8.7 泰勒级数和麦克劳林级数 托马斯微积分.ppt
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1、第七节这个函数相等吗?和函数求 和展 开用处:用多项式逼近一般函数,近似计算。用处:用多项式逼近一般函数,近似计算。函数的泰勒级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八章 一个幂级数的和函数在其收敛区间内是任意阶可导的,反问题:函数在一个区间上任意阶可导,如何将其表示成为幂级数;这个幂级数收敛吗?此级数的和函数与一、泰勒一、泰勒(Taylor)级数级数 其中(在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项拉格朗日余项.则在若函数的某邻域内具有 n+1 阶导数,此式称为 f(x)的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,该邻域内有:机动 目录 上页 下页 返回 结束 为f(x)的泰勒泰勒(Taylor)级数级
2、数.则称当x0=0 时,泰勒级数又称为麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)级数级数.若函数的某邻域内具有任意阶导数,教材上称生成求由函数在 a=2 生成的泰勒级数,级数在其收敛域上是否收敛于f(x)。1)对此级数,它的收敛域是什么?2)在收敛域上,和函数是否为 f(x)?待解决的问题:由函数生成的幂级数(幂级数的部分和是多项式),函数在区间上可展开成泰勒级数是指:在此区间上收敛,且收敛于原函数。给定一个无穷可微函数,就可以生成其泰勒级数。定理定理1.各阶导数,则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f(x)的泰勒公式中的余项满足:证明证明:令设函数 f(x)在点 x0 的某一邻域
3、 内具有机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.若 f(x)能展成 x 的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证证:设 f(x)所展成的幂级数为则显然结论成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 公式 称为 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式.公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项.泰勒(中值)定理泰勒(中值)定理:阶的导数,时,有其中则当泰勒 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 1.直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在 x=0 处的值;第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径 R;第三步
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