群论-1-群论基础ppt课件.pptx
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1、严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。物理学中的群论主讲 翦知渐 群论基础 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。群论教材:自编参考书:群论及其在固体物理中的应用 (徐婉棠)物理学中的群论(马中骐)物理学中的群论基础(约什)教材与参考书严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。群论 物理学中的群论第五章 群论在量子力学中的应用第一章 群论基础第二章 晶体对称群第三章 群表示理论第
2、四章 三维转动群严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。群论-群论基础1.5 正规子群和商群1.6 直积和半直积1.7 对称群群的基本概念和基本性质1.8 置换群1.1 集合与运算1.2 群的定义和基本性质1.3 子群及其陪集1.4 群的共轭元素类第一章 群论基础严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。0 绪论群论的发展历史群论在数学中的作用我们为什么要学习群论群论-群论基础-集合与运算严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时
3、发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。1.1 集合与运算抽象代数的基本概念集合的乘积:乘积:直积直积内积内积集合:抽象代数研究的对象集合的势1 集合集合群论-群论基础-集合与运算返回严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。定义:设 A 与 B 是两个集合,若有一种规则 f,使得A的每一个元素在 B 上都有唯一的元素与之对应,这种对应规则f 就称为 A 到 B 的一个映射,记为 f:A B 或写为 f:x y=f(x),式中 y 称为 x 在B 上的象,而 x 称为 y 在 A 上的原象。对应规则:与函数的比较2 映
4、射映射群论-群论基础-集合与运算严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。变换变换:体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换若f 是一一映射,则称为对称变换一一变换有性质:f f-1=f-1f=e满射 单射 一一映射逆映射:f-1恒等映射:e群论-群论基础-集合与运算严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。定义:若对 A 上的每一对每一对有序元(a,b),在 A 上有唯一确定的 c 与之对应,即有一规则 R 使得 AA A,则 R 称为 A上的一个二
5、元运算二元运算,记为R:AA A,或 R:(a,b)c=R(a,b)一般记为c=ab,或c=ab。二元运算一般也称为“乘法乘法”数值加法 数值乘法 对称操作 3 二元运算二元运算集合的所有代数性质都由其乘法结果决定群论-群论基础-集合与运算严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。mAklOBCeabklmeeabklmaabemklbbealmkkklmeabllmkbeammklabeD3乘法表:有限集群论-群论基础-集合与运算严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违
6、纪行为或突发事件。设 A 和 B 是两个不同集合,其中分别定义了乘法 和 ;若有满射满射 f,使得对于 yi=f(xi),yj=f(xj)来说有 f(xi xj)=f(xi)f(xj)即像的乘积像的乘积=乘积的像乘积的像则称 f 为 A到 B的同态同态,记为 A B 4 同态与同构同态与同构群论-群论基础-集合与运算严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。物理上,同构的集合有分别:G=e,c2 和 G=e,ci 1:1同构同构:乘法表完全一样的结构,只是换了记录的符号数学上,同构即是同一例如:G=e=a4,a,a2,a3
7、G=1,i,-1,-i 同态映射若是一一映射 同构:同构:A=B群论-群论基础-集合与运算严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例如:G=e,a,a2,a3 G=1,-1 二对一的同态 4:1同态同态:A 到B的等比例缩小等比例缩小保持乘法结构:f(xi xj)=f(xi)f(xj)设 f(xi)=y(i=1,2,l),则对于所有的i,有f(xi x)=f(xi)f(x)=y f(x)所有的xi x对应于同一个元群论-群论基础-集合与运算严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并
8、处理各类违纪行为或突发事件。1.2 群的定义和基本性质什么是群?G=e,g2,gi,是一个集合,其中定义了乘法。如果对于所定义的乘法,以下四个条件成立,则集合G 称为群:1)闭合律闭合律:gi gj G,gi,gj G 2)结合律结合律:gi(gj gk)=(gi gj)gk,gi,gj,gk G3)存在单位元存在单位元:gi e=e gi=gi,gi G4)存在逆元素存在逆元素:gi G,gi-1 G,使得gi gi-1=gi-1 gi=e广群,半群,幺半群1 定义定义群论-群论基础-集合与运算严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行
