高等数学曲线凸性拐点与渐近线优秀PPT.ppt
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1、高等数学曲线凸性拐点与渐近线1第一页,本课件共有28页定义:定义:设函数设函数y=f(x)在在(a,b)内可导,如果曲线内可导,如果曲线y=f(x)上任上任意一点的切线都在曲线的上方,则称该曲线为意一点的切线都在曲线的上方,则称该曲线为上凸的上凸的(凸弧)(凸弧),称区间,称区间(a,b)为该曲线的为该曲线的上凸区间上凸区间;如果;如果曲线曲线y=f(x)上任意一点的切线都在曲线的下方,则称上任意一点的切线都在曲线的下方,则称该曲线为该曲线为下凸的(凹弧)下凸的(凹弧),称区间,称区间(a,b)为该曲线的为该曲线的下凸区间下凸区间或或凹区间凹区间。规范的定义:规范的定义:如果函数如果函数y=f
2、(x)在在(a,b)内任意两内任意两点点x1,x2都满足:都满足:则称该曲线为则称该曲线为上凸。上凸。如果函数如果函数y=f(x)在在(a,b)内任意两点内任意两点x1,x2都满都满足:足:则称该曲线为则称该曲线为下凸。下凸。2第二页,本课件共有28页定理定理1 1:设函数设函数y=f(x)在在(a,b)内二阶可导内二阶可导,则有则有(1)若在若在(a,b)内有内有 ,曲线,曲线y=f(x)在在(a,b)内内下凸下凸。(2)若在若在(a,b)内有内有 ,曲线,曲线y=f(x)在在(a,b)内内上凸上凸。3第三页,本课件共有28页例例1 1:解:解:注意到注意到,4第四页,本课件共有28页定义:
3、定义:注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.证:证:由可导函数取极值的条件由可导函数取极值的条件.5第五页,本课件共有28页拐点的求法拐点的求法6第六页,本课件共有28页例例2 2:解:解:凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点7第七页,本课件共有28页注意注意:曲线的上凸区间为曲线的上凸区间为 ,下,下凸区间为凸区间为 和和 ,拐点为(,拐点为(0,1)和)和 。8第八页,本课件共有28页例例3 3:解:解:9第九页,本课件共有28页考研题欣赏考研题欣赏(2004年年3,4)设)设 ,则,则(A)x=0是是f(x)的极值点的极值点,但但(0,0)不是曲线不
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