1机械振动(川大聂娅老师物理).ppt
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1、机械振动2021/9/231本章内容Contentschapter 11简谐振动的描述简谐振动的描述description of simple harmonic motion 简谐振动的能量简谐振动的能量energy of simple harmonic motion superposition of simple harmonic motion 简谐振动的合成简谐振动的合成*damped vibration forced vibration and resonance *阻尼振动阻尼振动 受迫振动和共振受迫振动和共振 2021/9/232simple harmonic motion 11.1
2、11.12021/9/234例如:例如:电路中的电流、电压或电场中的电场强度和磁场中电路中的电流、电压或电场中的电场强度和磁场中的磁感应强度随时间作周期性变化的磁感应强度随时间作周期性变化 电磁振动电磁振动或电磁或电磁振荡振荡等。等。广义振动广义振动:任一物理量:任一物理量(如位移、电流等如位移、电流等)在某在某一数值附近随时间作周期性变化。一数值附近随时间作周期性变化。掌握机械振动的基本规律是研究其它形式振动的基础。掌握机械振动的基本规律是研究其它形式振动的基础。简谐振动简谐振动(simple harmonic motion)亦称简谐运动简谐运动是最简单、最基本的振动理想模型。是最简单、最基
3、本的振动理想模型。它是研究各种复杂振动的重要基础。这里主要讨论简谐振动 SHM。机械振动机械振动 vibration or oscillation 物体在它的物体在它的平衡平衡位置位置附近所作的往复运动。附近所作的往复运动。2021/9/235以物体受力为零的平衡位置为坐标原点水平光滑面,弹簧劲度水平光滑面,弹簧劲度 质量可忽略,物体质量质量可忽略,物体质量物体在任一位物体在任一位置受的弹性力置受的弹性力以铅垂方向以铅垂方向 为摆角参考轴线为摆角参考轴线单摆在任一角位置 所受的重力矩为则则取摆幅很小取摆幅很小X正正X向向反反X向向(A A)弹簧振子)弹簧振子 (B B)单摆)单摆2021/9/
4、236或或质点在恢复力或恢复力矩的作用下的运动即为简质点在恢复力或恢复力矩的作用下的运动即为简谐振动谐振动简谐振动的动力学定义简谐振动的动力学定义X对于给定的弹簧振子 为常量,其比值亦为常量。令则即恢复力恢复力恢复力矩恢复力矩简谐振动动力学方程简谐振动动力学方程得2021/9/237简谐振动的速度简谐振动的速度A简谐振动的加速度简谐振动的加速度A应用转动定律,同理也可求得单摆的振动函数振动函数A为微分方程求解时的积分常量,由系统的初始条件系统的初始条件决定。A该微分方程的解通常表成余弦函数简谐振动函数简谐振动函数X对于给定的弹簧振子 为常量,其比值亦为常量。令简谐振动动力学方程简谐振动动力学方
5、程单摆:2021/9/238只要满足方程只要满足方程不管不管 x 是什么物理量,它的变化就一定是简谐振是什么物理量,它的变化就一定是简谐振动的形式,其动的形式,其角频率角频率就等于就等于 x 的的系数的平方根系数的平方根。注注 意意2021/9/239思考思考:地球,:地球,M、R 已知,中间开一遂道;小球已知,中间开一遂道;小球 m,从地表附近掉入隧道,问,小球是否作简谐振动?从地表附近掉入隧道,问,小球是否作简谐振动?是简谐振动是简谐振动2021/9/2310 试证明,若选取受力平衡点作为位置坐标原点,垂直弹簧振子与水平弹簧振子的动力学方程和运动函数相同。平衡点在受力平衡点小球受弹性力大小
6、选取选取受力平衡点受力平衡点作为位置坐标原点作为位置坐标原点小球在为置坐标 处所受弹性力合外力合外力运动函数运动函数A动力学方程微分方程的解:均与均与水平水平弹簧振子结果相同弹簧振子结果相同2021/9/2311XAAAA运动状态要由位置运动状态要由位置 和速度和速度 同时描述,而同时描述,而 和和 的正负取决于的正负取决于 弹簧振子单 摆一定的一定的相相 一定的运动一定的运动状态状态或或A振幅振幅 :的最大绝对值A周期周期:完成一次全振动所需要的时间频率:角频率:相位相位:是界定振子在时刻 的运动状态的物理量2021/9/2312由 和 求给定振子的振幅AAAA消去 得初相 由 和 求给定振
7、子的AAA消去 得 但由于 在 0 2p)范围内,同一正切值对应有两个 值,因此,还必须再根据 和 的正负进行判断。,不是指振动开始,而是指计时零点计时零点。所谓初相初相 :是时,振子的相位。时质点的运动状态运动状态AA位置速度初始条件初始条件即为2021/9/2313简谐振动的加速度简谐振动的加速度AA简谐振动的运动函数简谐振动的运动函数简谐振动的速度简谐振动的速度AAA最大最大最大AAA振动振动曲线曲线v is ahead of x /2 and a is ahead of x .2021/9/2315AAXXOjM(0)Aj初相M(t )ttM(t )tM(t )tM(t )M(t )t