9、为或突发事件。1)1:只含一个元素的群,1 即是单位元 e。2)1,-1:这个集合对普通乘法构成一个群。e,I:e 为恒等操作,I 为反演操作;乘法:变换合成。3)1,i,-1,-i:四个元素的集合对普通数值乘法构成群。e,a,b,c:乘法定义为:a2=b2=c2=e,ab=c,bc=a,ca=b,其中乘法可交换次序。4)全体实数对普通加法构成群。除 0 之外的所有实数对普通乘法构成群。5)全体 n 阶非奇异方矩阵的集合对矩阵的乘法构成群。6)D3 群。2 群的例子群的例子群论-群论基础-集合与运算严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪
10、行为或突发事件。1)阿贝尔群:交换群2)有限群:可给出群表3)无限群:离散群,连续群4)群元素的阶:gn=e 群阶:|G|5)生成元:通过乘法产生群G的最小子集6)循环群:一个生成元循环群:一个生成元3 一些基本概念一些基本概念群论-群论基础-集合与运算严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。设G=gi 是一个群n gi,gj G,方程 gi x=gj,x gi=gj 有唯一解(gi-1)-1=gi(gi gj)-1=gj-1 gi-1n单位元唯一唯一;逆元素唯一唯一n若 群 G=e,g2,gi,与 群G=e,g2,gj,
11、同态或同构,则:G 的单位元 e 的象是 G 的单位元 eg G,设g 的象是 g,则 g 的逆元 g-1 的象是 g-14 一些基本性质一些基本性质群论-群论基础-集合与运算严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。设 G 是一个 N 阶群,则 G 的每一个元素在群表的每一行以及每一列中出现且只出现一次。若 f 是群元的任意函数,则有推论定理1.1 有限群重排定理群论-群论基础-集合与运算严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。设 H 为 G的一个子集
12、,若它对对G的乘法构成群的乘法构成群,则称 H 为 G 的子群1.3 子群及其陪集n 平凡子群,真子群n 判别方法:符合以下两个条件的 G 的子集 H 是 G 的子群:若 gi,gj H,有 g i g j H若 gi H,则gi-1 H对于有限群,只要满足第一个条件,即乘法的封闭性乘法的封闭性,就可证明 H 是 G 的子群。1 子群子群群论-群论基础-子群及其陪集严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。设 H=e,h2,hm 是 G 的一个子群,对于某个元素g G,集合 gH=g,gh2,ghm 称为 H 的一个左陪集左
13、陪集。n 陪集的代表元代表元 n 若某个 qgH,则有 qH=gH(因 q=ghi)陪集中任意元形成的陪集相同,或者说陪集中任意元可作为此陪集的“代表元”u 右陪集:H 的右陪集和左陪集有同样的性质。左陪集 qH 和右陪集 Hq不一定相等。2 陪集陪集群论-群论基础-子群及其陪集严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。根据陪集的性质,可以得到结论:任意两个左陪集任意两个左陪集 xH 和和 yH,要么完全相同,要么完全不同,要么完全相同,要么完全不同母群的每个元素都一定在子群的某个陪集中;每个陪集的元素个数相同;所有陪集要么
14、没有公共元,要么全同所以母群一定可以划分为子群的不同陪集的集合3 拉格朗日定理拉格朗日定理n H 的所有左陪集都包含有相同数目相同数目的元素n 若g H,则 gH=H;若 g H,则 gH H=群论-群论基础-子群及其陪集严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。定理定理1.2 拉格朗日定理拉格朗日定理:设 H 是 G 的一个子群,则 G 的阶|G|一定是 H 的阶|H|的整数倍,即|G|=k|H|。其中 k 是正整数,称为 H 在 G 中的指数指数,实际上也就是 G中含 H的陪集数。推论推论(定理(定理1.2 的推论):的
15、推论):若群 G 的阶为素数时,G 没有真子群,而且 G 必为循环群。群论-群论基础-子群及其陪集严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。H1=e,a,b 例:D3只有三阶子群和二阶子群,即H1和H2H2=e,k左陪集(两个)右陪集(两个)eH1=aH1 =bH1 =e,a,b H1 e =H1 a =H1 b=e,a,b kH1 =lH1 =mH1 =k,l,m H1 k =H1 l =H1 m=k,l,m 左陪集(三个)右陪集(三个)eH2 =kH2 =e,k H2 e =H2 k =e,k aH2 =mH2 =a,m
16、 H2 a =H2 l =a,l bH2 =lH2 =b,l H2 b =H2 m =b,m 群论-群论基础-子群及其陪集严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。群论-群论基础-共轭元素类设 g 是 G的一个元素,x G,元素g=xgx-1 称为 g 的共轭元素共轭元素,而 g 和 g 具有共轭关系。1.4 共轭元素类如果 G 是矩阵群,则共轭关系就是相似变换,共轭元素就是相似矩阵。n 自反性:即 G 的任一元素与自身共轭n 对称性:即 gi 是gj 的共轭元素,则gj 也是gi 的共轭元素n 传递性:若gi 与gj 共轭
17、,而gj 与gk 共轭,则gi 也是gk 的共轭元素共轭关系是一种等价关系等价关系等价关系联系起来的内部结构1 共轭关系共轭关系严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。群论-群论基础-共轭元素类G 中所有相互共轭的元素构成的集合,称为共轭类共轭类设 g是gi 的共轭元素,即存在xG,使得g=xgi x-1。当x 走遍G 的所有元素时,所有不同的g 构成的G 的子集,称为G 中含gi 的共轭类,记为 Ci=g1,g2,gm n 同类元素有相同的阶相同的阶。直接验证即可。n 两个类不能有公共元素,否则它们是同一个类。根据共轭关
