(5.5.1)--第20讲正定二次型与正定矩阵.pdf
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1、第第 20 讲讲 正定二次型正定二次型与与正定矩阵正定矩阵 n判判断断 元元二二次次型型.是是否否为为正正定定二二次次型型1212111(,)nnniiiiif xxxxx x 20.1题题nf元元二二次次型型的的矩矩阵阵记记为为解解11/21/21.11/21/21nA nA下下面面计计算算.nfA是是正正定定二二次次型型等等价价于于是是正正定定矩矩阵阵.n 的的行行列列式式11/21/211/2det1/211n ,显显然然11,23/4.3.n 设设1(1/2)第第 行行乘乘2加加到到第第 行行11/203/41/2det1/211 2(4/6)第第 行行乘乘3加加到到第第 行行11/2
2、03/41/2det04/61/21/21 3(6/8)第第 行行乘乘4加加到到第第 行行11/203/41/2det04/61/205/8 3 4114 62(1)2nnnn 1.2nn ,由由此此可可得得1231 10,0,0.42nnn ,因因此此,于于是是由由赫赫尔尔维维茨茨定定理理可可知知.nA 是是正正定定矩矩阵阵 .f 是是正正定定二二次次型型说说明明.nnA 我我们们也也可可以以用用下下面面的的方方法法求求的的行行列列式式11/21/21det11/21/21n 21121det.22112n 2112det,2112nT 令令4.22,由由例例可可知知122.nnnTTT由由
3、此此可可得得.nT那那么么是是三三对对角角矩矩阵阵的的行行列列式式,显显然然122,3.TT3.n 设设112nnnnTTTT23nnTT 21TT1.,因因此此1.nTn,于于是是1.2nnn ,Am是是阶阶正正定定矩矩阵阵设设20.2题题.mnB 是是实实矩矩阵阵证证明明TB AB实实对对称称矩矩阵阵为为正正定定矩矩阵阵的的充充分分必必要要条条件件是是r().Bn T,B AB设设为为正正定定矩矩阵阵0.BX 那那么么齐齐次次方方程程组组有有非非零零解解那那么么二二次次型型TT()()f XXB AB X 必必要要性性证证明明.是是正正定定的的r(),Bn 如如果果因因为为TTTTTTT(
4、)(),B ABB ABB ABT.B AB所所以以是是实实对对称称矩矩阵阵T.B AB显显然然是是实实矩矩阵阵于于是是.f这这与与是是正正定定二二次次型型相相矛矛盾盾TT()()0.f B AB,因因此此r().Bn 充充分分性性r().Bn 设设设设实实向向量量 满满足足TTT()()()()0,f B AB BA B,A是是正正定定那那由由矩矩阵阵可可知知么么0.B f这这说说明明是是正正定定r(),Bn 因因为为0.BX 所所以以齐齐次次方方程程组组只只有有零零解解00.B于于是是意意味味着着这这样样我我们们就就证证明明了了满满足足()0.f 的的实实向向量量 只只能能是是零零向向量量
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- 5.5 20 定二次型 正定 矩阵
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