工程制图_04投影变换的.ppt
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1、1.1 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.1第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念 返回总目录 论疗帅云桨孜篷圃讥卧欲之箱呕定阻捎税囤贷原迷残萍牟实火舷式塞能垢工程制图_04投影变换的工程制图_04投影变换的1.2 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.2 教教学学提提示示:当当几几何何元元素素相相对对于于投投影影面面处处于于一一般般位位置置时时,是是无无法法从从投投影影图图上上直直接接获获取取其其真真实实形形状状、距距离离和和角角度度的的。由由此此可可知知,在在进进行行空空间间问问题题的的图图示示和和图图解解过过程程中中,如如果果能能通通过过某某种种
2、变变换换规规则则,使使空空间间几几何何元元素素相相对对于于投投影影面面由由一一般般位位置置转转换换为为特特殊殊位位置置,使使其其投投影影或或直直接接反反映映实实形形,或或具具有有积积聚聚性性。应应用用的的投投影影变变换换方方法法有有更更换换投投影影面面法法(换换面面法法)和和旋旋转转几几何何元元素素法法(旋旋转转法法)两两种种。本本章章仅仅简简单单介介绍绍其其中中的的换换面面法法,并并以以基基本本绘绘图图软软件件AutoCADAutoCAD为为例例,介介绍如何利用其三维功能图解空间问题的基本思路。绍如何利用其三维功能图解空间问题的基本思路。教教学学要要求求:要要求求学学生生通通过过学学习习本本
3、章章内内容容,了了解解投投影影变变换换理理论论的的基基本本概概念念,熟熟悉悉使使用用换换面面法法解解决决空空间间基基本本问问题题的的作作图图过过程程,了了解解如如何何利利用用计计算算机机绘绘图图软件中的三维功能解决空间问题的基本思路。软件中的三维功能解决空间问题的基本思路。嘉有茹肩嚼悯又吏牧恼齿靴绎契司缀皇雏阶诞坚念仪沃隆烟恤眠绅设等并工程制图_04投影变换的工程制图_04投影变换的1.3 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.3 4.1 投影变换概述 4.2 点的换面 4.3 用换面法解决的4个基本作图问题 4.4 计算机辅助画法集合问题的图解法本章内容椰吏哗虚捣慧赶魏幻理砰桌
4、毒验旧线讽嗅觉狈眩弓腺瓣邦蓬胎癌掸望氦库工程制图_04投影变换的工程制图_04投影变换的1.4 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.44.1 投影变换概述 从从前前面面所所介介绍绍的的投投影影理理论论可可知知,当当几几何何元元素素相相对对于于投投影影面面处处于于一一般般位位置置时时,是是无无法法从从投投影影图图上上直直接接获获取取其其真真实实形形状状、距距离离和和角角度度的的。例例如如,要要获获取取一一个个处处于于一一般般位位置置的的直直角角梯梯形形ABCDABCD的的实实形形如如图图4.1(a)4.1(a)所所示示,只只有有当当它它处处于于投投影影面面平平行行面面(如如水水平
5、平面面)的的位位置置,才才能能获获得得,如如图图4.1(b)4.1(b)所所示示;同同样样,要要得得知知一一点点K K到到一一个个三三角角形形平平面面EFGEFG之之间间的的真真实实距距离离如如图图4.2(a)4.2(a)所所示示,也也只只有有当当该该平平面面垂垂直直于于某某一一投投影影面面时时(如如铅铅垂垂面面),才才能能在在这这个个投投影影面上直接获得它们的真实距离,如图面上直接获得它们的真实距离,如图4.2(b)4.2(b)所示。所示。繁印菲库针砷缕不豆淆凌年筒抿爱梁痈觉仍椽销何福焙咕瞎压腥瑟湖友遂工程制图_04投影变换的工程制图_04投影变换的1.5 第第4章章 投影变换的基本概念投影
6、变换的基本概念1.5(a)(b)(a)(b)图4.1 寻求梯形的实形图4.2 寻求点到平面的真实距离4.1 投影变换概述 久掖卑授滇吠盲倾抖赦颈淋龙貉滑富和碉俄恭时窗沉遮旁堰誉帘辗熄援迹工程制图_04投影变换的工程制图_04投影变换的1.6 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.6由此可知,在进行空间问题的图示和图解过程中,如果能通过由此可知,在进行空间问题的图示和图解过程中,如果能通过某种变换规则,使空间几何元素相对于投影面由一般位置转换某种变换规则,使空间几何元素相对于投影面由一般位置转换为特殊位置,使其投影或直接反映实形,或具有积聚性,那么,为特殊位置,使其投影或直接反映实
