方向d=(1,-2,1)T
11、 考虑下降性 由题可知:将目标函数化为 f(x)=1/2XTQX+bTX+C 从而 f=QX+b 即2 1016 1 4022 0 00312x fx x f(1,1,0)=(-3,3,-12) 因为 f(1,1,0)Td=-210 表明 d=(1,-2,1)T 为原问题在 x=(1,1,0)T 处的一个下降可行方向9 题解如下 9 用 lemke 算法解下列问题:(1)min 2x12+2x22-2x1x2-4x1-6x2 S.t. X1+x22X1+5x25X1,x20 解: 422 4H ,46c,1115A,25b -_于是0 0110 0151 1421 5M ,2546q ,121
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