复变函数复变函数复变函数 (14).pdf
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1、函数解析的充要条件及 C a u c h y-R i e m a n n 方程的不同形式摘要:解析函数是复变函数论中最基本的概念之一,在这里给出了五个函数解析的充要条件,还推导出函数解析的另一个充要条件,并探讨出 Cauchy-Riemann 方程另外两种形式.关键词:解析函数;充要条件;柯西黎曼方程中图分类号:O 1 7 4.5文献标识码:A文章编号:1 6 7 3-2 6 0 X(2 0 1 3)0 7-0 0 0 7-0 21五个常见充要条件引理1函数在区域 D内解析的充要条件是:二元函数 u(x,y),v(x,y)在区域 D内可微且 u(x,y),v(x,y)在 D内满足C.-R.方程
2、.引理2函数 f(z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域 D内解析的充分必要条件是:ux,uy,vx,vy在 D内连续且 u(x,y),v(x,y)在 D内满足C.-R.方程.引理3函数 f(z)在区域 G内解析的充要条件是:f(z)在G内连续;且对任一周线 C,只要 C及其内部全含于 G内,就有c乙f(z)d z=0.引理4函数 f(z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域 D内解析的充要条件是:在区域 D内 v(x,y)是 u(x,y)的共轭调和函数.引理5函数 f(z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域 D内解析的充要条件是:f(z)在 D内任一点 a 的邻域内可展成 z-a
3、的幂级数.2函数解析另一个充要条件函数 f(z)=u+i v 解析的充分必要条件 fz軃=0.证明必要性f=f(z)-f(z0)=u+i vu=uxx+uyy;v=vxx+vyy;f=u+i v=(ux+i vx)x+(uy+i vy)yf=fxx+fyyz=x+i yz軃=x-i軃y圯x=z+z軃2y=-iz-z軃2軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃圯x=z+z軃2y=-iz-z軃2軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃f=fxz+z軃2+fy-iz-z軃2軃軃=12(fx-i fy)z+12(fx-i fy)z軃(1)f=f z z+fz軃z軃(2)故由(1)(2)知fz=12(fx-i fy)fz軃=12(
4、fx+i fy軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃)(3)fz軃=12(fx+i fy)=12(ux+i vx)+12i(uy+i vy)=12(ux-uy)+12i(uy+vx)(4)而 f(z)是解析函数,由 C.-R.得,ux-vy=0,uy+vx=0,代入(4)即 fz軃=0.必要性:fz軃=12(ux-vy)+12i(uy+vx)=0ux-uy=0,uy+vx=0ux=uyuy=-vx軃圳C.-R.u,v 可軃微圳f(z)解析,证毕.3Cauchy-Riemann方程另两种形式3.1 极坐标下的柯西黎曼方程为r ur=vr vr=-u軃证明若 f(z)=u(r,)+i v(r,)z=r ei=r(
5、c o s+i s i n)=x+i yf(z)=u(r,)+i v(r,)=ux2+y2姨,k+a r c t a nyx姨姨+i vx2+y2姨,k+a r c t a nyx姨姨p(x,y)=ux2+y2姨,k+a r c t a nyx姨姨q(x,y)=vx2+y2姨,k+a r c t a nyx姨姨f(z)=p(x,y)+i q(x,y)px=urrx+ux=urxx2+y2姨-uyx2+y2py=urry+uy=uryx2+y2姨+uxx2+y2qx=vrrx+vx=vrxx2+y2姨-vyx2+y2qy=vrry+vy=vryx2+y2姨+vxx2+y2而 f(z)=p(x,y
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