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1、返回第第3 3章章 一元函数积分学一元函数积分学3.1 3.1 不定积分不定积分3.2 3.2 定积分定积分3.4 3.4 定积分的应用定积分的应用3.3 3.3 广义积分广义积分返回3.1.1 3.1.1 3.1.1 3.1.1 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念3.1.2 3.1.2 3.1.2 3.1.2 基本积分公式基本积分公式基本积分公式基本积分公式3.1.3 3.1.3 3.1.3 3.1.3 不定积分的性质不定积分的性质不定积分的性质不定积分的性质3.1.4 3.1.4 3.1.4 3.1.4 换元积分法换元积分法换元积分法换
2、元积分法1.1.1.1.第一类换元法第一类换元法第一类换元法第一类换元法2.2.2.2.第二类换元法第二类换元法第二类换元法第二类换元法3.1.5 3.1.5 3.1.5 3.1.5 分部积分法分部积分法分部积分法分部积分法3.1.6 3.1.6 3.1.6 3.1.6 有理函数不定积分有理函数不定积分有理函数不定积分有理函数不定积分(自学自学自学自学)3.1 3.1 不定积分不定积分3.1.7 3.1.7 3.1.7 3.1.7 积分表的使用积分表的使用积分表的使用积分表的使用(自学自学自学自学)返回第一类换元法是通过变量替换第一类换元法是通过变量替换 将积分将积分第二类换元法是通过变量替换
3、第二类换元法是通过变量替换 将积分将积分第一类第一类第一类第一类换元积分法换元积分法换元积分法换元积分法-主要考虑主要考虑主要考虑主要考虑凑微分法凑微分法凑微分法凑微分法第二类换元法第二类换元法第二类换元法第二类换元法-主要考虑主要考虑主要考虑主要考虑去根号去根号去根号去根号3.1.4 3.1.4 换元积分法换元积分法返回三角代换常有下列规律三角代换常有下列规律可令可令可令可令可令可令时,可采用令时,可采用令 (其中(其中 为各根指数的最小公倍数)为各根指数的最小公倍数)当被积函数含有两种或两种以上的根式当被积函数含有两种或两种以上的根式第二类积分换元法第二类积分换元法根式代换根式代换根式代换
4、根式代换 三角代换三角代换三角代换三角代换返回合理选择合理选择 ,正确使用分部积分式,正确使用分部积分式3.1.5 3.1.5 分部积分法分部积分法#返回3.2 3.2 定积分定积分3.2.1 3.2.1 3.2.1 3.2.1 两个两个两个两个实例实例实例实例3.2.2 3.2.2 3.2.2 3.2.2 定积分的概念定积分的概念定积分的概念定积分的概念3.2.3 3.2.3 3.2.3 3.2.3 定积分的性质定积分的性质定积分的性质定积分的性质3.2.4 3.2.4 3.2.4 3.2.4 微积分基本定理微积分基本定理微积分基本定理微积分基本定理3.2.5 3.2.5 3.2.5 3.2
5、.5 定积分换元积分法和分部积分法定积分换元积分法和分部积分法定积分换元积分法和分部积分法定积分换元积分法和分部积分法返回轴所围成的平面图形为曲边梯形曲边梯形.设f(x)为闭区间a,b上连续函数,且xa,b,称由曲线y=f(x),直线 x=a,x=b以及 x 1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积3.2.1 3.2.1 两个两个实例实例返回abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然,小矩形越多,矩形总面积越接近显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积(四个小矩形)(四个小矩形)(九个小矩形)(九个小矩形)返回观察下列演示过程,注意当分割
6、加细时,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放返回下面讨论如何求曲边梯形的面积下面讨论如何求曲边梯形的面积.具体做法如下:具体做法如下:(1 1)分割)分割这些点把这些点把a,b分割成分割成 n个小区间个小区间它的长度它的长度为为再用直线再用直线把曲边梯形分割成把曲边梯形分割成 n 个小个小在区间内任加入在区间内任加入n1个分点个分点它们依次为它们依次为曲边梯形曲边梯形.返回(2 2)近似代替(已)近似代替(已“直直”代代“曲曲”)在每个小区间在每个小区间上任取一点上任取一点作以作以为高,为高,为底的小为底的小矩形矩形.当分割当
