第一节解析函数的概念.ppt
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1、第一节第一节 解析函数的概念解析函数的概念与柯西与柯西黎曼条件黎曼条件1.1 复变函数的导数与微分1.2 解析函数及其简单性质1.3 柯西柯西黎曼条件黎曼条件1.4 小结与思考 11.1 复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分1.导数的定义导数的定义:定义定义2.12在定义中应注意在定义中应注意:3例例1 解解42.可导与连续的关系可导与连续的关系:函数函数 f(z)在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续,但函数但函数 f(z)在在 z0 处连续不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.证证5证毕证毕例例2 解解 (1)f(z)=z的连续性显然的连续性显然6例例3 解
2、解78例例4 解解9103.求导法则求导法则:由于复变函数中导数的定义与一元实变函由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的且证明方法也是相同的.求导公式与法则求导公式与法则:11124.微分的概念微分的概念:复变函数微分的概念在形式上与一元实变复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致函数的微
3、分概念完全一致.定定义义+13特别地特别地,141.解析函数的定义解析函数的定义定义定义 2.2z0记作:记作:f(z)A(D)DG1.2 解析函数的概念解析函数的概念15根据定义可知根据定义可知:函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的的.但但是是函数解析比可是与区域密切相函数解析比可是与区域密切相伴的伴的,要比可导的要求要高得要比可导的要求要高得多多即函数在即函数在z0点解析点解析函数在函数在一点处解析一点处解析与在与在一点处可导一点处可导不等价不等价函数在函数在z0 0点可导点可导函数函数闭区域上解析闭区域上解析与在与在闭区域上可导闭区域上可导不等价不等
4、价即函数在闭即函数在闭区域上解析区域上解析函数在函数在闭区闭区域上域上可导可导说说明明162.奇点的定义奇点的定义定义定义2.3例如例如:以以z=0为奇点为奇点:通常泛指的解析函数是容许有奇点的通常泛指的解析函数是容许有奇点的:例例5 解解由本节例由本节例1和例和例3知知:171819例例6解解20例例7解解2122课堂练习课堂练习答案答案处处不可导处处不可导,处处不解析处处不解析.23定理定理以上定理的证明以上定理的证明,可利用求导法则可利用求导法则.24根据定理可知根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的所有多项式在复平面内是处处解析的.通过上述用定义讨论函数的解析性,通过上述
5、用定义讨论函数的解析性,我们深深地体会到:我们深深地体会到:用定义讨论函数的解析用定义讨论函数的解析性绝不是一种好办法!性绝不是一种好办法!寻求研究解析寻求研究解析性的更好的方性的更好的方法法任务!任务!251.3 C-R 条件条件目的:研究复变函数目的:研究复变函数w=f(z)可微或解析的条件。可微或解析的条件。研究函数解析性的利器研究函数解析性的利器引言:设引言:设w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则则 函数函数w=f(z)的连续性由的连续性由u(x,y),v(x,y)连续性唯一确定。连续性唯一确定。那么那么w=f(z)的解析性与的解析性与u(x,y),v(x,y)之间有什么关系
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