国家教师资格考试-高中数学学科知识与教学能力.ppt
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1、国家教师资格考试数学学科知识与教学能力数学学科知识与教学能力温州大学温州大学 黄友初黄友初大纲要求高中:大学本科数学专业基础课程的知识是指:数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学课程中与中学数学密切相关的内容,包括数列极限、函数极限、连续函数、一元函数微积分、向量及其运算、矩阵与变换等内容及概率与数理统计的基础知识。其内容要求是:准确掌握基本概念,熟练进行运算,并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。初中:大学专科数学专业基础课程知识是指:数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学专科数学课程中与中学数学密切相关的内容。其内容要求是:准确掌握基本概念,熟练进行运算,并能
2、够利用这些知识去解决中学数学的问题。数学分析数学分析函数与极限函数与极限求极限求极限:罗必塔法则、两个重要极限、无穷小量的等价替换、求分段函数的极限(用定义)、分母(分子)有理化;判断连续性判断连续性:一般为分段函数、判断间断点的类别。例例1 1解解方法:方法:以以分母分母中自变量的最高次幂除分子中自变量的最高次幂除分子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.例例2 2解解由准则由准则1得得例例3 3证证(舍去舍去)例例4 4解解例例5 5解解例例6 6例例7 7解解若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积,则若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积,则可对其中的任意一个或
3、几个无穷小因子作等价无可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换,而不会改变原式的极限穷小代换,而不会改变原式的极限1.跳跃间断点跳跃间断点例例4 4解解2.可去间断点可去间断点例例5 53.第二类间断点第二类间断点例例6 6解解例例8 8解解例例9 9解解导数与微分导数与微分复合函数求导、参数方程求导、取对数求导、隐函数求复合函数求导、参数方程求导、取对数求导、隐函数求导、拉格朗日中值定理、罗尔定理、柯西定理、函数的导、拉格朗日中值定理、罗尔定理、柯西定理、函数的极(最)值、凹凸性、曲率极(最)值、凹凸性、曲率分段函数的导数大多需要用定义来求。分段函数的导数大多需要用定义来求。例例1
4、010解解例例1111解解隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.观察函数观察函数先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法例例1212解解等式两边取对数得等式两边取对数得两边求导得两边求导得例例1313解解近似公式 由以上分析我们可知,当由以上分析我们可知,当|x|很小时,很小时,ydy,即,即令令得得例例1414解解例例1515解解例例1616解解例如例如,一、罗尔一、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理二、拉格朗日(Lagrange)中值
5、定理三、柯西(Cauchy)中值定理例例1717证证由上式得由上式得例18:设f(x)在0,1上二阶可导,且f(0)=f(1),证明存在使得解:令罗尔定理,因此在(0,1)内至少存在一点使得显然F(x)满足泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式曲线凹凸的判定定理定理单调增函数单调增函数如图,如图,弧微分公式弧微分公式)yxo(设曲线设曲线C是光滑的,是光滑的,(定义定义曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率2、曲率的计算公式、曲率的计算公式注意注意:(1)直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2)圆上各点处的
6、曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且且半径越小曲率越大半径越小曲率越大.积分积分不定积分、定积分、定积分的应用不定积分、定积分、定积分的应用注意:换元法注意:换元法解解解解令令得得原式原式将将x代替代替u得:得:例例 求求解解 令令例例 求积分求积分解解注意循环形式注意循环形式曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、直角坐标系情形一、直角坐标系情形xyo旋转体的体积为旋转体的体积为二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体,但却知道该立如果一个立体不是旋转体,但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积,那么,
7、这体上垂直于一定轴的各个截面面积,那么,这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积立体体积级数级数级数的收敛与发散;级数的收敛与发散;幂函数的收敛半径、收敛区间、收敛域、和函数幂函数的收敛半径、收敛区间、收敛域、和函数比较审敛法比较审敛法的极限形式:设1nnu与1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时,若收敛,则收敛;(3)当时,若1nnv发散,则1nnu发散;交错级数及其审敛法定义:正、负项相间的级数称为交错级数.任意项级数正项级数发散收敛故收敛域为故收敛域为(0,1.(0,1.解两边积分得高等代数高等代数行列式、逆矩阵、初等变换
8、、求秩、解方程、线性相行列式、逆矩阵、初等变换、求秩、解方程、线性相关和线性无关、二次型、特征值和特征向量关和线性无关、二次型、特征值和特征向量59(1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算.列标列标行标行标60(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号,蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号,蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式61例:解:62例:已知 求解:运算性质运算性质 例 设A为三阶矩阵 若已知|A|2 求|A|A2AT|解 (2
9、)664|A|3|A2|AT|A|A2AT|A|3|A2AT|A|3|A|A|A|A|6 64定理定理1 1 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ,且,且 这里这里 是行列式是行列式|A|A|中中 元素的代数余子式元素的代数余子式(注意注意:不是余子式)。:不是余子式)。65逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质66例:设为三阶方阵,|A|=1/2,计算 解:67例例6869 解解例例7071例题例题显然,非零行的行数为显然,非零行的行数为2,1、若2、若3、若,则该线性方程组无解。而且都等于n,则该线性方程组有且只有唯一组解。而且都小于n,则该线性方程组有无穷多组解。例:解方程组 解:为方
10、程的基础解系 方程的解为 如果一个方程组的系数矩阵的秩为,那它的基础解系有个解向量。例:求解下列非齐次线性方程组:解:对方程组的增广矩阵作如下初等变换:因此方程的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等都等于24因此方程组有无穷多组解。由上面矩阵可将方程组化为:得到方程组的一个特解:对应齐次方程组的基础解系有422个,我们取 分别得到一组线性无关的基础解系:故方程组的解为 说明说明一、特征值与特征向量的概念例例 设设求求A A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解得基础解系为:得基础解系为:相似矩阵与相似变换定定理理:设是阶方阵,则相似于一个对角阵的充分必要条件是恰有个线性无关的特征向量。其中为的个线
11、性无关的特征向量拼成的矩阵,且这个对角阵主对角线上的个元素就是的特征值。推论推论:阶阵有个不同的特征值,则必相似于一个对角阵。阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个重根,对应的特征矩阵的秩是。定义定义:设有n个变元 的二次多项式:称为是n个变元的实二次型。具有以下特点:1、每一项中变元的次数加起来都等于2。2、前面的系数等于,前面的系数等于 3、都是实数。若把实二次型写成以下形式:因此上式的系数就是一个方阵,因为 是一个对称实方阵,系数矩阵为:同时,我们也可以把二次型写成矩阵形式:例:求实对称矩阵对应的二次型:解:解析几何解析几何向量的点乘、叉乘,以及它们所表示的意义;向量的点乘、叉乘
12、,以及它们所表示的意义;曲线方程、曲面方程;曲线方程、曲面方程;直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。夹角。数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积乘积.解解定义定义关于向量积的说明:关于向量积的说明:/向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.可用三阶行列式表示可用三阶行列式表示/由上式可推出由上式可推出补充补充解解三角形三角形ABC的面积为的面积为旋转过
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