解析几何.doc
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1、解析几何解析几何常考要点与核心内容常考要点与核心内容一一 直线与圆直线与圆要求:熟练掌握基础知识直线与方程,圆与方程,倾角,斜率,两直线平行与垂直 的判定,圆的几何性质,点到直线距离公式等这一内容的相关题目一考查基础知识,基本技能为主复习时注意:熟练掌握直线方程的求法,注意点到直线距离公式的应用.注意利用圆的几何性质解决与圆有关的问题(提示:垂径定理,相交弦定理,切割线定 理等).对称问题中点 P 与关于直线 l 对称的充要条件是:中点在 l 上且与 l 垂直.PPPPP注意数形结合思想的应用.二二 圆锥曲线圆锥曲线曲线与方程:会利用已知条件求解曲线方程,求解时注意讨论取值范围.椭圆与双曲线:
2、注意:椭圆与双曲线几何性质的异同.往往处理问题的方式是一样的.相关定义,如实轴,虚轴,实半轴,虚半轴,长轴,短轴,长半轴,短半轴,离心率 等.注意相关几何性质:第一定义,第二定义,对称性等.要求:会求解相关方程(这类题目在高考中常见).会求双曲线渐进线.注意求解离心率与离心率取值范围的题目(这类题目在高考中常见).解决焦点三角形相关问题时,利用好第一定义,余弦定理和面积公式.PS:设圆锥曲线上有一点 P,圆锥曲线焦点分别为 F1,F2,对于F1PF2注意以下三个式子:角的正弦值一倍的两边长积乘以夹三角形面积等于二分之面积公式余弦定理定义式的平方抛物线:注意:定义及方程形式,注意与二次函数 ya
3、x2的区别与联系.当圆锥曲线方程确定时,焦半径长由焦点及焦半径与 x 轴所成角唯一确定.特别的:设 P 为抛物线 y22px(p0)上一点,F 为焦点, 为 PF 与 x 轴正方向所成 的角,则有:.cos1pPF三三 直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线相切:主要考察抛物线的切线,要求会求切线(一般利用求导的方法).注:抛物线 x22py(p0)中,过定点(m,0)(m0)的直线交抛物线于 A,B 两点. 过 A,B 做抛物线的切线,交于点 C则点 C 过定直线.注:圆锥曲线切线的一些性质:P 为椭圆上一点,F1,F2为椭圆焦点,则过 P 点的切线的法12222 by ax0 ba线平
4、分(即切线平分的外角)21PFF21PFFP 为双曲线 上一点,F1,F 为其焦点,则过 P 点的切线平分12222 by ax0, 0baF1PF2P 为抛物线 y22px(p0)上一点,F 为其焦点,则过 P 点的切线的法线平分 PF 与水 平线(这里指与 x 轴平行的直线)的夹角.光学性质:抛物面镜,可将焦点处电光源发射的光反射成平行光.直线与圆锥曲线有两个交点:直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的热点,题目主 要以解答题形式出现.常见的有求弦长,焦点弦长,弦中点问题,取值范围最值等问题.希 望同学们在解决问题时注意利用一元二次方程相关结论(判别式,韦达定理),函数的性质 (主要是单调性
5、),不等式,平面向量等知识. 这类题目重在考察学生基本的数学素质与数 学能力,难度多为中等偏难题,运算量思维量大,综合性较强.注:常见问题的解决方法(这里设直线 l 截圆锥曲线 F(x,y)0,交 F(x,y)0 于两点 A(x1,y1),B(x2,y2).)韦达定理弦长公式2212 21111ABABkyykxxAB中点弦,弦中点AB 中点 M(x0,y0)与 AB 斜率的关系将 A,B 坐标代入圆锥曲线方程,这里以双曲线为例,代入12222 by ax0, 0baA,B 坐标后得到二等式:12222 by ax0, 0ba122 2 22 2by ax0, 0ba二式相减,得022 22