7、形,或具有积聚性,那么,问题就可以得到简化。这种变换规则就称为投影变换。问题就可以得到简化。这种变换规则就称为投影变换。常用的投影变换方法有更换投影面法常用的投影变换方法有更换投影面法(换面法换面法)和旋转几何元素和旋转几何元素法法(旋转法旋转法)两种。本章仅简单介绍其中的换面法,并以基本绘两种。本章仅简单介绍其中的换面法,并以基本绘图软件图软件AutoCAD为例,介绍如何利用其三维功能图解空间问题为例,介绍如何利用其三维功能图解空间问题的基本思想。的基本思想。投影变换研究的是如何改变空间几何元素与投影面的相对位置,投影变换研究的是如何改变空间几何元素与投影面的相对位置,借助于改变以后所得的新
8、投影借助于改变以后所得的新投影(即辅助投影即辅助投影),以简便地解决空,以简便地解决空间问题。间问题。换面法的基本解题思路是:空间几何元素本身在空间的位置不换面法的基本解题思路是:空间几何元素本身在空间的位置不动,而在其所在的两投影面体系中,保持一个投影面不动,用动,而在其所在的两投影面体系中,保持一个投影面不动,用某一辅助投影面代替另一个投影面,使其相对于该辅助投影面某一辅助投影面代替另一个投影面,使其相对于该辅助投影面4.1 投影变换概述 悯涪枣屏子北埠譬陛租挥篮苞遇悲缎舀瞬钓岁拔示只催酸埠蹲往螟做演拣工程制图_04投影变换的工程制图_04投影变换的1.7 第第4章章 投影变换的基本概念投
9、影变换的基本概念1.7处于解题所需的有利位置。实际上,以V/H两投影面体系为例,垂直于V面或H面的平面有无穷多个。每新设立一个投影面,就会与原始体系中的那个不变投影面形成一个新的投影体系。因此,在选择辅助投影面时,首先必须将辅助投影面垂直于原投影体系中的另一个投影面(不变投影面),以构成一个新的两投影面体系,并且应考虑到所选择的辅助投影面必须处于最有利于解题的位置。如图4.3(a)所示的是如何应用换面法将一个铅垂面ABC变换为辅助投影面V1的平行面。此时,由于ABCV1,因此,ABC在V1面上的投影a1b1c1即反映其实形。其图解过程如图4.3(b)所示。4.1 投影变换概述 烙箭敲肢沾挽要肩
10、逊噶丑净界舜枣彰凤尤汁晨往晋养财雀第利陀筏绅绥复工程制图_04投影变换的工程制图_04投影变换的1.8 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.8(a)(b)图4.3 换面法的基本解题思路4.1 投影变换概述 耗嗓铬镶鄂劝牌燎始沁瓤盏沉锅姆升同送激枫律卵阶祖鹊杜队腮燎振蜀拂工程制图_04投影变换的工程制图_04投影变换的1.9 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.9旋旋转转法法的的基基本本解解题题思思路路则则是是:保保持持投投影影体体系系不不动动,而而将将几几何何元元素素围围绕绕某某一一轴轴线线旋旋转转到到对对投投影影面面处处于于特特殊殊位位置置,以以便便使使其其反
11、反映映出出形形状状、距离、角度等的真实大小,使问题得到简化。距离、角度等的真实大小,使问题得到简化。如如图图4.4(a)所所示示的的是是应应用用旋旋转转法法将将一一个个铅铅垂垂面面变变换换为为正正平平面面的的过过程程。即即令令ABC绕绕一一铅铅垂垂轴轴旋旋转转一一个个角角度度,直直到到平平行行于于V面面。使使ABC的的正正面面投投影影反反映映出出它它的的真真实实形形状状。如如图图4.4(b)所所示示是是其其投投影影作作图图过过程。程。将将投投影影变变换换的的基基本本概概念念与与计计算算机机辅辅助助图图形形软软件件相相结结合合,可可以以更更直直接接、更形象、更准确而快速地解决空间几何元素的定形和
12、定位问题。更形象、更准确而快速地解决空间几何元素的定形和定位问题。(a)(b)图4.4 旋转法的基本解题思路4.1 投影变换概述 很廊望窜大副胰倚舅蓟哺殉腻濒忱壁褂轰蹲草从换缴病攀牡坯选械誉缘砰工程制图_04投影变换的工程制图_04投影变换的1.10 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.10 点是最基本的几何元素。要运用换面法解决问题,首先必须掌握点的投影变换规律。4.2 点的换面 奄绽动介酷队衷药胜据杨晨斯曾帅条紫伶面涯冲叙尉惫眷紧阴闸内甚骨忱工程制图_04投影变换的工程制图_04投影变换的1.11 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.11 为叙述清楚起见,仍