8、M(t )tM(T)T周期 TM(t )tM(t )tXOjM(0)j初相初相M(t )tA矢量端点矢量端点在在X X 轴上轴上的投影对的投影对应振子的应振子的位置坐标位置坐标t 时刻的振动相位(w w tj j)旋转矢量旋转矢量A以匀角速逆时针逆时针转动循环往复x=A cos(w w tj j)简谐振动函数简谐振动函数Uniform Circular Motion(Rotating Vector)method2021/9/2316振子的运动速度速度(与 X 轴同向为正)其 速率w wAw wAj jtw w旋转矢量端点旋转矢量端点 MM 作匀速圆周运动作匀速圆周运动AXAAXOw wj jt
9、w wO 旋转矢量端点旋转矢量端点 MM 的加速度的加速度为法向加速度,其大小为为法向加速度,其大小为w wA振子的运动加速加速度(与 X 轴同向为正)w wAj jtw w2021/9/2317结论:结论:借助于匀速率圆周运动来研究简谐振动借助于匀速率圆周运动来研究简谐振动矢径矢径 A 振幅矢量振幅矢量 (旋转矢量旋转矢量 )OAw wx参考圆参考圆The projection of circular motion onto a straight line is SHM.radius-amplitudeangular speed-angular frequencyinitial angula
10、r displacement initial phase2021/9/2318xO1.若物体处于若物体处于正的极大位移处正的极大位移处,则在相量图中,则在相量图中,振幅矢量与振幅矢量与x轴的夹角为零,即轴的夹角为零,即与与x轴正向重合轴正向重合。2.若物体处于若物体处于负的极大位移负的极大位移处,则在相量图中,处,则在相量图中,振幅矢量与振幅矢量与x轴的夹角为轴的夹角为 ,即,即与与x轴负向重合轴负向重合。3.若物体处于若物体处于平衡位置平衡位置,则在相量图中,振幅矢,则在相量图中,振幅矢量量与与x轴垂直轴垂直。summaryvmvm2021/9/2323x4.一般情况下,物体处于任一位置处,
11、在相量图中,一般情况下,物体处于任一位置处,在相量图中,振幅矢量均对应两个位置。振幅矢量均对应两个位置。振幅矢量位于振幅矢量位于x轴上方;轴上方;振幅矢量位于振幅矢量位于x轴下方。轴下方。2021/9/2324oA-AtxT-AxToAt-AxToAtA/2难点难点如何根据振动曲线判断振动的如何根据振动曲线判断振动的初相初相?2021/9/23250.040.0412简谐振动的曲线完成下述简谐运动函数A=0.04(m)T=2(s)w w =2 /T T =(rad/s)0.04 2Aw w=/2 t=0v0 从 t=0 作反时针旋转时A矢端的投影从x=0向X轴的负方运动即 ,与 已知 X t
12、曲线一致v0SI2021/9/2326(1)(1)对对同一同一简谐振动,相差简谐振动,相差(不同时刻不同时刻)可以给出两振动可以给出两振动状态间变化所需的最短时间。状态间变化所需的最短时间。相差相差 phase difference2021/9/2327同频率同频率的简谐振动的简谐振动与时间与时间 t 无关无关(2)(2)对于对于两个两个同同频率频率的简谐振动,相差表示它们之间的简谐振动,相差表示它们之间步调步调上的上的差异差异。(解决振动合成问题)(解决振动合成问题)Phase difference of two SHM with same frequency相位差等于初相差相位差等于初相差
13、2021/9/2328分析:分析:步调相同步调相同同相同相(1)若若 ,即,即OA1w wxA2txoA1-A1A2-A2x1x2T同相同相two oscillators have same phase(in phase).2021/9/2329OA1w wxA2(2)若若 ,two oscillators have opposite phase(out of phase).x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相反相步调相反步调相反反相反相2021/9/2330 x2TxoA1-A1A2-A2x1t超前和落后超前和落后(3)当当 为其他值时,二者为其他值时,二者不同相不同相。若若 ,则则 x
14、2 比比 x1 较早达到同方向的较早达到同方向的极大值,称极大值,称 x2 比比 x1 超前超前 (或或 x1 比比 x2 落后落后)。Oxx2 比比 x1 超前超前注意:注意:领先、落后以领先、落后以 的相位角来判断的相位角来判断Oscillation2 is ahead of oscillation1Oscillation1 is behind of oscillation22021/9/2331 质量为质量为 10g 的物体沿的物体沿 x 轴作简谐振动,振幅轴作简谐振动,振幅 A=10cm,周期,周期 T=4.0s,t=0 时位移时位移 x0=5.0cm,且物,且物体朝体朝 x 方向运动
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