7、分割a,b的分点的分点较多,且分割得较细密较多,且分割得较细密时,由于时,由于f(x)是连续函是连续函数,所以它在每个小区数,所以它在每个小区间上的值变化不大,间上的值变化不大,从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形的面积的面积.就是说第就是说第 i 个小曲边梯形的面积个小曲边梯形的面积返回(3 3)求和)求和将将n个小矩形的面积加起来,它是曲边梯形面积个小矩形的面积加起来,它是曲边梯形面积的近似值,也即的近似值,也即返回多,且对多,且对a,b无限细分时,如果此和式与某一常数无限细分时,如果此和式与某一常数(4 4)取极限)取极限显然,显然
8、,与区间与区间a,b的分割方法有关的分割方法有关,也与也与的选取有关的选取有关.但是可以想象,当分点无限增但是可以想象,当分点无限增无限接近,且与分点无限接近,且与分点以及点以及点的选取无关时的选取无关时,则此常数应该是该曲边梯形的面积则此常数应该是该曲边梯形的面积.令令则则曲边梯形面积为曲边梯形面积为返回2.2.变速直线运动物体的变速直线运动物体的路程路程设一物体沿直线运动设一物体沿直线运动,速度为速度为解决变速运动的路程的基本思路解决变速运动的路程的基本思路:把整段时间分割把整段时间分割tt1t ti itn-1v(t)求在时刻求在时刻 t=到到 t=之间所产生的位移之间所产生的位移S.路
9、程路程路程路程=速度速度速度速度 时间时间时间时间令t ti-1i-1某时刻的速度某时刻的速度某时刻的速度某时刻的速度返回(1 1)分割)分割(3 3)求和)求和(4 4)取极限)取极限(2 2)近似)近似返回定义定义定义定义3-33-33.2.2 3.2.2 定积分的概念定积分的概念返回被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积分上限积分上限积分积分下限下限积分和式积分和式积分和式积分和式返回注意:注意:返回返回对定积分的对定积分的补充规定补充规定:返回曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值定积分的几何意义定积分的几何意义abxyooyabx返回xy
10、oab返回例例例例1 1 1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分xyo1解解解解(1)(1)(1)(1)分割分割分割分割(2 2)近似替代)近似替代)近似替代)近似替代 取点取点返回(3 3 3 3)求和求和求和求和返回例例2x1y面积值为圆的面积的面积值为圆的面积的o返回证证(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质性质性质性质3-33-33-33-33.2.3 3.2.3 定积分的性质定积分的性质返回证证性质性质性质性质3-43-43-43-4返回补充补充补充补充:不论不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.例例例例 若
11、若(定积分对于积分区间具有可加性)(定积分对于积分区间具有可加性)则则性质性质性质性质3-5 3-5 3-5 3-5 设设设设 返回性质性质性质性质3-63-63-63-6性质性质性质性质3-73-73-73-7性质性质性质性质3-73-73-73-7的推论的推论的推论的推论1 1 1 1:返回(此性质可用于估计积分值的大致范围)(此性质可用于估计积分值的大致范围)性质性质性质性质3-83-83-83-8 (定积分中值定理)(定积分中值定理)积分中值公式积分中值公式性质性质性质性质3-73-73-73-7的推论的推论的推论的推论2 2 2 2:返回积分中值公式的几何解释:积分中值公式的几何解释:#返回小小 结结定积分的实质定积分的实质:特殊和式的极限:特殊和式的极限定积分的思想和方法:定积分的思想和方法:求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分化整为零化整为零分割分割直(不变)代曲(变)直(不变)代曲(变)近似近似返回对定积分的对定积分的补充规定补充规定:定积分的性质定积分的性质返回定积分中值定理定积分中值定理#
限制150内