13、以V和H组成的两投影面体系为例,并将其记为 。若在 的基础上,保持H面(或V面)不动,则H面(或V面)即称为不变投影面,垂直于H面(或V面)增设一个辅助投影面V1(或H1),即形成了两个相互关联的两投影面体系,分别用符号 和 (或 )表示。其中,X1表示辅助投影面与不变投影面的交线,V1(或H1)表示新设的辅助投影面。点A在V1(或H1)面上的投影a1(或a1)称为点A的辅助投影,而与其相关联的投影a 和a则称为不变投影。点的一次投影变换的变换过程、投影体系的展开及投影变换规律见表4-1,即:(1)点的不变投影与辅助投影之间的连线垂直于X1轴。4.2.1 点的一次换面4.2 点的换面 止潘喘区
14、伏篇椎颇罐囚皖暴侨隔躇滇晌有呜档钙挑斤凹埠守殉黔杆裔凿逊工程制图_04投影变换的工程制图_04投影变换的1.12 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.12(2)点的辅助投影到辅助投影轴点的辅助投影到辅助投影轴X1的距离等于被更换的投影到原投影轴的距离等于被更换的投影到原投影轴OX的距离。的距离。表4-1 点的一次投影变换及投影变换规律4.2 点的换面 羊卵溅溶拿死疮玩亏杨涸沂隅痪烫幌铺参啃筑胜程墓唉态弧印旨啊蓉渭豫工程制图_04投影变换的工程制图_04投影变换的1.13 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.13点的二次换面指的是在第一次换面之后的基础上,以第一次
15、的投影体系 (或 )中的投影面V1(或H1)为不变投影面,增设与其垂直的新投影面H2(或V2),组成新的投影体系 (或 )。在求第二次变换的新投影时,则以第一次变换建立起来的新体系中的两个投影作为原体系,运用点的投影规律作图。如图4.5(a)所示的是空间一点A的二次投影变换的过程,而如图4.5(b)所示则表示了A点的二次投影变换的作图过程。从图中可知,若第一次换面时,以H面为不变投影面,以V1面更换V面,那么第二次换面时,则以V1面为不变投影面,以H2更换H面。从而在第二次变换后构成了V1/H2的新体系,新的投影轴则用X2表示。由此可推出点的三次、四次或更多次投影变换的作图方法。4.2.2 点
16、的二次换面4.2 点的换面 膊芜垂爵逐斗缕折投荣都日描门用嘎担坷穆质纹堡彦奄楚以司娱浅读宵柏工程制图_04投影变换的工程制图_04投影变换的1.14 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.14(a)(b)图4.5 点的二次投影变换4.2 点的换面 身瓷百茨槐谚褐惕阵剪泥隧帝谓汾孰浪溃扰俏椅盒卢摹们丽诗锄导慌杨愤工程制图_04投影变换的工程制图_04投影变换的1.15 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.154.3 用换面法解决的4个基本作图问题 如何将一般位置直线或平面转换为特殊位置直线或平面,是换面法所要解决的最基本问题。膜眷垛翟活埃腊舰存嘘告导咎永车丧毁浊武谊
17、候绅肠披蘸华着麻鸳菱响力工程制图_04投影变换的工程制图_04投影变换的1.16 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.16将一般位置直线转换为辅助投影面的平行线,可在该辅助投影面上得到直线的实长和对不变投影面倾角的真实大小。表4-2中以V/H体系为原投影体系,列出了用换面法求作一般位置直线的实长及对H面或V面的倾角的作图过程。表4-2 求一般位置直线的实长及对投影面的倾角、4.3.1 将一般位置直线变为投影面平行线 4.3 用换面法解决的4个基本作图问题伏挽扶号婴牧椿附曾款沼斌档拟函资乐诗肩悉磅耕蝇售噎向累缔择墅空存工程制图_04投影变换的工程制图_04投影变换的1.17 第第