18、系的传递性传递性可知,若两个类有公共元素,则这两个类的所有元素都是相互共轭的,自然组成一个类。2 共轭类共轭类严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。群论-群论基础-共轭元素类n 单位元自成一类 单位元可与任何元素交换乘积次序n 阿贝尔群的所有元素各成一类;循环群等,群元乘积可交换次序可交换次序n 矩阵群:共轭关系对于矩阵是相似变换,而矩阵的相似矩阵的相似变换不改变矩阵的迹,相似矩阵有相同的迹变换不改变矩阵的迹,相似矩阵有相同的迹,所以 同一个类的矩阵有相同的迹同一个类的矩阵有相同的迹严格执行突发事件上报制度、校外活动报批
19、制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。群论-群论基础-共轭元素类n 群G 中任何一个类Ci 满足:x G,xCi x-1=Ci 。因为所有形如xgix-1 的元素都是共轭的,而且每个都互不相同,个数与Ci 中一样,所以xCi x-1=Ci。n 逆类逆类:若 Ci=g1,g2,gm 是群 G 的一个共轭类,集合 Ci=g1-1,g2-1,gm-1 也是G 的一个共轭类,称为Ci 的逆类。设gi,gj Ci,有xgix-1=gj,所以可以得到(xgi x-1)-1=(gj)-1也就是说 xgi-1x-1=gj-1,可见gi-1 和gj-1 也属于一个类。又因为x
20、Ci x-1=Ci,所以有xCi x-1=(xCi x-1)-1=Ci-1=Ci,xG成立,所以Ci 是G 的一个类,称为Ci 的逆类。u 可以把群分解为不相交的共轭类的并集:G=C1C2 Cl式中Ci 为第i 个共轭类,G 按共轭关系分成 l 个不同的类个不同的类。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。群论-群论基础-共轭元素类u D3 群的共轭类 D3 群有三个共轭类:C1=e,C2=a,b,C3=k,l,m。因为a,b 代表旋转120(即360/3),称之为绕 3次轴的旋转,记为c3;k,l,m 代表旋转180(即
21、360/2),称之为绕 2 次轴的旋转,记为c2;故可以写为:C1=e,C2=2c3,C3=3c2 一般对于群元,可以按共轭类记之,如:D3=e,2c3,3c2 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。群论-群论基础-共轭元素类n 定理定理1.3 若 是群中若干个完整的类构成的集合:=C1+C2+=kCk,x是群中任意元,则有xx-1=成立。只需要注意到,对每一个 Ci 都有xCi x-1=Ci,则命题得证。n 逆定理逆定理:任何一个满足关系xx-1=,xG 成立的集合,必然由若干个完整的类构成。证明:首先将中完整的类抽出
22、。设余下的元的集合是,于是有x x-1=,xG 成立考虑中的某个元g,我们发现等式左边将包含g 的所有共轭元,因此等式右边的 一定是一个完整的类。3 几个定理几个定理n设Ci=a1,a2,am 和Cj=b1,b2,bn 为群G 的两个类,对于共轭类的直乘来说CiCj=a1b1,a2 b1,am b1,a1 b2,a2b2,am b2,am bn 有:其中求和是对群中所有的共轭类求和,而系数 为非负整数,表示类Ck 在CiCj 中出现的次数。证明:根据上一个定理,我们有xCi x-1=Ci,xCj x-1=Cj 故 CiCj=xCi x-1xCj x-1=xCiCj x-1它对所有xG 成立,根
23、据上一个定理的逆定理:集合CiCj 必然由一些完完整的类整的类构成。例:D3群有三个类,D3=e,2c3,3c2 =C1,C2,C3,则可得C1C2=C2;C1C3=C3;C2C3=2C3;C2C2=2C1+C3;C3C3=3C1+3C2严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。群论-群论基础-共轭元素类n 定理定理1.4 类元素数目定理类元素数目定理:对于有限群G,每一个共轭类Ci的元素的个数|Ci|是|G|的一个因子。证明:设 g G,构造集合 Hg=h G|hgh-1=g 易证它是 G的一个子群。共轭于g 的元素组成共
24、轭类Cg,其中元素的个数为:当 q 取遍G 中所有元素时,从 qgq-1 中能得到的不同元素的个数可证这是Hg 的左陪集的个数严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。群论-群论基础-共轭元素类1)对 Hg的一个陪集 qHg来说,其中任何一个元素 qh 得到的共轭元为(qh)g(qh)-1=qhgh-1q-1=qgq-1是相同的 2)对两个不同的陪集 q1Hg 和 q2Hg来说,它们得到的共轭元是不同的,如果相同,则 q1 和 q2 必然在同一个左陪集中:q1gq1-1=q2 g q2-1 g=q1-1 q2 g q2-1q
25、1=q1-1 q2 g(q1-1 q2)-1 q1-1y Hg y q1Hg 即:Hg 的左陪集的左陪集 与 Cg 中的元素中的元素 一一对应一一对应Hg的左陪集的个数是|G|的一个因子(Hg的指数)严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。群论-群论基础-正规子群与商群n 共轭子群:群G 有某个子群H,与H共轭的子集 x H x-1 (x G)也是一个子群。一般称之为H的共轭子群共轭子群。n 正规子群:若群 G 的子群N 满足 x N x-1 =N (x G)则称子群N为正规子群正规子群。由于正规子群的所有共轭子群就是它本
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