6、1 22 22 1 byy axx利用平方差公式,化简后得到等式:2121 222121 yyxx ba xxyy 从而有00 22yx bakAB焦半径与焦点弦焦半径公式对于圆锥曲线 C,P 为 C 上一点,F 为 C 的焦点,l 为 F 相应准线.过 F 作 FGl 于G,设 p 为 F 到 l 的距离, 为到的角.e 为离心率,则 PF 的长满足GFFPcos1 eepPF推导还是比较简单的,这里以抛物线(抛物线的离心率 e1)为例如图,设 P 为抛物线 y22px(p0)上一点,F 为焦点, 为 PF 与 x 轴正方向(也就是)所成的角,过 P 作 PMx 轴于 M,PP1准线 l 于
7、 P1.则|FG|p(焦点到准线的距离GF是 p).|PP1|PF|(抛物线定义),|PP1|GM|(垂直)所以|PF|GM|GF|FM|在 RtFMP 中,|FM|FP|cos,从而有|PF|p|PF|cos,化简后即可得到cos1pPF当然,这只是 (0,)时的情况,其他情况通过分类讨论也是容易得到的.焦点弦长公式由上面的公式,易知,若为焦点弦,则PPPFFPPP从而利用上面的焦点弦长公式,可得到22cos12 cos1cos1eep eep eepPP公式特点:这一公式刻画了焦点弦长与所在直线倾角之间的关系.焦点弦与第二定义圆锥曲线 C,F 为 C 的焦点,l 为 F 相应准线.交 x
8、轴于 M,弦 AB 过 F.如图,过 A,B 作l 于,l 于.设 e 为 C 的离心率AA ABBB此时,梯形为直角梯形.ABBA所以,由第二定义:BBBFeAAAF从而MBMA BFAF BBAA 所以MAAMBB由相似,我们可以得到 MF 平分AMB.当然,利用梯形的几何性质,我们还可以得到更多的结论,有兴趣的同学可以去研究 一下.这里只给出这一简单的几何性质,目的是提示同学们注意这一以焦点弦为一腰的直角 梯形.不一定经过焦点的弦定比分点公式韦达定理椭圆与双曲线抛物线(1)注意直线与抛物线联立的特点设抛物线 y22px(p0)与直线 l:myxt 交于 A,B 两点.l 交 x 轴于(t
9、,0)直线方程 myxt(注意这样设直线的好处)与抛物线 y22px 联立后利用韦达定理可以得到 x1x2t2,y1y22pt这时 x1x2和 y1y2由 t 决定,注意 t 的几何意义(直线 myxn 与 x 轴交点的横坐标)若 t 一定,则 x1x2和 y1y2为定值.(2)直线 AB 的方程可以直接利用 AB 的坐标表示.(利用两点式或点斜式设出直线方程 代入 A,B 点坐标,注意 A,B 都在抛物线上,从而可以将直线方程化简)化简结果 AB:pxyyyyy22121四四 综合问题综合问题圆锥曲线有关的最值,定值,参数的取值范围取值范围问题注意:根据已知条件利用韦达定理,将几何问题转化为
10、解含参数的不等 式问题或不等式恒成立问题.过定点,有定向问题:利用韦达定理,积累二级定理公式这里提供一个定理,有兴趣的同学可以自己证明并将其推广:设 P 为圆锥曲线上一点,过 P 作圆锥曲线的两条弦 PA,PB,交圆锥曲线于 A,B 两 点当 KPAKPB为定值或 KPAKPB为定值时,弦 AB 过定点或有定向.(同学们可以先证明这一 定理在抛物线中的情况,然后尝试推广到椭圆和双曲线)在复习解析几何时希望同学们注意选择适合自己的复习策略.在练习时注意要多练多算,解题时一定要动笔算,不能想出思路后就过了.记住,运算出错是因为你算的不够多,该犯的错误还没有犯够,解析几何中尤其要注 意练习运算能力.
