第2章-偏微分方程的数学性质对CFD的影响ppt课件.ppt
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1、第第2章章 偏微分方程的数学性质对偏微分方程的数学性质对CFD的影响的影响在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确3 偏微分方程的数学性质对偏微分方程的数学性质对CFD的影响的影响在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确3.1 引言引言在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确3.2 拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一
2、定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程:拟线性偏微分方程:方程中最高阶导数单独出现,没有出现最高阶导方程中最高阶导数单独出现,没有出现最高阶导数的乘积,最高阶导数所乘的系数也都是未知函数的乘积,最高阶导数所乘的系数也都是未知函数本身的函数。数本身的函数。在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类考虑如下的拟线性方程组:考虑如下的拟线性方程组:u,v是未知函数,是是未知函数,是x,y的连续函数的连续函数所有系数可以是所有系数可
3、以是x,y,u,v的函数的函数在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类u,v是未知函数,是是未知函数,是x,y的连续函数的连续函数u,v的全微分为的全微分为在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类于是有于是有在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类写成矩阵形式为写
4、成矩阵形式为在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类系数矩阵:系数矩阵:在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类令:令:根据克莱默法则根据克莱默法则(Cramers rule),有,有在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类沿沿ab,在整堂课的教学中,刘教师总是让
5、学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类换一个方向,沿换一个方向,沿cd所得所得 u/x的值应与的值应与沿沿ab所得所得 u/x值相同。值相同。在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类沿沿ef,=0,则沿此方向,无法确定则沿此方向,无法确定 u/x在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类同理沿
6、同理沿ef,=0,则沿此方向,无法确定则沿此方向,无法确定 u/y,v/x,v/y在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类定义曲线定义曲线ef为过为过p点的特征曲线或特征线。点的特征曲线或特征线。在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类沿沿ef,=0在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的
7、分类拟线性偏微分方程的分类有有在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类有有在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类令令则则在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类则则上式给出了平面上某点的特征线的方向上式给出了平面上某点的特征线的方向在整堂课的教学中,刘教师总是让
8、学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类令令如果如果D0,则平面上每个点都有两条不同的实特征线。,则平面上每个点都有两条不同的实特征线。上述方程组称为双曲型方程组。上述方程组称为双曲型方程组。如果如果D=0,则上述方程组称为抛物型方程组。,则上述方程组称为抛物型方程组。如果如果D0,则上述方程组称为椭圆型方程组。,则上述方程组称为椭圆型方程组。在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类在解析几何里,二次曲
9、线的一般方程为在解析几何里,二次曲线的一般方程为在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类沿特征线:沿特征线:在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类沿特征线:沿特征线:在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类沿特征线:沿特征线:从上述方程所得到的关于从上述方程所得
10、到的关于未知函数未知函数u,v的方程被称为的方程被称为相容性方程。相容性方程。在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类沿特征线:沿特征线:相容性方程沿特征线成立,相容性方程沿特征线成立,为常微分方程。为常微分方程。在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类特征线法:在特征线法:在xy平面上构平面上构造特征线,并沿特征线求造特征线,并沿特征线求解相容性方程,从而求解解相容性方程
11、,从而求解原方程组。原方程组。在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类特征线法要求在特征线法要求在xy平面上平面上任意点至少需要两个特征任意点至少需要两个特征方向,因此,特征线法只方向,因此,特征线法只对求解双曲型偏微分方程对求解双曲型偏微分方程有效。有效。在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类由于无粘超声速流动的控由于无粘超声速流动的控制方程组是双曲型的,因制方程组是双
12、曲型的,因此,特征线法被广泛用于此,特征线法被广泛用于求解这类问题。求解这类问题。在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确3.3 确定偏微分方程类型的一般方法特征确定偏微分方程类型的一般方法特征值法值法在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确确定偏微分方程类型的一般方法特征值法确定偏微分方程类型的一般方法特征值法为简单起见,设为简单起见,设f1=0,f2=0,则方程变为,则方程变为在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由
13、浅入深,所提出的问题也很明确确定偏微分方程类型的一般方法特征值法确定偏微分方程类型的一般方法特征值法定义列向量:定义列向量:方程组可写为:方程组可写为:或:或:在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确确定偏微分方程类型的一般方法特征值法确定偏微分方程类型的一般方法特征值法方程组可写为:方程组可写为:或:或:在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确确定偏微分方程类型的一般方法特征值法确定偏微分方程类型的一般方法特征值法用用N的特征值就可以确定方程组的类型:的特征
