人教版八年级数学下册《因式分解的高端方法与恒等变形》精品教案(解析版).docx
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1、第 1 页 共 19 页人教版八年级数学下册因式分解的高端方法与恒等变形精品教案(解析版)换元法作为一种因式分解的常用方法,其实质是整体思想,当看作整体的多项 式比较复杂时,应用换元法能够起到简化计算的作用【引例】分解因式:2222(48)3 (48)2xxx xxx【解析】令,248xxu原式2232()(2 )uxuxux ux又248uxx原式22(48)(482 )xxx xxx22(58)(68)xxxx2(2)(4)(58)xxxx秋季班第六讲秋季班第五讲暑期班第六讲题型一:换元法题型一:换元法第 2 页 共 19 页【例 1】分解因式:;22353xxxx;221212xxxx1
2、35715xxxx【解析】解法一:令,则24xxy原式113yy22yy2262xxxx1223xxxx解法二:令,则23xxy原式23y y223yy13yy223 133xxxx 2226xxxx;1223xxxx令,则21xxy 原式112y y212yy34yy2225xxxx第 3 页 共 19 页2125xxxx备注:观察题中的形式,可以选择中间值作为整体替换的量,这样能应用平方差公式进行计算,会节省计算量下面很多题也都可以有多种换元的办法,不一一给出了原式 173515xxxx,228781515xxxx设,则287xxy原式815y y281535yyyy22810812xxx
3、x226810xxxx【例 2】分解因式:46141 3119xxxxx16 6121 31125xxxx【解析】原式,设,224671 12719xxxxx2671xxt 原式 222422693971txtxtxxx原式226142624425241622416825xxxxxxxx设,原式224162xxt2221025524163t ttxx第 4 页 共 19 页基本方法示例剖析拆项添项法拆项添项法:为了分组分解,常常采用拆项 添项的方法,使得分成的每一组都有公因式 可提或者可以应用公式.常用思路:常用思路:1、对于按某一字母降幂排列的三 项式,拆开中项是最常见的.2、配方法是一种特
4、殊的添项法, 配完全平方的时候,往往需要 添上一个适当的项或者讲某一 项适当改变,然后在用提取公 因式或公式法解决. 例如:因式分解:4231xx 4222222221111xxxxxxxxx 【引例】分解因式:32332aaa【解析】解法一:原式323311aaa3311a 21 1111aaa 221aaa解法二:原式 322222aaaaa 2222aaa aa221aaa题型二:拆、添项及配方法题型二:拆、添项及配方法第 5 页 共 19 页解法三:原式 322222aaaaa22121a aaaa221aaa解法四:原式 321333aaa 221131aaaaa221aaa【点评】
5、分组方法不唯一,此题解法一、四是将常数 拆项后再分组;解法二、三是2 将二次项、一次项都拆项后再分解【例 3】因式分解:若,则的值等于( )1xy 43222234585xx yx yx yxyxyyA B C D 0113若点的坐标满足,求点的坐标Pab,22221016=0a bababP【解析】43222234585xx yx yx yxyxyy 43322222233432233222232222244444433321xx yx yx yx yxyx yxyxyyxxyx y xyxy xyxyxyyxyxx yx yxyxyyxyxxyxy xyyxyxyxxyyxy 故选 C原式
6、2222=8162=0a bababab第 6 页 共 19 页22=4=0abab=4=0abab,或=2=2ab,=2=2ab ,点的坐标为或P22,22 ,【例 4】分解因式:4224xx yy224443xxyy4322321xxxx【解析】 原式4224222xx yyx y 2222xyxy2222xyxyxyxy 原式22(441)(44)xxyy22(21)(2)xy(212)(212)xyxy (23)(21)xyxy法一4322321xxxx43222221xxxxx2 (1)2 (1)1x xx x2 (1)1x x22(1)xx法二4324323222321=1xxxx
7、xxxxxxxx第 7 页 共 19 页 222222=111 =1xxxx xxxxxx【例 5】分解因式:343115xx32256xxx32374xx432433xxxx【解析】 原式343015xxx 2212115 212121521253xxxxxxxxxx 原式 32256xxxx 2216116132xxxxxxxxxx 法一:原式 322364xxx 2232222321232xxxxxxxxxx法二:原式 3223344xxx 22314111 3441232xxxxxxxxxx法三:原式 3223294xxx第 8 页 共 19 页 2232323232321232xxx
8、xxxxxxx法一:原式4322()(333)xxxxx22222(1)3(1)(3)(1)xxxxxxxx法二:原式4232(3)(3 )(3)xxxxx22(3)(1)xxx【探究对象】 对拆项、添项法的探究【探究目的】 熟练运用拆项、添项法进行因式分解.【探究 1】因式分解:2231baxabx【解析】 原式=211axaxbx点评:对于三项式的因式分解,如果用拆项、添项法来分解的话,拆开中项是首选的方法,如果式子中的括号不利于我们拆添项,或不利于分组分解,可以通过去括号来整理式子,整理完后在继续分解.【探究 2】因式分解:323233332aaabbb【解析】 原式=2221abaab
9、bab点评:此题前三项比完全立方公式少了 1,四五六项比完全立方公式少 1,所以想办法通过拆项或添项凑成完全立方公式就可以进行因式分解.此类题要求学生对常用乘法公式及其变形掌握熟练.第 9 页 共 19 页【探究 3】因式分解:462x 【解析】 原式=228484xxxx点评:遇到类似的题目,只有两项,项数很少,不能拆开中项,可以采取“无 中生有”的方法,添上需要的式子,最后在减去相同的式子,目的还是凑成公式,完 成因式分解.例题中有类似的题目,难度相对比较大,学生不容易想到. 【备选例题】326116xxx【解析】先拆项,后分组,再提取公因式,最后再十字相乘.原式 322255661516
10、1123xxxxxxxx xxxxx点评:此题对于学生来说,分解到最后的结果为,因为没有学2156xxx十字相乘法分解因式,所以学生分解到此阶段就分解不下去了,教师可以在此铺垫 一下下节课学习的十字相乘法,强调因式分解一定要分解到不能在分解为止.【引例】矩形的周长 28cm,两边长为、,且,求矩形的cmxcmy32230xx yxyy 面积【解析】由题得,则2()28xy14xy32230xx yxyy题型三:恒等变形题型三:恒等变形第 10 页 共 19 页22()()0xxyyxy22()()0xy xy()()()0xy xy xy14xy0xy77xy,49Sxy矩【例 6】设,试判断
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