11、 基础篇基础篇10 课标课标 (15)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 yx1 相切于点 B(2,1),则圆 C 的方程为2322yx考点考点:直线与圆的方程 规律方法规律方法:圆的几何性质 解析解析:设圆心坐标为,由圆的几何性质,CB 与直线 yx1 垂直且交 yx1 于baC,B.同时,圆心在 AB 垂直平分线上,故圆心横坐标为 3,即 a3.CB 斜率即1231b,所以圆心坐标为 C(3,0).,所以圆的方程为0b2 CBrC2322yx答案答案:2322yx(14)直线与圆相交于、B 两点,则_.052 yx822 yxAAB考点考点:直线与圆的方程 规律方法规律方法:圆的几何性质点
12、到直线距离公式解析解析:圆心为(0,0),半径为22圆心到直线的距离为052 yx5 2150022 d故 222 2252 AB得|AB|32答案答案:3210 广东广东12已知圆心在轴上,半径为的圆位于轴左侧,且与直线相切,x5Oy02 yx则圆的方程是_O 考点考点:直线与圆的方程 规律方法规律方法:圆的几何性质,点到直线的距离公式解析解析:设圆心为,则,解得00 ,aa5 210222 ar5a答案答案:5522yx10 江西江西 8直线与圆相交于 M,N 两点,若3 kxy42322yx,则 k 的取值范围是32MNAB 0 ,43 , 043,CD 33,33 0 ,32考点考点:
13、直线与圆的位置关系、点到直线距离公式, 规律方法规律方法:数形结合的运用., 解析解析:圆心的坐标为(3,2),且圆与 y 轴相切.当时,32MN利用垂径定理的图形,可得:弦心距2半弦长2r2.从而可知弦心距21 所以 0弦心距1再由点到直线距离公式,解得; 0 ,43答案答案:A10 上海上海 3动点到点的距离与它到直线的距离相等,则的轨迹P0 , 2F02 xP方程为_考点:考点:考查抛物线定义及标准方程解析:解析:定义知的轨迹是以为焦点的抛物线,p2 所以其方程为 y28xP0 , 2F也可以利用距离公式求解,求得 y28x22(2)2xyx答案:答案:xy8210 福建福建 2以抛物线
14、的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )xy42AB0222xyx022xyxCD022xyx0222xyx考点考点:本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法,属基础题 解析解析:因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0),即所求圆的圆心,又圆过原点,所以圆的半径为,故所求圆的方程为,即,选 D1r1122yx0222yxx答案答案:D10 陕西陕西 8已知抛物线的准线与圆相切,022ppxy07622xyx则的值为pAB1C2D41 2考点考点:本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系解析解析:抛物线 y22px(p0)的准线方程为,因为抛物线 y22px(p0)的准2px线与圆(x
15、3)2y216 相切,所以,423p2p答案答案:C10 北京北京 13已知双曲线的离心率为 2,焦点与椭圆的焦点相12222 by ax192522 yx同,那么双曲线的焦点坐标为_;渐近线方程为_.考点:考点:椭圆与双曲线焦点坐标的求法以及双曲线的渐近线解析:解析:双曲线焦点即为椭圆焦点,不难算出为,又双曲线离心率为 2,即0 , 4,故,渐近线为2ac4c2a32bxxaby3答案答案:,0 , 4xy310 全国全国 II (12)已知椭圆:的离心率为,过右焦点C12222 by ax0 ba23且斜率为的直线与相交于、两点若,则F0kkCABFBAF3kA1BCD223考点考点:本试
16、题主要考察椭圆的性质与第二定义.解析:解析:设直线 l 为椭圆的有准线,e 为离心率,过 A,B 分别作 AA1,BB1垂直于l,A1,B 为垂足,过 B 作 BE 垂直于 AA1与 E,由第二定义得,eAFAA 1,由,得,所以|AB|4|BF|eBFBB 1FBAF3eBFAA31,2 13cos423BF AEeBAEBBFAe36sinBAE2tanBAE即,故选 B. (将 AB 念成 AE)2k答案答案:B10 全国全国 II (15)已知抛物线:的准线为 ,过且斜率为Cpxy220pl 0 , 1M的直线与 相交于点, 与的一个交点为若,则_3lAlCBMBAM p考点考点:本题
17、主要考查抛物线的定义与性质.解析解析:过 B 作 BE 垂直于准线 于 E,M 为中点,lMBAM ,又斜率为,ABBM213,M 为抛物线的焦点,2.30BAEABBE21BEBM p本题亦可以利用定比分点公式,设出 A,B 坐标,. 0,2ypA 02 0,2ypyB利用题目条件可列出方程 ,即可求得结果 p=2.2222 0pyp3 120 py答案答案:210 课标课标 (12)已知双曲线的中心为原点,是的焦点,过的直线 与相E0 , 3FEFlE交于 A,B 两点,且 AB 的中点为,则的方程式为15,12 NEAB16322 yx15422 yxCD13622 yx14522 yx
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