14、值就可以确定方程组的类型:如果特征值均为实数,则方程组是双曲型的;如果特征值均为实数,则方程组是双曲型的;如果特征值均为复数,则方程组是椭圆型的;如果特征值均为复数,则方程组是椭圆型的;在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确确定偏微分方程类型的一般方法特征值法确定偏微分方程类型的一般方法特征值法我们用实际的流体力学方程组来说明特征值法。我们用实际的流体力学方程组来说明特征值法。考虑可压缩无粘气体二维无旋非定常流动。假设流场源于考虑可压缩无粘气体二维无旋非定常流动。假设流场源于对自由来流的小扰动(比如,以小迎角绕过细长体的流动
15、)对自由来流的小扰动(比如,以小迎角绕过细长体的流动),并且来流马赫数是亚声速或者超声速(但不是跨声速或,并且来流马赫数是亚声速或者超声速(但不是跨声速或者高超声速)的,则连续性方程、动量方程和能量方程这者高超声速)的,则连续性方程、动量方程和能量方程这一组控制方程就可以简化成方程组一组控制方程就可以简化成方程组在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确确定偏微分方程类型的一般方法特征值法确定偏微分方程类型的一般方法特征值法其中,其中,和和 是相对来流速度的扰动速度是相对来流速度的扰动速度来流马赫数来流马赫数 可以是亚声速的,也
16、可以是超声速的。可以是亚声速的,也可以是超声速的。在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确确定偏微分方程类型的一般方法特征值法确定偏微分方程类型的一般方法特征值法问题:如何对上述方程组进行分类?问题:如何对上述方程组进行分类?在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确确定偏微分方程类型的一般方法特征值法确定偏微分方程类型的一般方法特征值法问题:如何对上述方程组进行分类?问题:如何对上述方程组进行分类?下面先采用上一小节所介绍的克莱默法则下面先采用上一小节所介绍的
17、克莱默法则(Cramers Rule)来对上述方程组进行分类。来对上述方程组进行分类。在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确确定偏微分方程类型的一般方法特征值法确定偏微分方程类型的一般方法特征值法类比上述两个方程组,有类比上述两个方程组,有在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确确定偏微分方程类型的一般方法特征值法确定偏微分方程类型的一般方法特征值法有有在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明
18、确确定偏微分方程类型的一般方法特征值法确定偏微分方程类型的一般方法特征值法有有在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确确定偏微分方程类型的一般方法特征值法确定偏微分方程类型的一般方法特征值法对于超声速(对于超声速()的情形,通过每个点都有)的情形,通过每个点都有两个实特征方向,一个斜率为两个实特征方向,一个斜率为 ,另一,另一个斜率为个斜率为在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确确定偏微分方程类型的一般方法特征值法确定偏微分方程类型的一般方法特征值法因此,当
19、因此,当 时,上述方程组是双曲型的。反时,上述方程组是双曲型的。反之,如果之,如果 ,则特征方向是虚的,方程组是,则特征方向是虚的,方程组是椭圆形的。椭圆形的。在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确确定偏微分方程类型的一般方法特征值法确定偏微分方程类型的一般方法特征值法问题:如何对上述方程组进行分类?问题:如何对上述方程组进行分类?下面再采用特征值法来对上述方程组进行分类。下面再采用特征值法来对上述方程组进行分类。在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确确定
20、偏微分方程类型的一般方法特征值法确定偏微分方程类型的一般方法特征值法将上述方程组写成矩阵形式:将上述方程组写成矩阵形式:令:令:或或在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确确定偏微分方程类型的一般方法特征值法确定偏微分方程类型的一般方法特征值法为求出为求出 ,先用,先用 的代数余子式来代替的代数余子式来代替 中的元素,中的元素,得得其转置矩阵还是其转置矩阵还是在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确确定偏微分方程类型的一般方法特征值法确定偏微分方程类型的一般方
21、法特征值法 的行列式为的行列式为 ,所以,所以在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确确定偏微分方程类型的一般方法特征值法确定偏微分方程类型的一般方法特征值法所以所以在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确确定偏微分方程类型的一般方法特征值法确定偏微分方程类型的一般方法特征值法下面求矩阵下面求矩阵N的特征值的特征值 在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确确定偏微分方程类型的一般方法特征值法确
22、定偏微分方程类型的一般方法特征值法令令 ,其中,其中 是单位矩阵,则是单位矩阵,则有有 或或在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确确定偏微分方程类型的一般方法特征值法确定偏微分方程类型的一般方法特征值法对比对比知:知:N的特征值就是特征线的斜率。的特征值就是特征线的斜率。与与在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确确定偏微分方程类型的一般方法特征值法确定偏微分方程类型的一般方法特征值法因此,当因此,当 时,时,N的特征值均为实数,方的特征值均为实数,方程组是
23、双曲型的。如果程组是双曲型的。如果 ,则,则N的特征值均的特征值均为虚数,于是方程组是椭圆形的。为虚数,于是方程组是椭圆形的。上述方法就是采用特征值法来判别偏微分方程的类型。上述方法就是采用特征值法来判别偏微分方程的类型。在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确确定偏微分方程类型的一般方法特征值法确定偏微分方程类型的一般方法特征值法有些方程组的特征值可能既有实数又有虚数,这种情有些方程组的特征值可能既有实数又有虚数,这种情况下,方程组既不是双曲型的也不是椭圆型的,它们况下,方程组既不是双曲型的也不是椭圆型的,它们的数学性质表现
24、出双曲型椭圆型的混合特性。的数学性质表现出双曲型椭圆型的混合特性。在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确3.4 不同类型偏微分方程的一般性质不同类型偏微分方程的一般性质在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确不同类型偏微分方程的一般性质不同类型偏微分方程的一般性质不同类型的方程具有不同的数学特性,它也反映出流不同类型的方程具有不同的数学特性,它也反映出流场具有不同的物理特性。这也就意味着,求解不同类场具有不同的物理特性。这也就意味着,求解不同类型的方程,必须
25、采用不同的数值方法。型的方程,必须采用不同的数值方法。在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确3.4.1 双曲型方程双曲型方程在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问题来学习,而问题的设置具有一定的梯度,由浅入深,所提出的问题也很明确双曲型方程双曲型方程对于双曲型方对于双曲型方程,有两条实程,有两条实特征曲线通过特征曲线通过P点,分别记点,分别记为左行特征线为左行特征线和右行特征线。和右行特征线。与双曲型方程的解有关的区域和边界与双曲型方程的解有关的区域和边界(二维定常流)(二维定常流)在整堂课的教学中,刘教师总是让学生带着问
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