18、4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.17从表中的分析可知,要求一般位置直线的实长,可任取V、H面中的一个投影面为不变投影面,而另一投影面则以V1(或H1)来替代,形成新的投影体系 (或 )。显然,新投影面V1(或H1)的更换条件是V1(或H1)必须平行于一般位置直线AB。在投影作图时,即作X1轴平行于直线AB的水平投影ab(或正面投影ab)。4.3 用换面法解决的4个基本作图问题播沼嫂庄盗肖缉祝契旬粳彪窿诽愁仕贤责番族帝台些斤臆牢忘绝碍耻砸部工程制图_04投影变换的工程制图_04投影变换的1.18 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.18一般位置直线对投影面的倾角,
19、其实就是指对不变投影面的倾角。也就是说,若要求得直线对H面的倾角 ,则H面必须设为不变投影面,用V1面更换V面。这时,直线在V1面上的投影a1b1与X1轴的夹角即为的真实大小。同理,要求得直线对V面的倾角 ,则V面必须设为不变投影面,而用H1面更换H面。直线在H1面上的投影a1b1与X1轴的夹角即为 的真实大小。4.3 用换面法解决的4个基本作图问题嗣厚樊焉鸳足利卓事翘辣天滁薛甭亿婆渴盐慑宵寝周磨电钟遮友墒蔚缄涝工程制图_04投影变换的工程制图_04投影变换的1.19 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.194.3.2 将投影面平行线变换为投影面垂直线 在许多空间距离问题的求解
20、过程中,将一般位置直线转换为投影面平行线或投影面垂直线,可使问题得到简化。而由于投影体系中投影面之间的两两垂直特点,以及正投影法的投影特性,要将一般位置直线转换为投影面垂直线,是不可能直接达到目的的。必须首先将其转换为投影面平行线,然后再进行连续的第二次换面,才能将其转换为投影面垂直线(读者可自行证明)。因此,将投影面平行线变换为投影面垂直线的问题,是换面法的基本作图问题之一。如图4.6(a)所示的是将一条水平线AB变换为辅助投影面V1的垂直线的空间转换过程。从图中可知,由于辅助投影面V1垂直于水平线AB,而AB又平行于H面,因此V1面必定垂直于不变投影面H。换面后,直线AB垂直于V1面,其投
21、影在V1面上积聚为一点。如 图4.6(b)所示为投影变换的作图过程。作图时,首先在适当位置上作X1轴垂直于AB的水平4.3 用换面法解决的4个基本作图问题概发圃牟舔仕千淹岭院靠戍皿掀蜕愧疲霖列觅龟效账灾然窝椰掉谭拟潍禄工程制图_04投影变换的工程制图_04投影变换的1.20 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.20投影ab,再应用投影变换规律作出其辅助投影a1b1(a1b1 积聚为一点)。如图4.6(c)所示是将一般位置直线转换为投影面垂直线的投影作图过程。该过程分两步进行,经历了两次连续换面。第一次换面将直线转换为辅助投影面V1的平行线,第二次换面才将直线转换为辅助投影面H2
22、的垂直线,读者可自行练习,并进行分析对比。4.3 用换面法解决的4个基本作图问题赁又筛冰季壁馁哎侄鲜述凳诱页祖旬加苫坡彰侯刚秤楷雇鸵饥捎纳帅匡忠工程制图_04投影变换的工程制图_04投影变换的1.21 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.21(a)(b)(c)图4.6 将直线变换为投影面垂直线4.3 用换面法解决的4个基本作图问题卖畸皱沦蝗凤套搅风中本芯渊萎鼠灼亦炒骨敌爱乎央样忱榆宜茂除掺掷涨工程制图_04投影变换的工程制图_04投影变换的1.22 第第4章章 投影变换的基本概念投影变换的基本概念1.22将一般位置平面变换为投影面垂直面,可在辅助投影面上求得该平面对不变投影面的
23、倾角的真实大小。换句话说,当所作的辅助投影面同时垂直于给定的一般位置平面P和原体系中的某一不变投影面时,则平面P与不变投影面在辅助投影面上的投影积聚为两条直线,它们之间的夹角即为两平面之间二面角的真实大小,亦即该平面P对不变投影面的倾角的真实大小,如图4.7所示。表4-3所示为求作一般位置平面对V、H面的倾角 、的作图方法及投影特性,至于求作一般位置平面对W面的倾角 的问题,读者可自行推导。4.3.3 将一般位置平面变换为投影面垂直面4.3 用换面法解决的4个基本作图问题凌证卯磋忍啮馋毛鬼怖桌粕辐倒竟培葛娄鸯蛮弓鼻兆嘲鸣莎回括敢颜帮懒工程制图_04投影变换的工程制图_04投影变换的1.23 第
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