复变函数复变函数复变函数 (50).pdf
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_05.gif)
《复变函数复变函数复变函数 (50).pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《复变函数复变函数复变函数 (50).pdf(10页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、141 第五章第五章 解析函数的解析函数的 laurent 展式与孤展式与孤立奇点立奇点 在第四章里,我们已经建立了区域 D 内解析的函数与幂级数的等价关系,也有用到了泰勒级数表示图形区域内的解析函数是很方便的。但对特殊的函数(如圆心为奇点的函数)就不能在奇点的领域内表示成泰勒级数,为此,本章将建立在圆环内解析函数的级数表示,并用它的工具来研究解析函数在其孤立奇点领域内的性质.通过圆环内解析函数的级数展开,我们的到来推广了的幂级数Laurent 级数,它既可以是函数在其孤立奇点去心领域内的幂级数展式,反之,以它为工具又可研究解析函数连去心领域内的性质.泰勒级数与洛朗级数是研究解析函数的有力工具
2、.本章主要参考文献 【1】,【3】【6】1、解析函数的解析函数的 Laurent 展式展式 一一 、目的和要求目的和要求 1、了解双边幂级数极其收敛圆环内的性质.2、掌握 Laurent 定理及其与泰勒定理的关系.3、掌握求 Laurent 展式的常用方法及 Laurent 展式的初步应用.二二、重难点重难点 1、重点 双边幂级数,Laurent 定理,Laurent 展式.2、难点 Laurent 展式求法及其应用.三三、教学方法教学方法 采用启发式的课堂讲授法.四四、教学手段教学手段 电教,CAI 演示(2 课时)课时)(一一)双边幂级数双边幂级数 我们已知幂级数 2012()()()nn
3、cc zac zac za+(5.1)在其收敛圆(0)zaRR+内表示一个解析函数,考虑级数 122+()nnccczazaza+)(5.2)作代换 1za=则它表示一个幂级数 142 212nnc cc+212nnccc+,若其收敛区域为(0)rr+则 1zar(0)r+内表示一个解析函2()fz 定 理定 理 5.15.1 形 如()nnncza=的 函 数 项 级 数 称 为 双 边 幂 级 数.其 中0z,()0ncrzaR+,易得 00()nnzz=及0()nnnczz=均收敛且有公共收敛域()nnnnczz=.由以上讨论及定理 4.10,定理 4.13 易得.定义定义 5.1 5.
4、1 设双边幂级数()nnncza=的收敛圆环为 H()0rzaR+,则 (1)()nnncza=在 H 内绝对收敛且内闭一致收敛于()()()12f zfzfz=+,其中 (2)()f z在 H 内解析.(3)()()nnnf zcza=在 H 内可以逐项求导()1,2,3pk k=,还可以沿 H 内曲线逐项积分.注注 该定理对应于 Th4.13 (二二)解析函数的解析函数的 Laurent 定理以及定理以及 Taylor 定理的关系定理的关系 1 1、LaurentLaurent 定理定理 前面指出 双边幂级数在其收敛圆环内表示解析函数,反之亦有.定理定理 5.25.2(洛朗定理)(洛朗定理
5、)在圆环内 H:0Rrza+解析的函数()f z必可以展成双边幂级数(即洛朗级数)()()nnnf zcza=其中洛朗系数 10()()nnfzc za=21()()nnnfzcza=143 11()2()nnTfcdia+=()0,1,n=为圆周 a=(0R的任何数)并且展式是惟一的.证证 设为圆环 H 内的任意点,在 H 内作圆环 12:HZa,使zH,且 12rR,记 11a=:2:2a=由于()f z在闭圆环H上解析,据 Cauchy 积分定理有 ()()()211122fff zddiziz=(1)当时,有级数 n+10111()()()()(1)nnzazaza zaaaa+=)(
6、2)一致收敛 当1 时,有级数 1011()-()()(1)nnnazazzazaa+=(3)一致收敛.将(2),(3)分别代入(1)式,然后逐项求积分,我们就可以看到()f z有展式 其中()()2112nnfcdia+=()0,1,2n=()()1112nnfcdia+=根据复周线的 Cauchy 积分定理,对()zarR=:,有 z2()()nnnf zcza=144 ()()()()()11110,1,2,22innnffcddniiaa+=()()()()()111110,1,2,22nnnffcddniiaa+=于是系数可统一成 11()2()nnfcdia+=)z(n 因为系数n
7、c与我们所取得无关,故在圆环 H 内,有 .(2)唯一性 若()f z在圆环 H 内又能展成()()nnnf zcza=,据定理 5.1 知 它在圆周()zarR=:上一致收敛.乘以上的有界函数()11mza+后仍一致收敛,故可逐项积分()11()()n mnmnfdcada+=又重要积分知 右端级数中 n=m 那一项积分为2 i,其余多项为 0,则 ()11()0,1,2()mmfcdmia+=故()0,1,nnccn=注注 此处展式的唯一性指的是()f z与圆环 H 唯一确定了系数 nc,但同一个函数在不同环内展式自然是不同的。当已给函数在 a 点解析时,收敛圆环就退化成收敛圆:KzaK,
8、此时洛朗定理就是泰勒定理,洛朗系数就是泰勒系数,也只有此时,洛朗系数除了有上述积分形成外,还有微积分形成()()nfan也只有这时,洛朗级数才退化成泰勒级数。因此,泰勒级数是洛朗级数的特殊,即()0ncnZ=.在求一些初等函数的 Laurent 展式时,往往不直接用公式,而是主要通过间接法,z()()nnnf zcza=145 即据洛朗展式的唯一性,通过利用已知初等函数的泰勒展式来展开.例例 2 2 求()()11f zz z=在适当圆环内的洛朗展式.分析分析 ()f z在c上只以0,1,z=为奇点,故此半平面被分成 (1)01z(原点的去心领域,f最大解析邻域)(2)1z+(点无穷的去心邻域
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 复变函数复变函数复变函数 50 函数 50
![提示](https://www.deliwenku.com/images/bang_tan.gif)
限制150内